Инфоурок / Математика / Конспекты / Опорные конспекты по математике 6 класс

Опорные конспекты по математике 6 класс

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

hello_html_51de6a73.gifhello_html_m2233d9ac.gifhello_html_2f0e26b8.gifhello_html_4f51edda.gifhello_html_37b21ce6.gifhello_html_m3a5cd254.gifhello_html_m78412a05.gifhello_html_m2d72e6c1.gifhello_html_m74ba75b3.gifhello_html_m140cb80c.gifhello_html_m140cb80c.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_83dadce.gifhello_html_m38b329c9.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m531cda93.gifhello_html_m1a10eeae.gifhello_html_m4cbdc5e0.gifhello_html_b30b0a5.gifhello_html_m616b775a.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_2f0e26b8.gifhello_html_4f51edda.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m6ba9929a.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m7d4e645c.gifhello_html_m6ba9929a.gifhello_html_m6ba9929a.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m4cd059f1.gifhello_html_m598a52ef.gifhello_html_m17f6d1a1.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m1c2ee662.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_737d562d.gifhello_html_m5e3baedf.gifhello_html_m5e3baedf.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m295b4248.gifhello_html_m52f236c0.gifhello_html_7ed046a2.gifhello_html_7ed046a2.gifhello_html_m35b179c2.gifhello_html_m51780409.gifhello_html_6677cd8a.gifhello_html_m152139da.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m1ee9bac7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_729c5df0.gifhello_html_m412f6ad4.gifhello_html_m195488ce.gifhello_html_m140cb80c.gifhello_html_m140cb80c.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_83dadce.gifhello_html_m38b329c9.gifМуниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Покровская средняя общеобразовательная школа»

Рузского района Московской области















ОПОРНЫЕ КОНСПЕКТЫ

ПО МАТЕМАТИКЕ

6 КЛАСС









Учитель математики и физики

Александрова Татьяна Валентиновна

2015 год





ОК-1 Признаки делимости на 2, на 5, на 10


На 10: число оканчивается 0.


На 5: число оканчивается 0 или 5.


Четные цифры (делятся без остатка на 2) : 0, 2, 4, 6, 8


Нечетные цифры ( при делении на 2 дают остаток 1): 1, 3, 5, 7, 9


На 2: число оканчивается четной цифрой.



ОК-2 Взаимно обратные числа


Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными.

hello_html_m651e9556.gifиhello_html_m6acef63e.gif взаимно обратны, при hello_html_6f1dae9.gif, т.к. hello_html_48551c9c.gif 1


hello_html_m76bffb7f.gif

Если одно из двух взаимно обратных чисел – правильная дробь, то другое – неправильная дробь.

hello_html_371739a7.gifи hello_html_222842c7.gif взаимно обратны


hello_html_371739a7.gif– правильная дробь hello_html_10ea9383.gifправильная дробь


Число 1 взаимно обратно самому себе, а число 0 – не имеет обратного себе числа.

Задание: найдите число, обратное данному:


  1. hello_html_mb2862bb.gifhello_html_6eec8aff.gifhello_html_613ce997.gifhello_html_6eec8aff.gif= 1

  2. hello_html_m207890d8.gifhello_html_m26e21a4a.gifhello_html_m8a62088.gifhello_html_m335e53de.gif

  3. hello_html_m145befb4.gif= hello_html_2fd2c813.gif hello_html_2a9d16cb.gif hello_html_152f86c0.gif hello_html_2a9d16cb.gif = 1







ОК-3 Сокращение дробей


Сокращение дроби – деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, не равный 1.

hello_html_7f3e7e3c.gif


3 и 5 – взаимно простые числа hello_html_3b88a430.gif – несократимая дробь

Дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, называется несократимой.


Способы сокращения дробей:

  1. Подбор общих делителей числителя и знаменателя, пока не получится несократимая дробь.

hello_html_m1f482058.gif= (: 7) = hello_html_3b88a430.gif


  1. Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7

70 = 2 ∙ 5 ∙ 7

НОД (42; 70) = 2 ∙ 7 = 14


hello_html_m5b106514.gif


  1. Разложить числитель и знаменатель на простые множители и вычеркнуть одинаковые множители.

hello_html_1e9d362e.gif













ОК - 4 Нахождение дроби от числа


Дробь используют, чтобы кратко обозначить часть некоторой целой величины.

Часть Целоеhello_html_m6105d455.png

hello_html_7f72a46c.png



«Остается пройти hello_html_m57c90caf.gif пути» → Весь путь

Задача 1: Маша собирает коллекцию камней. Всего в Машиной коллекции уже hello_html_7b5b6d54.gif камней, из них hello_html_3b88a430.gifсоставляют аметисты. Сколько аметистов в Машиной коллекции?

Решение:

60 ∙ hello_html_m43198f55.gifаметистов

Ответ: 36 аметистов.


Задача 2: Палисадник занимает hello_html_3b88a430.gif всего земельного участка. Участок, засаженный колокольчиками, занимает hello_html_m57c90caf.gif палисадника. Какую часть всего земельного участка занимает участок засаженный колокольчиками?

Решение:

hello_html_6b29773.gif= hello_html_m83073b.gif

Ответ:hello_html_m83073b.gif.


Задача 3: Дачнику нужно высадить hello_html_m2ae26896.gif саженцев плодовых деревьев. В первый день он высадил hello_html_742aa271.gif от всех, саженцев. Сколько саженцев высадил дачник за первый день?

Решение:

20 ∙ 0,6 = 20 ∙ hello_html_547f9a7a.gif = hello_html_67ad4fe1.gif = 12

Ответ: 12 саженцев.


Задача 4: Приусадебный участок занимает hello_html_3cb362c.gif сотки. Цветами засажено 35% этого участка. Какова площадь засаженного цветами участка?

Решение: 4 hello_html_m2666a293.gif = hello_html_7b13e4a9.gif = hello_html_70259d65.gif = hello_html_m59bbff82.gif = 1 hello_html_2ee8300a.gif

Ответ: 1 hello_html_2ee8300a.gif сотки.


Чтобы найти дробь (часть) от числа, нужно умножить число на данную дробь.


ОК-5 Дробные выражения


Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.


hello_html_6eec8aff.gif= 1 : 2 числитель

hello_html_m61734728.gif=hello_html_m4c267822.gif

знаменатель


Чтобы найти значение дробного выражения, нужно:

  1. найти по отдельности значения его числителя и знаменателя;

  2. затем первый результат разделить на второй.


Пример 1. hello_html_m39efb5a9.gif = hello_html_m2dd0f895.gif hello_html_m3fd5e165.gif hello_html_m67b139e7.gif


Пример 2. hello_html_3ac1213c.gif = hello_html_m27c0dac8.gif hello_html_4b993810.gif = 2


Пример 3. hello_html_m2465086f.gif Выражение не имеет значения!


Пример 4. Найти значение выражения при hello_html_58e0ef3e.gif

hello_html_m5945ad06.gifhello_html_6442bcfd.gif= hello_html_4f563adc.gif hello_html_40ab5a1c.gif hello_html_2f2a7ed5.gif

ОК-6 Длина окружности

Длина окружности прямо пропорциональна длине ее диаметра.

Отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом для любой окружности.

hello_html_7b95ddaa.gifдлина окружности

hello_html_66e6724f.gifдиаметр окружности

hello_html_m7f8d489c.gifhello_html_34d3dd5c.gifС = hello_html_mf7d68c5.gif

длина окружности

hello_html_489f759.gifhello_html_34d3dd5c.gifC = hello_html_m70222193.gif R


S = hello_html_m57980117.gif - площадь круга

ОК-7 Применение распределительного закона умножения


Распределительное свойство умножения относительно сложения:

Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.

(a + b) ∙ c = ac + bc



Распределительное свойство умножения относительно вычитания:

(ab) ∙ c = acbc

Для того чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.


Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно:

1) умножить целую часть на натуральное число;

2) умножить дробную часть на это натуральное число;

3) сложить полученные произведения.

hello_html_m2db0d4b.gif

Чтобы умножить смешанное число на смешанное число, можно:

  1. перевести одно смешанное число в неправильную дробь;

  2. умножить целую часть второго множителя на неправильную дробь;

  3. умножить дробную часть второго множителя на неправильную дробь;

  4. сложить полученные результаты.

hello_html_6e90402e.gif


Пример 1: hello_html_m20a15023.gif hello_html_3f20f19c.gif


Пример 2: hello_html_40ece7d.gif =hello_html_7cf9cc6b.gif


Пример 3: hello_html_5dfa5395.gif


Пример 4: hello_html_340cd048.gif х + hello_html_m7d3c8308.gif х = hello_html_m382112f8.gifх


Пример 5: hello_html_2ee8300a.gif у + hello_html_3b88a430.gif у = у



ОК-8 Координаты на прямой


Координатная прямая – это прямая, на которой выбрано начало отсчёта; единичный отрезок.

Стрелкой обозначено положительное направление.


В А


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4



отрицательные положительные


не положительное,

не отрицательное


Координата точки – число, показывающее положение точки на координатной прямой.

В(-3), А(2)

ОК-9 Модуль числа

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

В О А


-2 0 2


Модуль числа 2 равен 2, т.к. точка А(2) удалена от начала отсчета на 2 единицы.

Модуль числа -2 равен 2, т.к. точка В(-2) удалена от начала отсчета на 2 единицы.

Пишут: │2│= 2, │-2│= 2, │0│= 0


Модуль числа не может быть отрицательным!


Модулем положительного числа и числа 0 является само число, модулем отрицательного числа – противоположное ему число.


Противоположные числа имеют одинаковые модули.

-а│ = │а



ОК-10 Пропорции


Пропорция – это равенство двух отношений.

Крайние


a : b = c : d hello_html_m651e9556.gif = hello_html_6c64b5b8.gif


средние

hello_html_53f8e751.gif

Основное свойство пропорции:

В любой верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции.

hello_html_7f6a8d19.gif


Признак пропорции:

Если произведение крайних членов равно произведению средних членов

a · d = b · c, то пропорция a : b = c : d верна.

hello_html_m651e9556.gif= hello_html_6c64b5b8.gif


Пример 1. Верна ли пропорция hello_html_b04096d.gif ?

30 ∙ 7 = 210

5 ∙ 42 = 210 hello_html_34d3dd5c.gif верна


Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.

hello_html_m439b06ca.gifhello_html_34d3dd5c.gifhello_html_m1e218342.gif= hello_html_m62452474.gif hello_html_34d3dd5c.gif hello_html_m2b95f6e2.gif


Используя основное свойство пропорции, можно найти неизвестный член пропорции, если все остальные члены известны.

Пример 2. Решите уравнениеhello_html_m4f4584f9.gif

1,5 ∙ у = 21,6 ∙ 0,25

hello_html_m7a13e647.gif

hello_html_m410460b8.gif

hello_html_680da2ab.gif

Ответ: у = 3,6



ОК – 11 Шар








ОО

Шар – простейшее геометрическое тело.

Сфера - поверхность шара.

Радиус шара - отрезок, соединяющий любую

точку сферы с центром шара.

Диаметр шара - отрезок, соединяющий две

точки сферы и проходящий через центр шара.


O – центр шара

ОА = ОВ = R - радиус

CD = D - диаметр

D = 2R

-----------------------------------------------------------------------------------------------

ОК-12 Дробные выражения

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.


hello_html_6eec8aff.gif= 1 : 2 числитель

hello_html_m61734728.gif=hello_html_m4c267822.gif

знаменатель

Чтобы найти значение дробного выражения, нужно:

  1. найти по отдельности значения его числителя и знаменателя;

  2. затем первый результат разделить на второй.


Пример 1. hello_html_m39efb5a9.gif = hello_html_m2dd0f895.gif hello_html_m3fd5e165.gif hello_html_m67b139e7.gif


Пример 2. hello_html_3ac1213c.gif = hello_html_m27c0dac8.gif hello_html_4b993810.gif = 2


Пример 3. hello_html_m2465086f.gif Выражение не имеет значения!

Пример 4. Найти значение выражения при hello_html_58e0ef3e.gif

hello_html_m5945ad06.gifhello_html_6442bcfd.gif= hello_html_4f563adc.gif hello_html_40ab5a1c.gif hello_html_2f2a7ed5.gif

ОК-13 Перпендикулярные прямые


Прямой угол – это угол, Две прямые, образующие

градусная мера которого при пересечении прямые

равна 90о . углы, называются

90о

перпендикулярными.

Е

900 А


В

nh

F

AB EF


Аhttp://www.kanctovary.ru/upload/9ab/asd73.jpg



М В

Если АМВ = 900, то АМ МВ.

И наоборот:

Если АМ МВ, то АМВ = 900


Через любую точку плоскости можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.


Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых называются перпендикулярными.













ОК-14 Параллельные прямые


ПРЯМЫЕ


пересекаются не пересекаются

а m k


M

c mhello_html_53214680.gif k


Две непересекающиеся прямые на плоскости называются параллельными.

D:\математика\Настя\Математика 6 класс\45. Параллельные прямые\0231 угольник школьный.png

k t d


M k hello_html_53214680.gif tD:\математика\Настя\Математика 6 класс\45. Параллельные прямые\0231 угольник школьный.pngD:\математика\Настя\Математика 6 класс\45. Параллельные прямые\0235 разноцветные линейки.png

t hello_html_53214680.gif d

k hello_html_67fff389.gif





Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны.


k t

a k a

k hello_html_53214680.gif t

ta



Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.


Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.


Отрезки (или лучи), лежащие на параллельных прямых называются параллельными.



ОК-15 Сложение и вычитание чисел


  1. Сложение отрицательных чисел

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно:

  1. Перед результатом поставить знак « – » ,

  2. Сложить модули чисел.

Пример: - 9 + (- 45) = - ( 9 + 45) = - 54


  1. Сложение чисел с разными знаками

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно:

  1. Поставить перед результатом знак того слагаемого, модуль которого больше,

  2. Из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль.

Примеры:

  1. 9 + (- 3) = 9 – 3 = 6

  2. 9 + (-12) = - ( 12 – 9) = - 3


  1. Вычитание чисел

Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

ab = a + (–b)

Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно представить в виде суммы.

Примеры:

  1. -12 – 13 = -12 + (-13) = - (12 + 13) = - 25

  2. 7 – 16 = 7 + (- 16) = - (16 – 7) = - 9

  3. 6 – (- 5) = 6 + 5 = 11


Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого: а hello_html_m7c48e444.gifb ab hello_html_m360d6129.gif


Разность двух чисел отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого: а < b ab < hello_html_66dffbe2.gif


Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю

а = b ab =hello_html_66dffbe2.gif

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

А( -6), В(8) АВ = 8 – (-6) = 8 + 6 = 14

ОК-16 Деление чисел


  1. Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Пример : ( - 14) : ( - 2) = 14 : 2 = 7


  1. При делении чисел с разными знаками надо:

- поставить перед результатом знак « - »;

- разделить модуль делимого на модуль делителя.

Примеры: (- 4,8) : 4 = - (4,8 : 4) = - 1,2

0,33 : (- 1,1) = - (0,33 : 1,1) = - 0,3


( – ) : ( – ) = ( + )

( – ) : ( + ) = ( – )

( + ) : ( – ) = ( – )


  1. На нуль делить нельзя!


  1. При делении нуля на любое число получается нуль.



0 : а = 0

  1. При делении любого числа на 1 получается то же число.


а : 1 = а


  1. При делении любого числа на ( -1) получается противоположное число.


а : ( - 1) = – а












ОК-17 Координатная плоскость

hello_html_2a110942.png

О – начало координат

х - абсцисса

у - ордината

(х; у) - координаты






Координаты точки (х; у) на плоскости – это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса (х), а на втором – ордината (у) этой точки.


Оси координат разбивают плоскость на 4 части – 4 четверти. hello_html_7f9bfda0.png


I четверть: х > 0, у > 0

II четверть: х < 0, у > 0

III четверть: х < 0, у < 0

IV четверть: х > 0, у < 0


Координаты можно указать для любой точки координатной плоскости: для этого надо из точки провести перпендикуляры на координатные оси и определить, какому числу координатной оси соответствует основание перпендикуляра.


Как найти координаты точки:

1. Провести из точки перпендикуляр к оси ОХ.

2. Провести из точки перпендикуляр к оси ОУ.

3. Записать координаты точки (х; у).

hello_html_37177974.png








Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: ее абсцисса и ордината.

Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.


Точки любой прямой, перпендикулярной оси абсцисс, имеют одну и ту же абсциссу.

Точки любой прямой, перпендикулярной оси ординат, имеют одну и ту же ординату.

hello_html_3e0b869f.png

а ОХ А(4; 3), В(4; - 4)


b ОУ С(- 2; - 3), D(3; - 3)







Если точка лежит на оси ОХ, то ее ордината равна 0 (у = 0).


Если точка лежит на оси ОУ, то ее абсцисса равна 0 (х = 0).

\\User-pc-11\рисунки\рисунки Png\0629.png

у

А(0; 4)


М (4; 0)

Х













ОК-18 Умножение положительных и отрицательных чисел


  1. Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули чисел и перед полученным результатом поставить знак « – ».

Примеры: - 5 ∙ 2 = - (5 ∙ 2) = - 10

0,2 ∙ ( - 1,5) = ( - 0,2 ∙ 1,5) = - 0,3


  1. Произведение двух отрицательных чисел равно произведению их модулей.

Примеры: - 2 ∙ ( - 3) = 2 ∙ 3 = 6 ( – ) ∙ ( + ) = ( – )

- 4 ∙ ( - 0,3) = 4 ∙ 0,3 = 1,2 ( – ) ∙ ( – ) = ( + )


  1. Свойства 0 и 1 при умножении сохраняются:

а ∙ 0 = 0 а ∙ 1 = а


  1. При умножении на ( - 1) число меняется на противоположное.

а ∙ (- 1) = - а





















ОК-19 Координаты на прямой


Координатная прямая – это прямая, на которой выбрано начало отсчёта; единичный отрезок.

Стрелкой обозначено положительное направление.


В А


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4



отрицательные положительные


не положительное,

не отрицательное


Координата точки – число, показывающее положение точки на координатной прямой.

В(-3), А(2)





Общая информация

Номер материала: ДA-018553

Похожие материалы