Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Опорные конспекты по тригонометрии

Опорные конспекты по тригонометрии

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Формулы тройных углов


hello_html_m3b377e07.gifhello_html_m60309b7.gif




Обратные тригонометрические функции


hello_html_m4c208833.gif hello_html_6d163abf.gif




Некоторые значения тригонометрических функций

таблица 3

Аргумент

Функция

sin

cos

tg

ctg

15 hello_html_m6aab3a49.gif

hello_html_m3fb4c585.gif

hello_html_1a68b9db.gif

hello_html_m602b5d86.gif

hello_html_m4a774412.gif

18 hello_html_m1ba99442.gif

hello_html_m61ce3246.gif

hello_html_5d06bdb9.gif

hello_html_m45d534e.gif

hello_html_30bf6f2b.gif

36 hello_html_47389787.gif

hello_html_m46b37650.gif

hello_html_m29d59ffe.gif

hello_html_5402096c.gif

hello_html_519bbd72.gif

54 hello_html_39d0000c.gif

hello_html_m29d59ffe.gif

hello_html_m46b37650.gif

hello_html_519bbd72.gif

hello_html_5402096c.gif

72 hello_html_m50714a8f.gif

hello_html_5d06bdb9.gif

hello_html_m61ce3246.gif

hello_html_30bf6f2b.gif

hello_html_m45d534e.gif

75 hello_html_31d7afab.gif

hello_html_1a68b9db.gif

hello_html_m3fb4c585.gif

hello_html_m4a774412.gif

hello_html_m602b5d86.gif


Вопросы для проверки



1. Что такое числовая окружность?

2. Перечислите признаки числовой окружности.

3. Какая величина принимается за единицу измерения при градусном измерении углов?

4. Что такое радиан?

5. По каким формулам переводят градусную меру угла в радианную и наоборот?

6. Выразите в радианах углы, равные 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360.

7. Почему ошибочна запись = 180?

8. При каком условии длина дуги равна ее радианной мере?

9. Какой угол называется углом поворота?

10. Какой угол поворота называется положительным? отрицательным?

11. Задайте формулой общий вид углов поворота.

12. Сформулируйте правило «полного оборота».

13. Какие функции называются тригонометрическими?

14. Дайте определение функции синус; косинус; тангенс; котангенс.

15. При каких углах не определен тангенс? котангенс?

16. Назовите значения тригонометрических функций углов 30, 45, 60.

17. Какие значения может принимать синус? косинус? тангенс? котангенс?

18. Определите знаки тригонометрических функций в зависимости от того, в какой четверти находится аргумент.

19. Какие из тригонометрических функций являются четными, какие – нечетными?

20. Чему равен период синуса? косинуса? тангенса? котангенса?





hello_html_6e38181b.gif

1. Числовая прямая




Алгебраические функции — это функции, заданные аналитическим выражением, в записи которого используются алгебраические операции над числами и переменной (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).


hello_html_m36534e3a.gifу = 2х + 3, hello_html_m37fec7a5.gif


Числовая прямая — это математическая модель для представления чисел, в которой каждое число соответствует точке на прямой, причем расстояние от точки до начала отсчета равно модулю числа:


hello_html_m79a77e1c.gif






Признаки числовой прямой:

1) начало отсчета;

2) единичный отрезок;

3) положительное направление (стрелка).
















hello_html_m36832801.gif

11. Простейшие тригонометрические неравенства




hello_html_m276e5194.gif













Чтобы решить простейшее тригонометрическое неравенство нужно:


1. Провести прямую к линии соответствующей функции.

2. Выделить дугу, на которой лежат решения неравенства.

3. Найти концы этой дуги, помня, что обход совершается против часовой стрелки от меньшего числа к большему.

4. Прибавить к концам интервала числа, кратные периоду функции.



Рhello_html_m36534e3a.gifешить неравенство hello_html_m46667213.gif.

Решение.


Вhello_html_m3d499d5f.gifсе решения, удовлетворяющие заданному неравенству, лежат на дуге l. Найдем ее концы:

hello_html_10eac8d1.gif

С учетом периода синуса, запишем ответ:

hello_html_m4292bdff.gif.

Ответ: hello_html_m55c1d01.gif


hello_html_m36832801.gif

10. Простейшие тригонометрические уравнения



hello_html_m55b5e782.gif











hello_html_m15b360f0.gif

Если правая часть уравнения — отрицательное число, то следует воспользоваться свойствами соответствующих обратных тригонометрических функций, тогда:

hello_html_m3aeccf18.gif


hello_html_1e347797.gif

При а = 1; 0; –1 решение уравнения записывается в виде (n Z):

hello_html_m7892d32a.gif



















hello_html_m36832801.gif

2. Числовая окружность




Единичная окружность — это окружность, радиус которой принят за единицу измерения.


Числовая окружность — это единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности:

hello_html_m559335e2.gif








hello_html_7ce9651a.gifhello_html_1e347797.gif

Указанное соответствие можно определить следующим образом: каждому числу соответствует такая точка Р числовой окружности, чтобы дуга ОР имела длину || и была отложена в положительном направлении если > 0 и в отрицательном, если < 0:


Признаки числовой окружности:

1) начало отсчета – правый конец горизонтального диаметра;

2) единичный отрезок – длина радиуса окружности;

3) положительное направление – против часовой стрелки.


hello_html_m15b360f0.gif

Откладывать можно дуги какой угодно длины. То есть числовую окружность можно рассматривать как окружность радиуса 1, на которую «намотана» числовая прямая:

hello_html_2d7bd031.gif









hello_html_m60b92f84.gif

3. Радианная мера углов и дуг




Угол в 1 — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна части окружности.


Угол поворота — это угол, полученный вращением луча около его начала О от начального положения ОА до конечного положения ОВ.


Угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.


hello_html_m5bd11525.gifhello_html_m6335c355.gif


hello_html_1e347797.gif

Радианная мера угла численно равна пути, который проходит точка по дуге единичной окружности, на которую опирается этот угол:



Для связи радианов и градусов используют развернутый угол:

hello_html_79aa8276.gif








1hello_html_33d5a332.gif. Говорят: «угол радиан» или чаще «угол ». Обозначение «радиан» или «рад», как правило, опускают.

2. Термин «радианное измерение углов» равносилен термину «числовое измерение углов», т.е. фраза «угол равен двум радианам» равносильна фразе «угол равен числу 2» и даже «угол равен двум». Поэтому вопрос типа «Чему равно ?» некорректен. Нужно спрашивать: «Чему равен угол ?» (60) или «Чему равно число ?» ( 1,05).

hello_html_m36832801.gif

9. Обратные тригонометрические функции



hello_html_283f8ebc.gif

Арксинусом числа а называется такое число х из интервала hello_html_m10be499.gif, синус которого равен а.


hello_html_m336b9fc0.gif

hello_html_4b087d62.gif

Арккосинусом числа а называется такое число х из интервала [0; ], косинус которого равен а.


hello_html_m7e56ac1c.gif

hello_html_5f2132ce.gif


Арктангенсом числа а называется такое число х из интервала hello_html_ma7b3705.gif, тангенс которого равен а.


hello_html_63bade51.gifhello_html_407db7f7.gif


Арккотангенсом числа а называется такое число х из интервала (0; ), котангенс которого равен а.


hello_html_m533eb003.gif


hello_html_1e347797.gif

1. Для отрицательных значений аргумента:

hello_html_m3f05c940.gif hello_html_m7cc2d0bd.gif






2. Из определения аркфункции сразу следует, что:

hello_html_448fc23f.gif hello_html_651ee4e3.gif





VI. Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части):

hello_html_59626c46.gif


VII. Формулы сумм:

hello_html_2ffcd017.gif


VIII. Формулы произведений:

hello_html_684f67ac.gif


IX. Универсальная тригонометрическая подстановка:

hello_html_1c6294aa.gif

X. Некоторые дополнительные формулы:

hello_html_me97bb8f.gif

hello_html_m36832801.gif

4. Угол поворота




Полный оборот — это угол поворота, равный 2 рад (или 360).

hello_html_3a42c801.gif
















hello_html_m15b360f0.gif

Некоторые положения конечной точки угла поворота:

hello_html_m2342ad37.gif






















hello_html_m36832801.gif

5. Определение тригонометрических функций




Функция косинус — это функция, которая ставит в соответствие каждому числу t абсциссу точки М(t) координатной окружности.


Фhello_html_10f8cb38.gifункция синус — это функция, которая ставит в соответствие каждому числу t ординату точки М(t) координатной окружности.


Если М(t) = М(х; у),
то х = cos t, у = sin t

Таким образом,

М(t) = М(cos t; sin t)


hello_html_33d5a332.gif

Запись М(t) показывает положение точки М на координатной окружности, а запись М(cos t; sin t) – положение той же точки на координатной плоскости.


Функция тангенс — это частное от деления функции синус на функцию косинус.


Функция котангенс — это частное от деления функции косинус на функцию синус.

hello_html_1e347797.gif

Поскольку деление на нуль невозможно, функции tg t и ctg t определены не для всех значений аргумента. Тангенс определен лишь для значений аргумента, при которых cos t 0, котангенс определен при sin t 0:


hello_html_m7ca6e40.gif



Тригонометрические функции — это общее название функций синус, косинус, тангенс и котангенс.




I. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:

hello_html_m31b0a42a.gif


II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:

hello_html_5fb3b483.gif


III. Формулы приведения:

1) функция меняется на кофункцию при переходе через вертикальную ось и не меняется при переходе через горизонтальную;

2) перед приведенной функцией ставится знак приводимой функции, считая углом первой четверти.


IV. Формулы двойного аргумента:

hello_html_m54962e04.gif


V. Формулы понижения степени:

hello_html_5d9f6f67.gif

Значения тригонометрических функций
некоторых углов

таблица 1


0






sin

0


hello_html_1f4a5d0.gif

hello_html_66d0d8b7.gif

1

0

1

cos

1

hello_html_66d0d8b7.gif

hello_html_1f4a5d0.gif


0

1

0

tg

0

hello_html_m225a10a0.gif

1

hello_html_93b6d1d.gif

0

ctg

hello_html_93b6d1d.gif

1

hello_html_m225a10a0.gif

0

0





Связь между тригонометрическими функциями
одного аргумента

таблица 2

Искомая функция

Выражение искомой функции через

sin 

cos 

tg 

сtg 

sin  =

sin 

hello_html_5892d126.gif

hello_html_m4c4b9d54.gif

hello_html_m7eaca775.gif

cos  =

hello_html_m65a339fc.gif

cos 

hello_html_m6b3781ef.gif

hello_html_m23931a3a.gif

tg  =

hello_html_c0b3e22.gif

hello_html_54f71022.gif

tg 

hello_html_224e9042.gif

сtg  =

hello_html_4d422704.gif

hello_html_m3607bb26.gif

hello_html_m554e9266.gif

сtg 

hello_html_m36832801.gif

6. Графики тригонометрических функций




Тригонометрический набор координат:

hello_html_51ede358.gif










уhello_html_meca9b6a.gif = sin x синусоида








уhello_html_m48bdbf49.gif = cos x косинусоида








у = tg x у = ctg x

тангенсоида котангенсоида

hello_html_444a0710.gif











hello_html_m5471d512.gif

7. Свойства синуса и косинуса




Линия синусов

Область значений

Знаки по четвертям

Четность – нечетность

hello_html_77398ca2.gif




|sin t| 1


sin(–t) = –sin t



Линия косинусов

Область значений

Знаки по четвертям

Четность – нечетность

hello_html_359ae62c.gif




|cos t| 1


cos(–t) = cos t




Область определения

D(sin) = R

D(cos) = R

Область значений

E(sin) = [–1; 1]

E(cos) = [–1; 1]

Четность – нечетность

нечетная функция

четная функция

Периодичность

sin(x 2) = sin x

cos(x 2) = cos x

8. Свойства тангенса и котангенса

hello_html_m5471d512.gif



Линия тангенсов

Область значений

Знаки по четвертям

Четность – нечетность

hello_html_mbe300b0.gif




tg t (; +)


tg(–t) = –tg t



Линия котангенсов

Область значений

Знаки по четвертям

Четность – нечетность

hello_html_70796611.gif

hello_html_m68f6e67c.gif

hello_html_b6ac860.gif

hello_html_3fe2ffd1.gif

ctg t (; +)


ctg(–t) = –ctg t




Область определения

hello_html_m19a2f9c4.gif

hello_html_3256301e.gif

Область значений

E(tg) = (; +)

E(ctg) = (; +)

Четность – нечетность

нечетная функция

нечетная функция

Периодичность

tg(x ) = tg x

ctg(x ) = ctg x


18 3

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 13.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров692
Номер материала ДВ-059135
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх