Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Опорные задачи по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости (10 класс)

Опорные задачи по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости (10 класс)

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Цели конкурса: повысить интерес учеников к математике, усилить внутреннюю мотивацию, веру в себя и свои силы. Ученики отвечают на задания прямо на сайте конкурса, учителю не нужно распечатывать задания. Для каждого ученика конкурс по математике «Поверь в себя» - это прекрасная возможность проявить себя и раскрыть свой потенциал.

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Опорные задачи

Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Решение: пусть а - прямая и А - точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость hello_html_722f943.gif. В плоскости hello_html_722f943.gifчерез точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.

hello_html_m390cd97b.gif



Докажите, что через любую точку А можно прoвести прямую, перпендикулярную данной плоскости hello_html_722f943.gif.

Решение: Проведем в плоскости hello_html_722f943.gifдве пересекающиеся прямые с и b. Через точку их пересечения проведем плоскости hello_html_59012d14.gifи hello_html_mb73a6b9.gifперпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит и плоскости hello_html_722f943.gif. Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме (Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой) она перпендикулярна плоскости hello_html_722f943.gif.

hello_html_59641b6e.gif



Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

Решение: Пусть а - данная прямая и hello_html_722f943.gif- данная плоскость. Возьмем на прямой а две произвольные точки Х и Y. Их расстояния до плоскости hello_html_722f943.gif- это длины перпендикуляров ХХ1 и YY1, опущенных на эту плоскость. По теореме (Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны) прямые ХХ1 и YY1 параллельны, следовательно, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость hello_html_722f943.gifпо прямой Х1Y1.Прямая а параллельна прямой Х1Y1, так как не пересекает содержащую её плоскость hello_html_722f943.gif. Итак у четырехугольника ХХ1YY1 противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм, а значит ХХ1=YY1.

hello_html_344761de.gif

Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Решение: Пусть А, В, С - точки касания сторон треугольника с окружностью, О - центр окружности и S - точка на перпендикуляре. Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной) отрезок есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина - расстояние от точки S до стороны треугольника. по теореме Пифагора 2=2+SO2=r2+SO2, где r - радиус вписанной окружности. Аналогично получаем 2=r2+SO2 и 2=r2+SO2, т.е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.

hello_html_m347cc20a.gif



Даны прямая а и плоскость hello_html_722f943.gif. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости hello_html_722f943.gif.

Решение: Через произвольную точку прямой а проводим прямую b, перпендикулярную плоскости hello_html_722f943.gif. Через прямые а и b проводим плоскость hello_html_59012d14.gif. Плоскость hello_html_59012d14.gifперпендикулярна плоскости hello_html_722f943.gifпо теореме (Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны).

hello_html_296e2f73.gif







Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 25.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров57
Номер материала ДБ-098516
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх