Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Опорные задачи по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости (10 класс)

Опорные задачи по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости (10 класс)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Опорные задачи

Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Решение: пусть а - прямая и А - точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость hello_html_722f943.gif. В плоскости hello_html_722f943.gifчерез точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.

hello_html_m390cd97b.gif



Докажите, что через любую точку А можно прoвести прямую, перпендикулярную данной плоскости hello_html_722f943.gif.

Решение: Проведем в плоскости hello_html_722f943.gifдве пересекающиеся прямые с и b. Через точку их пересечения проведем плоскости hello_html_59012d14.gifи hello_html_mb73a6b9.gifперпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит и плоскости hello_html_722f943.gif. Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме (Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой) она перпендикулярна плоскости hello_html_722f943.gif.

hello_html_59641b6e.gif



Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

Решение: Пусть а - данная прямая и hello_html_722f943.gif- данная плоскость. Возьмем на прямой а две произвольные точки Х и Y. Их расстояния до плоскости hello_html_722f943.gif- это длины перпендикуляров ХХ1 и YY1, опущенных на эту плоскость. По теореме (Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны) прямые ХХ1 и YY1 параллельны, следовательно, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость hello_html_722f943.gifпо прямой Х1Y1.Прямая а параллельна прямой Х1Y1, так как не пересекает содержащую её плоскость hello_html_722f943.gif. Итак у четырехугольника ХХ1YY1 противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм, а значит ХХ1=YY1.

hello_html_344761de.gif

Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Решение: Пусть А, В, С - точки касания сторон треугольника с окружностью, О - центр окружности и S - точка на перпендикуляре. Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной) отрезок есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина - расстояние от точки S до стороны треугольника. по теореме Пифагора 2=2+SO2=r2+SO2, где r - радиус вписанной окружности. Аналогично получаем 2=r2+SO2 и 2=r2+SO2, т.е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.

hello_html_m347cc20a.gif



Даны прямая а и плоскость hello_html_722f943.gif. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости hello_html_722f943.gif.

Решение: Через произвольную точку прямой а проводим прямую b, перпендикулярную плоскости hello_html_722f943.gif. Через прямые а и b проводим плоскость hello_html_59012d14.gif. Плоскость hello_html_59012d14.gifперпендикулярна плоскости hello_html_722f943.gifпо теореме (Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны).

hello_html_296e2f73.gif







Общая информация

Номер материала: ДБ-098516

Похожие материалы