Опорный конспект для подготовки к ОГЭ по математике "Действия с обыкновенными дробями"

Обыкновенные дроби

b-знаменатель дроби, показывает, на сколько равных частей разделили;

a-числитель дроби, показывает, сколько таких частей взяли. Дробная черта означает знак деления.

Иногда вместо горизонтальной дробной черты ставят наклонную, и обыкновенная дробь записывается так: a/b.

В наших примерах обыкновенные дроби можно было бы записать так:

; ; ; .

• У правильной дроби числитель меньше знаменателя.

Примеры правильных дробей.

• У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен знаменателю.

Примеры неправильных дробей.

Задача. В классе 24 учащихся,   из них составляют мальчики. Сколько мальчиков в классе?

 Решение.

Решить задачу можно, составив выражение:  (24:8)·5=15.

Ответ: 15 мальчиков в классе.

Задача.  Олово составляет частей сплава. Найти массу сплава, если олова в нем содержится 250 г.

Решение.

Решить задачу можно, составив выражение: (250:5)·6=300.

Ответ: масса сплава 300 г.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Закрашенные области всех трех кругов равны между собой, но над кругами записаны различные обыкновенные дроби. Почему? И все ли верно? Да, все верно, ведь можно разделить круг на:

• 4 части и закрасить 3 такие части;

• 8 частей и закрасить 6 таких частей;

• 12 частей и закрасить 9 таких частей.

Следовательно,

= = ; = = ;

= ; = .

Мы убедились в правильности высказывания:

если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Примеры.

 Используя основное свойство дроби, замените звездочку таким числом, чтобы равенство было верным.

= ; = =

Рассуждаем так: числитель нужно увеличить во столько же раз, во сколько увеличили знаменатель дроби, т. е. в 4 раза (16:4=4). Вместо звездочки запишем значение 3·4=12.

Еще такие примеры.

2. = ; = =

3. = ; = =

4. = ; = = .

5. = ; = .

Рассуждаем так: знаменатель нужно уменьшить во столько же раз, во сколько уменьшили числитель дроби, т. е. в 7 раз (21:3=7). Вместо звездочки запишем значение 28:7=4.

 6. = ; = = .

7. = ; = = .

8. = ; = = .

 Сокращение обыкновенных дробей

Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Примеры сокращения обыкновенных дробей

Чтобы сократить обыкновенную дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Это число является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя данной дроби.

Возможны следующие формы записи решения примеров на сокращение обыкновенных дробей.

Учащийся вправе выбрать любую форму записи.

Примеры.

Упростить дроби.

Сократим дробь на 3 (делим числитель на 3;делим знаменатель на 3).

Сокращаем дробь на 7.

Выполняем указанные действия в числителе и знаменателе дроби.

Полученную дробь сокращаем на 5.

Сократим данную дробь 4) на 5·7³ — наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который состоит из общих множителей числителя и знаменателя, взятых в степени с наименьшим показателем.

Разложим числитель и знаменатель этой дроби на простые множители.

Получаем: 756=2²·3³·7 и 1176=2³·3·7².

Определяем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя дроби 5.

Это произведение общих множителей, взятых с наименьшими показателями.

НОД(756; 1176)=2²·3·7.

Делим числитель и знаменатель данной дроби на их НОД, т. е. на 2²·3·7 получаем несократимую дробь .

А можно было записать разложения числителя и знаменателя  в виде произведения простых множителей, не применяя понятие степени, а затем произвести сокращение дроби, зачеркивая одинаковые множители в числителе и знаменателе. Когда одинаковых множителей не останется — перемножаем оставшиеся множители отдельно в числителе и отдельно в знаменателе и выписываем получившуюся дробь .

И, наконец, можно было сокращать данную дробь 5) постепенно, применяя признаки деления чисел и к числителю и к знаменателю дроби. Рассуждаем так: числа 756 и 1176 оканчиваются четной цифрой, значит, оба делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. Числитель и знаменатель новой дроби — числа 378 и 588 также делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. Замечаем, что число 294 — четное, а 189 — нечетное, и сокращение на 2 уже невозможно. Проверим признак делимости чисел 189 и 294 на 3.

(1+8+9)=18 делится на 3 и (2+9+4)=15 делится на 3, следовательно, и сами числа 189 и 294 делятся на 3. Сокращаем дробь на 3.  Далее, 63 делится на 3, а 98 — нет. Перебираем другие простые множители. Оба числа делятся на 7. Сокращаем дробь на 7 и получаем несократимую дробь .

Смешанное число

•  Число, состоящее из целой части и дробной части, называется смешанным числом.

•  Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо разделить числитель дроби на знаменатель, тогда неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется тот же.

•  Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить целую часть смешанного числа на знаменатель, к полученному результату прибавить числитель дробной части и записать в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставить тот же.

Примеры.

Представить неправильную дробь в виде смешанного числа:

Дробная часть означает знак деления. В столбик разделим числитель 9 на знаменатель 2. Частное 4 будет целой частью смешанного числа, остаток 1 станет числителем дробной части, а знаменатель 2 останется тот же.

Еще такие примеры.

Записать смешанное число в виде неправильной дроби:

Число 2 — целую часть смешанного числа умножают на знаменатель 4 дробной части, к полученному произведению прибавляют число 3 — числитель дробной части смешанного числа; результат 11 станет числителем неправильной дроби, а знаменатель 4 останется тот же.

Еще такие примеры.

Сложение  и  вычитание обыкновенных дробей

•  Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

•  Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.

•  Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.

•  Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

•  При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.

Примеры на сложение и вычитание обыкновенных дробей

I.  Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Примеры.

II.  Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.

Примеры.

III.  Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.

Примеры.

IV.  Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Примеры.

V.  При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.

Примеры.

Да, складывать нужно отдельно целые части и отдельно дробные части смешанного числа.

Нет, не нужно расписывать целые и дробные части смешанных чисел по отдельности.

Важно: не начинайте выполнять сложение, пока не приведете дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

Помним, что единицу можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель и знаменатель которой, являются любыми равными друг другу числами.

Важно: не начинайте выполнять вычитание, пока не приведете  дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) и не убедитесь, что из числителя первой дроби можно вычесть числитель второй дроби. А если нельзя вычесть?

Тогда «занимаете» у целой части уменьшаемого одну целую единицу, представляете ее в виде неправильной дроби с таким же знаменателем (НОЗ),  и добавляете эту неправильную дробь (раздробленную единицу) к дробной части уменьшаемого.

Умножение обыкновенных дробей

I. Произведение двух обыкновенных дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей.

Примеры.

II.  Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить тот же.

Примеры.

 III.  Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными числами.

Примеры умножения взаимно обратных чисел:

IV.  При умножении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.

 V. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Пример.

Деление обыкновенных дробей

I. Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.

Примеры.

II.  При делении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.

Примеры.

III.  Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это натуральное число, а числитель оставить тот же.

Примеры.

IV.  Чтобы найти число по его дроби, нужно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.

Пример на нахождение числа по его дроби.

Обыкновенные дроби