Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Опорный конспект для подготовки к ОГЭ по математике "Действия с обыкновенными дробями"

Опорный конспект для подготовки к ОГЭ по математике "Действия с обыкновенными дробями"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Обыкновенные дроби

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/04/drob.jpgb-знаменатель дроби, показывает, на сколько равных частей разделили;

a-числитель дроби, показывает, сколько таких частей взяли. Дробная черта означает знак деления.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/07/opred-dr.jpg.jpg

Иногда вместо горизонтальной дробной черты ставят наклонную, и обыкновенная дробь записывается так: a/b.

В наших примерах обыкновенные дроби можно было бы записать так:

hello_html_685d8d49.gif; hello_html_m1b987981.gif; hello_html_6eec8aff.gif; hello_html_m57c90caf.gif.


  • У правильной дроби числитель меньше знаменателя.


Примеры правильных дробей.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/07/prav-drobi1.jpg


  • У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен знаменателю.


Примеры неправильных дробей.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/07/neprav-drobi.jpg


Задача. В классе 24 учащихся,  hello_html_7fab0216.gif из них составляют мальчики. Сколько мальчиков в классе?

 Решение.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/07/zadacha-drobi.jpg


Решить задачу можно, составив выражение:  (24:85=15.

Ответ: 15 мальчиков в классе.


Задача.  Олово составляет hello_html_6533ba.gif частей сплава. Найти массу сплава, если олова в нем содержится 250 г.

Решение.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/07/zadacha-drobi1.jpg



Решить задачу можно, составив выражение: (250:56=300.

Ответ: масса сплава 300 г.

 






























Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/07/osnobnoe-svojstvo-drobi.jpg

Закрашенные области всех трех кругов равны между собой, но над кругами записаны различные обыкновенные дроби. Почему? И все ли верно? Да, все верно, ведь можно разделить круг на:

  • 4 части и закрасить 3 такие части;

  • 8 частей и закрасить 6 таких частей;

  • 12 частей и закрасить 9 таких частей.

Следовательно,

hello_html_m57c90caf.gif= hello_html_10069f11.gif = hello_html_m29563506.gif; hello_html_m57c90caf.gif = hello_html_m2cb943e5.gif = hello_html_m271a2d9e.gif;

hello_html_m57c90caf.gif= hello_html_m29563506.gif; hello_html_m57c90caf.gif = hello_html_m271a2d9e.gif.


Мы убедились в правильности высказывания:

если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Примеры.

 Используя основное свойство дроби, замените звездочку таким числом, чтобы равенство было верным.

hello_html_m2809e73e.gif= hello_html_6bf1add5.gif; hello_html_m57c90caf.gif = hello_html_m690a7ea.gif = hello_html_6bd1eed.gif

Рассуждаем так: числитель нужно увеличить во столько же раз, во сколько увеличили знаменатель дроби, т. е. в 4 раза (16:4=4). Вместо звездочки запишем значение 3·4=12.

Еще такие примеры.

2. hello_html_2ee8300a.gif = hello_html_639cede4.gif; hello_html_2ee8300a.gif = hello_html_m62c9e2ee.gif = hello_html_m6c7d2542.gif

3. hello_html_6a1c94eb.gif = hello_html_m4f914fd2.gif; hello_html_6a1c94eb.gif = hello_html_m3417f4dd.gif = hello_html_m736973f.gif

4. hello_html_m53244232.gif = hello_html_1e925bd1.gif; hello_html_m53244232.gif = hello_html_6e5f18ce.gif = hello_html_7abb412.gif.

5. hello_html_7e549d0a.gif = hello_html_m762f7d26.gif; hello_html_m54786445.gif = hello_html_m57c90caf.gif.

Рассуждаем так: знаменатель нужно уменьшить во столько же раз, во сколько уменьшили числитель дроби, т. е. в 7 раз (21:3=7). Вместо звездочки запишем значение 28:7=4.

 6. hello_html_m747b4e5f.gif = hello_html_m573bead1.gif; hello_html_m747b4e5f.gif = hello_html_m5dfd78a0.gif = hello_html_36b5a9e0.gif.

7. hello_html_68f6034d.gif = hello_html_792101eb.gif; hello_html_68f6034d.gif = hello_html_m4954a7e5.gif = hello_html_36b5a9e0.gif.

8.hello_html_m5b96645d.gif = hello_html_37cbfcca.gif; hello_html_m5b96645d.gif = hello_html_4fbf2d94.gif = hello_html_m1d10b43b.gif.

 Сокращение обыкновенных дробей


Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.


Примеры сокращения обыкновенных дробей


Чтобы сократить обыкновенную дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Это число является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя данной дроби.

Возможны следующие формы записи решения примеров на сокращение обыкновенных дробей.

Учащийся вправе выбрать любую форму записи.


http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/06/sokrdr.jpg


Примеры.

Упростить дроби.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/06/sokrdr1.jpg

Сократим дробь на 3 (делим числитель на 3;делим знаменатель на 3).

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/06/sokrdr2.jpg

Сокращаем дробь на 7.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/06/sokrdr3.jpg

Выполняем указанные действия в числителе и знаменателе дроби.

Полученную дробь сокращаем на 5.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/06/sokrdr42.jpg

Сократим данную дробь 4) на 5·7³ — наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который состоит из общих множителей числителя и знаменателя, взятых в степени с наименьшим показателем.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/06/sokrdr5.jpg

Разложим числитель и знаменатель этой дроби на простые множители.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/06/756-1176.jpg

Получаем: 756=2²·3³·7 и 1176=2³·3·7².

Определяем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя дроби 5.

Это произведение общих множителей, взятых с наименьшими показателями.

НОД(756; 1176)=2²·3·7.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/06/sokrlh51.jpg

Делим числитель и знаменатель данной дроби на их НОД, т. е. на 2²·3·7 получаем несократимую дробь hello_html_737f2a4e.gif.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/06/sokrdr52.jpg

А можно было записать разложения числителя и знаменателя  в виде произведения простых множителей, не применяя понятие степени, а затем произвести сокращение дроби, зачеркивая одинаковые множители в числителе и знаменателе. Когда одинаковых множителей не останется — перемножаем оставшиеся множители отдельно в числителе и отдельно в знаменателе и выписываем получившуюся дробь hello_html_737f2a4e.gif.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/06/sokrdr53.jpg

И, наконец, можно было сокращать данную дробь 5) постепенно, применяя признаки деления чисел и к числителю и к знаменателю дроби. Рассуждаем так: числа 756 и 1176 оканчиваются четной цифрой, значит, оба делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. Числитель и знаменатель новой дроби — числа 378 и 588 также делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. Замечаем, что число 294 — четное, а 189 — нечетное, и сокращение на 2 уже невозможно. Проверим признак делимости чисел 189 и 294 на 3.

(1+8+9)=18 делится на 3 и (2+9+4)=15 делится на 3, следовательно, и сами числа 189 и 294 делятся на 3. Сокращаем дробь на 3.  Далее, 63 делится на 3, а 98 — нет. Перебираем другие простые множители. Оба числа делятся на 7. Сокращаем дробь на 7 и получаем несократимую дробь hello_html_737f2a4e.gif.

































Смешанное число


  •  Число, состоящее из целой части и дробной части, называется смешанным числом.

  •  Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо разделить числитель дроби на знаменатель, тогда неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется тот же.

  •  Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить целую часть смешанного числа на знаменатель, к полученному результату прибавить числитель дробной части и записать в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставить тот же.

Примеры.

Представить неправильную дробь в виде смешанного числа:

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/07/smesh-ch1.jpg

Дробная часть означает знак деления. В столбик разделим числитель 9 на знаменатель 2. Частное 4 будет целой частью смешанного числа, остаток 1 станет числителем дробной части, а знаменатель 2 останется тот же.

Еще такие примеры.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/07/smesh-ch22.jpg

Записать смешанное число в виде неправильной дроби:

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/07/smesh-ch3.jpg

Число 2 — целую часть смешанного числа умножают на знаменатель 4 дробной части, к полученному произведению прибавляют число 3 — числитель дробной части смешанного числа; результат 11 станет числителем неправильной дроби, а знаменатель 4 останется тот же.

Еще такие примеры.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/07/smesh-ch4.jpg

 

 

Сложение  и  вычитание обыкновенных дробей


  •  Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

  •  Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.

  •  Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.

  •  Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

  •  При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.



Примеры на сложение и вычитание обыкновенных дробей


I Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.


Примеры.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/157.jpg

II.  Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.


Примеры.


http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/1581.jpg

III Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.


Примеры.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/1591.jpg

IV Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.


Примеры.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/160.jpg

V При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.

Примеры.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/161.jpg

Да, складывать нужно отдельно целые части и отдельно дробные части смешанного числа.

Нет, не нужно расписывать целые и дробные части смешанных чисел по отдельности.

Важно: не начинайте выполнять сложение, пока не приведете дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/162.jpg

Помним, что единицу можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель и знаменатель которой, являются любыми равными друг другу числами.

Важно: не начинайте выполнять вычитание, пока не приведете  дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) и не убедитесь, что из числителя первой дроби можно вычесть числитель второй дроби. А если нельзя вычесть?

Тогда «занимаете» у целой части уменьшаемого одну целую единицу, представляете ее в виде неправильной дроби с таким же знаменателем (НОЗ),  и добавляете эту неправильную дробь (раздробленную единицу) к дробной части уменьшаемого.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/163.jpg

 




Умножение обыкновенных дробей


I. Произведение двух обыкновенных дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей.

Примеры.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/1642.jpg

II Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить тот же.

Примеры.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/1651.jpg

 III.  Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными числами.

Примеры умножения взаимно обратных чисел:

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/166.jpg

IV При умножении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/167.jpg

 VЧтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Пример.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/168.jpg













Деление обыкновенных дробей


I. Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.

Примеры.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/1692.jpg

II.  При делении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.

Примеры.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/170.jpg


III.  Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это натуральное число, а числитель оставить тот же.

Примеры.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/1711.jpg

IV.  Чтобы найти число по его дроби, нужно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.


Пример на нахождение числа по его дроби.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/11/172.jpg














Обыкновенные дроби


Автор
Дата добавления 24.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров580
Номер материала ДВ-183870
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх