Опорный
конспект по теме: «Числовая окружность»
Пример 1. В
единичной окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра:
горизонтальный CA и
вертикальный DB.
Дуга AB разделена точкой M
на две равные части, а точками K и P
– на три равные части. Чему равна длина дуги: AM,
MB,
AK,
KP,
PB,
AP,
KM?
Пример 2. Вторая
четверть единичной окружности разделена пополам M,
а четвертая четверть разделена на три равные части
точками K и P.
Чему равна длина дуги: AM,
AK,
AP,
PB,
MK,
KM?
Пример 3. Найти
на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:
ЗАПОМНИТЬ
Как запомнить
имена числовой окружности.
Перед тем как начать,
напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π)
против часовой стрелки.
1) Начнем с крайних точек
на осях координат.
Начальная
точка – это 2π (крайняя правая точка на оси х).
2π –
это длина окружности. Значит, половина окружности – это π (крайняя левая точка
на оси х). Крайняя
верхняя точка на оси у делит
верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это π, то
половина полуокружности – это π/2.
Одновременно
π/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до
третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у –3π/2.
2)
Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные
точки имеют одинаковый знаменатель – причем это противоположные точки и
относительно оси у, и
относительно центра осей, и относительно оси х.
Надо запомнить лишь
значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые
закономерности:
- Относительно оси у в точках второй четверти,
противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины
знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка
относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в
числителе 5 (на 1 меньше).
Относительно
центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей
четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6.
Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в
числителе число на 1 больше – то есть это 7π/6.
- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине
знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна
числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к
величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то
есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в
числителе 11 – то есть 11π/6.
Точка
π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит,
противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в
числителе 7 – то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число – то
есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 – и
это точка 5π/3.
3)
Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их
знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой
четверти – это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти
– это 3π. Числитель середины третьей четверти – это 5π. Числитель середины
четвертой четверти – это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей –
четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4,
то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Решение заданий из учебника
№ 4.1
|
Решение:
|
№ 4.6
|
Решение:
|
№ 4.11
|
Решение:
|
Утверждение.
Если точка М числовой
окружности соответствует числу t , то она соответствует и числу вида t+2π •k,
где k – целое число
Важно! М(t) =
M(t+2π •k)
№ 4.13
№ 4.14
№ 4.15
Домашнее задание. № 4.2, 4.7, 4.10, 4.16
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.