Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Опорный конспект по теме "Решение тригонометрических уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Опорный конспект по теме "Решение тригонометрических уравнений"

библиотека
материалов

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


Определение: Показательные уравнения – это уравнения, в которых неизвестное находится в показатели степени

Примеры: 3х = 27; 4·2х = 16; 3х-1 = 9·3х

Теорема: Если hello_html_m2560cbc8.gif hello_html_6814c833.gif и hello_html_49a6e898.gif, то x1 = x2

Эту теорему будем использовать при решении показательных уравнений

Рассмотрим пять различных способов



РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ


I способ.

Приведение к одинаковому основанию


Решить уравнение:

  1. 5х = 25 (приведем к основанию 5)

  2. 5

    Самостоятельно

    4х = 64

    х = 52 по теореме имеем

х = 2

Ответ: х = 2


2) 4х-1 = 1 (приведем к основанию 4)

4х-1 = 40 заменим 1 на 40 а0=1

x

Самостоятельно

3х-2= 1

– 1 = 0

х = 1

Ответ: х = 1


3) 27х = hello_html_me73f853.gif (приведем к основанию 3)

(33)х = 3-1 hello_html_m58f45f.gif

33x = 3-1 (an)m=a n m

3

Самостоятельно

25х = hello_html_135658b.gif

x = -1

x = hello_html_m989555b.gif

Ответ: hello_html_m41bba389.gif


4) 4 · 2х = 1 (приведем к основанию 2)

22 · 2х = 20 an · am = an+ m

2

Самостоятельно

9 · 3х = hello_html_m57f023ca.gif

Самостоятельно

hello_html_m2c3f4f90.gif

Самостоятельно

52х-1 · 52-х = hello_html_135658b.gif

2+х = 20

2 + х = 0

х = –2

Ответ: х = –2


5) 3 · 9х = 81 | :3

9х = 27 (приведем к основанию 3)

(32)х = 33 (an)m=an m

3 = 33

2

Самостоятельно

2 · 25х = 50

х = 3

х = hello_html_5c3b4312.gif

Ответ: х = 1,5


6) hello_html_2aca7414.gif (приведем к основанию 3)

hello_html_211d0920.gif

х2 + х – 12 =0

a = 1; b = 1; c = -12

D = b2 – 4 ac; D = 12 – 4 · 1 · (-12) = 1 + 48 = 49 > 0

hello_html_m63b9fed0.gif hello_html_67dd0198.gif

hello_html_m69338641.gif hello_html_m69de7e51.gif

Ответ: х1 = 3; х2 = –4


7) 4х+1 · 42х+3 = 1 (приведем к основанию 4)

4х+1+2х+3 = 40 an · am = an+m

43х+4 = 40

3х + 4 = 0

3х = – 4

hello_html_6212c11d.gif

Ответ: hello_html_511f4076.gif


Задание для проверки


Решить уравнения:

  1. 7х = 49

  2. hello_html_35d382e9.gif

  3. 4х+1 = hello_html_m31e1c2c3.gif

  4. 2 · 4х = 64

  5. 3х · 3х-2 = hello_html_6a6f4185.gif








РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ


II способ.

Приведение к одинаковому показателю


Решить уравнение. Для решения уравнений этим способом нужно получить в левой и правой части уравнения степени с одинаковыми показателями.


  1. 5х = 8х | обе части уравнения разделим на 8х > 0

hello_html_m97b4411.gif hello_html_42c3fa2c.gif

hello_html_52c3db4d.gif 1 = а0

hello_html_m43f7e4b5.gif

Самостоятельно

7х = 3х

х = 0

Ответ: х = 0



2) hello_html_708607dd.gif : hello_html_m35a8b04e.gif

hello_html_4c88d07c.gif hello_html_a8bf465.gif

hello_html_b119638.gif

Самостоятельно

(0,6)х=(0,3)х

к основанию hello_html_9e40816.gif

х = 0

Ответ: х = 0



3) 3х = 5

3х = (52)х аn m=(аn)m

3х = 25х : 25х

hello_html_6376852c.gif

hello_html_5e9f2227.gif

Самостоятельно

4=3х

Самостоятельно

52х-1=31-2х

х = 0

Ответ: х = 0



4) 7х-2 = 32-х

7х-2 = 3-1(х-2) аn m=(аn)m

7х-2 = (3-1)х-2

7х-2 = hello_html_6b180b32.gif : hello_html_6b180b32.gif

21х-2 = 1 hello_html_m37faa68e.gif

21х-2 = 210

х-2 = 0

х = 2

Ответ: х = 2



5) hello_html_m6a05e902.gif к показателю (х-3)

hello_html_45a260f6.gif

hello_html_5e11eeec.gif : 9х-3

hello_html_m8cccfb4.gif

hello_html_m6bbb025d.gif

Самостоятельно

hello_html_m2a15759d.gif

х – 3 = 0

х = 3

Ответ: х = 3


6) 2 · 3х = 576

(23)х · 3х = 242

8х · 3х = 242 an · bn = (ab)n

(8 · 3)х = 242

24х = 242

х = 2

Ответ: х =2




Задание для самоконтроля


  1. 4х = 3

  2. 5х = hello_html_780fb4e5.gif


  1. 22х+6 = 3х+3



РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ


III способ.

Вынесение общего множителя за скобки


При решении уравнений этим способом за скобку выносится степень с наименьшим показателем.

Решить уравнение:

  1. 3

    Самостоятельно

    4х – 3 · 4х-2 = 52

    х+1 – 2 · 3х-2 = 25

х + 1 > х – 2, значит, вынесем 3х-2

3х-2 (3х+1-(х-2) - 2) = 25 аn : am = an-m

3х-2 (3х+1-х+2 - 2) = 25

3х-2 (33 - 2) = 25

3х-2 * 25 = 25 | : 25

3х-2 = 1

3х-2 = 30

х – 2 = 0

х = 2

Ответ: х = 2

  1. 3

    Самостоятельно

    23х+2 – 23х-2 = 30

    2х-1 + 3 = 108; (2х-1<2х)

32х-1 (1+ 32х-(2х-1)) = 108

32х-1 (1+ 32х-2х+1) = 108

32х-1 (1+ 31) = 108

32х-1 · 4 = 108 | :4

32х-1 = 27 к основанию 3

32х-1 = 33

2х-1 = 3

2х = 4

х = 2

Ответ: х = 2

  1. 2

    Самостоятельно

    3х-1 – 3х + 3х+1 = 63

    х+1 + 2х-1 + 2х = 28

наименьший показатель х-1

2х-1 (2х+1-(х-1) + 1 + 2х-(х-1)) = 28

2х-1 (2х+1-х+1 + 1 + 2х-х+1) = 28

2х-1 (22 + 1 + 21) = 28

2х-1 · 7 = 28 | : 7

2х-1 = 4 к основанию 2

2х-1 = 22

х - 1 = 2

х = 3

Ответ: х = 3




Проверочная работа

  1. 5 + 3 · 53х-2 = 140

  2. 7х – 7х-1 = 6

  3. 2х+1 + 3 · 2х-1 – 5 · 2х = -6


РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ


IV способ.

Сведение уравнения к квадратному

Решить уравнение:

  1. 9х – 4 · 3х – 45 = 0 к основанию 3

(32)х – 4 · 3х – 45 = 0

3 – 4 · 3х – 45 = 0

(3х)2 – 4 · 3х – 45 = 0

Заменим 3х на t

3x = t (t>0)

t2 – 4t – 45 = 0

a=1; b=-4; c=-45

D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 · 1 · (-45) = 16 + 180 = 196

hello_html_m6e9fd3e.gif

hello_html_77f56fed.gif 3x=t (t > 0)

  1. 3x = 9 2) 3x = -5

3x = 32 не имеет смысла, т.к. 3х > 0

x = 2

Ответ: х = 2

  1. 25х – 6 · 5х + 5 = 0

5 – 6 · 5х + 5 = 0

(5х)2 – 6 · 5х + 5 = 0 5x=t (t > 0)

t2 – 6t + 5 = 0

a=1; b=-6; c=5

D = b2 – 4ac = (-6)2 – 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16

hello_html_m65ece9f1.gif

hello_html_4704d60a.gif t=5x

  1. 5x = 5 2) 5x = 1

x = 1 5x = 50

x = 0

Ответ: х1 = 0; x2 = 1

  1. 32x+110 · 3х + 3 = 0

31 · 32x – 10 · 3х + 3 = 0 аn+m = an · am

3 · (3х)2 – 10 · 3х + 3 = 0 3х=t (t > 0)

3t2 – 10t + 3 = 0

a = 3; b = -10; c = 3

D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 · 3 · 3 = 100 - 36 = 64

hello_html_m77a4f441.gif

hello_html_3e7dfca3.gif t=3x

1) 3x = 3 2) 3x = hello_html_m19e8bb17.gif

x = 1 3x = 3(-1)

x = -1

Ответ: х1 = 1; x2 = -1




Решить самостоятельно:

  1. 9х – 4 · 3х + 3 = 0

  2. hello_html_m318c3ac5.gif + hello_html_629f15f0.gif - 6 = 0

  3. 132х+1 – 13х – 12 = 0


  1. 8 · 4х – 6 · 2х + 1 = 0



РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ


V способ.

Графический


Решить графически уравнение:

  1. 2х = х+1

Построим графики функций

у1=2х ; у=х+1

hello_html_177eda8d.gif

х

у


х

у

0

1


0

1

1

2


2

3

2

4




3

8




-1

hello_html_58b60ee0.gif




-2

hello_html_mba521d5.gif




-3

hello_html_4497b239.gif





Абсциссы точек пересечения графиков и будут решением уравнения. Таких точек две. Опустим перпендикуляр на ось Ох, получим точки

х1=0 и х2=1

Ответ: х1=0, х2=1



Решить самостоятельно (графически):

hello_html_m66c78d17.gif

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ


Решение показательных неравенств сводится к решению
неравенств
ах>ab или ахb


1) 3х < 81

3x < 34 основание а=3, а>1, функция у=ах возрастает,

x < 4 т.е. hello_html_m60ae40a4.gif, х1 > х2 знак неравенства не меняем

Ответ: x < 4



  1. hello_html_189f3125.gif основание а=hello_html_9162d97.gif; 0<a<1, функция у=ах убывает,

hello_html_m37db04d4.gif т.е. hello_html_m60ae40a4.gif, х1 < х2 знак неравенства меняем

х > 3 на противоположный

Ответ: х > 3



  1. hello_html_2af05243.gif

hello_html_20d48ce6.gif т.к. 3>1, то знак не меняем

х2 – х < 2

x2x – 2 < 0 решим уравнение

х2 – х – 2 = 0

a = 1; b = -1; c = -2

D = b2 – 4ac = (-1)2 – 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9

hello_html_m769d4398.gif решаем неравенство методом интервалов

hello_html_m243f2c4e.gif

Ответ: -1 < x < 2



4) hello_html_1f9b876.gif приведем к основанию а =hello_html_58b60ee0.gif

hello_html_m4c0a81e7.gif

hello_html_m39b2aeba.gif а =hello_html_58b60ee0.gif, 0 < a <1, знак меняем на противоположный

> -1 :2

х > hello_html_544bff47.gif

Ответ: hello_html_m26500b17.gif



5) 3х+2 + 3х+1 28 вынесем за скобку 3х+1

3х+1 ( 3х+2-(х+1) + 1) 28

3х+1 ( 33 + 1) 28

3х+1 · 28 28 : 28>0, значит, смысл неравенства не меняем

3х+1 1

3х+1 30 3>1, 3х – возрастает

х + 1 0

х -1

Ответ: х -1



Самостоятельно:

  1. hello_html_76f47543.gif

  2. 5х-1 hello_html_m5b6f2de5.gif


  1. 2х-1 + 2х+3 > 17


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 11.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров230
Номер материала ДВ-443097
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх