Опорный конспект по теме "Решение тригонометрических уравнений"

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение: Показательные уравнения – это уравнения, в которых неизвестное находится в показатели степени

Примеры:    3^х = 27;       4·2^х = 16;    3^х-1 = 9·3^х

Теорема:   Если     и ,   то   x₁ = x₂

Эту теорему будем использовать при решении показательных уравнений

Рассмотрим пять различных способов

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

I способ.

 Приведение к одинаковому основанию

Решить уравнение:

1)    5^х = 25 (приведем к основанию 5)

2)   

Самостоятельно 4х = 64

5^х = 5² по теореме имеем

х = 2

Ответ: х = 2

2) 4^х-1 = 1 (приведем к основанию 4)

4^х-1 = 4⁰ заменим 1 на 4⁰                 а⁰=1

Самостоятельно          3х-2  = 1

x – 1 = 0

х = 1

Ответ: х = 1

3) 27^х =  (приведем к основанию 3)

(3³)^х = 3^-1                                     

3^3x  = 3^-1                                        (aⁿ)^m=a ^{n m}

Самостоятельно 25х =

3x = -1

x =

Ответ:

4) 4 · 2^х = 1 (приведем к основанию 2)

2² · 2^х = 2⁰                                     aⁿ · a^m = a^{n+ m}

Самостоятельно 9 · 3х  =

Самостоятельно

Самостоятельно 52х-1 · 52-х =

2^2+х = 2⁰

2 + х = 0

х = –2

Ответ: х = –2

5) 3 · 9^х = 81 | :3

9^х = 27 (приведем к основанию 3)

(3²)^х = 3³                                        (aⁿ)^m=a^{n m} 

3^2х = 3³

Самостоятельно 2 · 25х = 50

2х = 3

х =

Ответ: х = 1,5

6)  (приведем к основанию 3)

х² + х – 12 =0

a = 1; b = 1; c = -12

D = b² – 4 ac; D = 1² – 4 · 1 · (-12) = 1 + 48 = 49 > 0

 

 

Ответ: х₁ = 3; х₂ = –4

7) 4^х+1 · 4^2х+3 = 1  (приведем к основанию 4)

4^х+1+2х+3 = 4⁰                                   aⁿ · a^m = a^n+m

4^3х+4 = 4⁰

3х + 4 = 0

3х = – 4

Ответ:

Задание для проверки

Решить уравнения:

1)    7^х = 49

2)   

3)    4^х+1 =

4)    2 · 4^х = 64

5)    3^х · 3^х-2 =

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

II способ.

Приведение к одинаковому показателю

Решить уравнение. Для решения уравнений этим способом нужно получить в левой и правой части уравнения степени с одинаковыми показателями.

1)    5^х = 8^х | обе части уравнения разделим на 8^х > 0

                                  

                              1 = а⁰

Самостоятельно          7х = 3х

х = 0

Ответ: х = 0

2)   | :

                    

Самостоятельно (0,6)х=(0,3)х

        к основанию

х = 0

Ответ: х = 0

3) 3^х = 5^2х

3^х = (5²)^х                               а^{n m}=(аⁿ)^m

3^х = 25^х | : 25^х

Самостоятельно 42х=3х

Самостоятельно 52х-1=31-2х

х = 0

Ответ: х = 0

4) 7^х-2 = 3^2-х

7^х-2 = 3^-1(х-2)                            а^{n m}=(аⁿ)^m

7^х-2 = (3^-1)^х-2

7^х-2 =   |  :

21^х-2 = 1                  

21^х-2 = 21⁰

х-2 = 0

х = 2

Ответ: х = 2

5)      к показателю (х-3)

  | : 9^х-3

Самостоятельно

х – 3 = 0

х = 3

Ответ: х = 3

6) 2^3х · 3^х = 576

(2³)^х · 3^х = 24²

8^х · 3^х = 24²                           aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ

(8 · 3)^х = 24²

24^х = 24²

х = 2

Ответ: х =2

Задание для самоконтроля

¹⁾       4^х = 3^2х

2)    5^х =

³⁾       2^2х+6 = 3^х+3

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

III способ.

 Вынесение общего множителя за скобки

При решении уравнений этим способом за скобку выносится степень с наименьшим показателем.

Решить уравнение:

1)    3^х+1 – 2 · 3^х-2 = 25

х + 1 > х – 2, значит, вынесем 3^х-2            

3^х-2 (3^х+1-(х-2) - 2) = 25                 аⁿ : a^m = a^n-m

3^х-2 (3^х+1-х+2 - 2) = 25

3^х-2 (3³ - 2) = 25

3^х-2 * 25 = 25 | : 25

3^х-2 = 1

3^х-2 = 3⁰

х – 2 = 0

х = 2

Ответ: х = 2

2)    3^2х-1 + 3^2х = 108; (2х-1<2х)                       

3^2х-1 (1+ 3^2х-(2х-1)) = 108

3^2х-1 (1+ 3^2х-2х+1) = 108

3^2х-1 (1+ 3¹) = 108

3^2х-1 · 4 = 108 | :4

3^2х-1 = 27 к основанию 3

3^2х-1 = 3³

2х-1 = 3

2х = 4

х = 2

Ответ: х = 2

3)    2^х+1 + 2^х-1 + 2^х = 28

наименьший показатель  х-1

2^х-1 (2^х+1-(х-1) + 1 + 2^х-(х-1)) = 28

2^х-1 (2^х+1-х+1 + 1 + 2^х-х+1) = 28

2^х-1 (2² + 1 + 2¹) = 28

2^х-1 · 7 = 28 | : 7

2^х-1 = 4 к основанию 2

2^х-1 = 2²

х - 1 = 2

х = 3

Ответ: х = 3

Проверочная работа

1)    5^3х + 3 · 5^3х-2 = 140

2)    7^х – 7^х-1 = 6

3)    2^х+1 + 3 · 2^х-1 – 5 · 2^х = -6

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

IV способ.

Сведение уравнения к квадратному

Решить уравнение:

1)    9^х – 4 · 3^х – 45 = 0 к основанию 3

(3²)^х – 4 · 3^х – 45 = 0 

3^2х – 4 · 3^х – 45 = 0

(3^х)² – 4 · 3^х – 45 = 0 

Заменим 3^х на t

3^x = t (t>0)

t² – 4t – 45 = 0

a=1; b=-4; c=-45

D = b² – 4ac = (-4)² – 4 · 1 · (-45) = 16 + 180 = 196

                   3^x=t (t > 0)

1)    3^x = 9                        2) 3^x = -5

3^x = 3²                       не имеет смысла, т.к. 3^х > 0

x = 2

Ответ: х = 2

2)    25^х – 6 · 5^х + 5 = 0

5^2х – 6 · 5^х + 5 = 0

(5^х)² – 6 · 5^х + 5 = 0                          5^x=t (t > 0)

t² – 6t + 5 = 0

a=1; b=-6; c=5

D = b² – 4ac = (-6)² – 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16

               t=5^x

2)    5^x = 5                        2) 5^x = 1

x = 1                             5^x  = 5⁰

                                     x = 0

Ответ: х₁ = 0;   x₂ = 1

3)    3^2x+1 – 10 · 3^х + 3 = 0

3¹ · 3^2x – 10 · 3^х + 3 = 0               а^n+m = aⁿ · a^m

3 · (3^х)² – 10 · 3^х + 3 = 0                   3^х=t (t > 0)

3t² – 10t + 3 = 0

a = 3; b = -10; c = 3

D = b² – 4ac = (-10)² – 4 · 3 · 3 = 100 - 36 = 64

                 t=3^x

1) 3^x = 3                               2) 3^x =

x = 1                             3^x  = 3^(-1)

                                     x = -1

Ответ: х₁ = 1;   x₂ = -1

Решить самостоятельно:

1)    9^х – 4 · 3^х + 3 = 0

2)     +  - 6 = 0

3)    13^2х+1 – 13^х – 12 = 0

8 · 4^х – 6 · 2^х + 1 = 0

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

V способ.

  Графический

Решить графически уравнение:

1)    2^х = х+1

Построим графики функций

у₁=2^х ; у=х+1

 

х	у		х	у
0	1		0	1
1	2		2	3
2	4
3	8
-1
-2
-3

Абсциссы точек пересечения графиков и будут решением уравнения. Таких точек две. Опустим перпендикуляр на ось Ох, получим точки

х₁=0 и х₂=1

Ответ:  х₁=0,   х₂=1

Решить самостоятельно (графически):

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Решение показательных неравенств сводится к решению
           неравенств  а^х>a^b или а^х<а^b

1) 3^х < 81

3^x < 3⁴     основание  а=3,  а>1, функция  у=а^х  возрастает,

x < 4       т.е. , х₁ > х₂   знак неравенства не меняем

Ответ: x < 4

2)             основание а=; 0<a<1, функция у=а^х убывает,

        т.е.  , х₁ < х₂   знак неравенства меняем

х > 3                                                      на  противоположный

Ответ: х > 3

3)     

т.к. 3>1, то знак не меняем

х² – х < 2

x² – x – 2 < 0    решим уравнение

х² – х – 2 = 0

a = 1; b = -1; c = -2

D = b² – 4ac = (-1)² – 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9

      решаем неравенство методом интервалов

Ответ: -1 < x < 2

4)             приведем к основанию  а =

                 а =,  0 < a <1, знак меняем на противоположный

2х > -1 | :2

х >

Ответ:

5) 3^х+2 + 3^х+1 £ 28 вынесем за скобку 3^х+1

3^х+1 ( 3^х+2-(х+1) + 1) £ 28

3^х+1 ( 3³ + 1) £ 28

3^х+1 · 28 £ 28 | : 28>0, значит, смысл неравенства не меняем

3^х+1 £ 1

3^х+1 £ 3⁰                     3>1, 3^х – возрастает

х + 1 £ 0

х £ -1

Ответ: х £ -1

Самостоятельно:

1)   

2)    5^х-1 £

3)      2^х-1 + 2^х+3 > 17