Опорный план-конспект для учащихся по математике на тему "Исследование функции при помощи производной" (11 класс)

Опорный план-конспект по теме

«Исследование функций при помощи производной»

Основные понятия: внутренняя точка множества, точка максимума, точка минимума, точки экстремума функции,  первообразная

Памятки в помощь решающему задачи	Примеры
Чтобы записать уравнение касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой х0, надо: 1.      Вычислить f(х0); 2.      Найти производную f/(х); 3.      Вычислить f/(х0) – угловой коэффициент касательной; 4.      Записать уравнение касательной: у= f/(х0)(х–х0)+ f(х0); 5.      привести уравнение касательной к виду у=kx+b. Чтобы доказать четность (нечетность) функции у=f(х), нужно: 1.                  Выяснить, симметрична ли область определения данной функции относительно нуля. Если область определения не симметрична относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной. Если же область определения симметрична относительно нуля, то переходят к проверке справедливости равенств f(–х)=f(х) и f(–х)=–f(х) 2.                  Если выполняется равенство f(–х)=f(х), то функция четная; если равенство f(–х)=–f(х), то нечетная. Если не выполняется ни одно из приведенных равенств, то функция не является ни четной, ни нечетной. Чтобы найти промежутки возрастания (убывания) функции у=f(х), нужно: 1.    Найти область определения данной функции 2.    Найти производную f/(х); 3.    Найти точки, в которых производная обращается в нуль; 4.    На координатной прямо отметить область определения функции и нули производной (если они существуют), тем самым, разбив координатную прямую на промежутки; 5.    Определить знак производной на каждом из промежутков. Если «–», то на этом промежутке функция убывает, если «+», то функция возрастает; 6.    Записать ответ, не объединяя промежутки.	Задание 1. Составьте уравнение касательной к графику функции f(х)=х2+5  в точке М(–1;6). Решение: х0=–1, f(х0)=f(–1)=(–1)2+5=6; f/(х)=2х; f/(х0)=f/(–1)=2∙(–1)=–2; у=f/(х0)(х–х0)+f(х0)= =–2∙(х–(–1))+6=–2∙(х+1)+6= =–2х–2+6=–2х+4. Получили уравнение касательной к графику функции f(х)=х2+5  в точке М(–1;6) у=–2х+4. Ответ: у=–2х+4. Задание 2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(х)=2х2–х+12 Решение: Область определения данной функции вся числовая прямая D(f)=(–∞;+∞). Производная f/(х)=4х–1. Найдем х при которых f/(х)=0. 4х–1=0; х=0,25. (–∞;0,25) 0,25 (0,25;+∞) f(х) 11 f/(х) – 0 + min Ответ: функция возрастает при хє[0,25;+∞), убывает при хє(–∞;0,25].
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у=f(х) на отрезке [а;b], имеющей на интервале (а;b) конечное число критических точек, надо: 1.    Найти  значение функции на концах этого отрезка, т.е. числа f(а) и f(b); 2.    Найти ее значение в точках, где производная функции равна нулю на данном промежутке; 3.    Найти ее значение в точках, где производная не существует на данном промежутке; 4.    Из всех найденных значений выбрать наибольшее и. Для исследование функции у=f(х) на экстремум надо: 1.   Найти область определения функции D(f); 2.   Найти производную  f/(х); 3.   Найти критические точки (т.е. внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует); 4.   Разбить область определения этими точками на промежутки и определить знак производной на каждом из них; 5.   Выяснить, имеет ли функция точки экстремума. Если функция непрерывна в критической точке и при переходе через нее знак производной меняется с «минуса» на «плюс», то это точка минимума, если с «плюса» на «минус», то это точка максимума; 6.   Вычислить значение функции в точках экстремума, если они существуют; 7.   Записать ответ. Для исследования функции у=f(х) и построение ее графика, надо: 1.            Найти область определения функции D(f); 2.            Исследовать функцию на четность; 3.            Выяснить, является функция периодической; 4.            Найти точки пересечения с осями координат, если они существуют; 5.            Найти промежутки знакопостоянства; 6.            Найти производную  f/(х) и критические точки; 7.            Установить промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции; 8.            Найти точки экстремума, определить вид экстремума (максимум, минимум) и вычислить значения функции в этих точках; 9.            Построить график. Если полученных данных для построения графика недостаточно, то можно найти координаты дополнительных точек. Вычисление интеграла по формуле Ньютона–Лейбница. Чтобы вычислить , надо 1.     Найти какую–нибудь первообразную F(х) для функции f(х); 2.     Вычислить значения первообразных в точках a и b; 3.     Найти разность F(b)–F(a).	Задание 3. Найдем наименьшее и наибольшее значение функции f(х)=2х2–х+12 на отрезке [–1;1] Решение: см. задание 2. Найдем f(–1)=15 и f(1)=13 Сравним значения на концах отрезка и f(0,25)= 11. Наибольшее f(–1)=15, наименьшее f(0,25)= 11. Задание 4. Изобразить схематически график функции f(х)=–х3+3х–2 Решение. Область определения данной функции вся числовая прямая D(f)=(–∞;+∞). Производная f/(х)=–3х2+3. Найдем х при которых f/(х)=0. –3х2+3=0; х=–1 или х=1 (–∞;–1) –1 (–1;1) 1 (1;+∞) f(х) –4 0 f/(х) – 0 + 0 – min max Найдем точки пересечения с осью оу: у=–03+3∙0–2=–2; при х=0, у=–2.