1690960
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
ИнфоурокАлгебраКонспектыОпорные конспекты по алгебре для 7 класса

Опорные конспекты по алгебре для 7 класса

Выбранный для просмотра документ Выражения.doc

библиотека
материалов

hello_html_mf8aea94.gifчисловые Выражения с переменными

Состоящие из чисел, записанных с помощью знаков действий и скобок

Например: 43 : 5; 9 – 3 1,2; 5(7-42)

hello_html_m649c75c2.gif

Состоящие из чисел, букв, записанных с помощью знаков действий и скобок

Например: 3m – число, кратное 3, где m € Z ab; 2(a+b);

2m - формулы четного числа, 2m+1 –формула нечетного числа

Значение выражения – это результат выполнения действий

Например: 96 –262= 96 -2∙36 = 96 – 72 = 24

Например: 10 – 2y; если y = -2, то 10 - 2∙(-2)= 10 + 4 = 14



Вhello_html_m649c75c2.gifыражение не имеет смысла,если есть деление на нуль

Например: hello_html_m419eabce.gifне имеет смысла, т.к. выражение 4∙2 – 8 = 0

Нhello_html_7b80b144.gifапример:

1) ay-4; hello_html_36de98fd.gifимеют смысл при всех значениях x

2) hello_html_3839ff98.gifне имеет смысла, если b – 3 = 0, b = 3

3) hello_html_5761ba7f.gifимеет смысл при всех значениях а,

кроме (a-2)(a+2)=0, a-2 = 0 или a+2 = 0

a=2 или a = -2

Сравнение выражений

Например: 9 : 0,36 и 0,9

hello_html_m20ebf36f.gifи 0,9

hello_html_m15b08412.gifи 0,9

25 > 0,9


Например: 5m – 0,8 и 0,8m – 5

Если m = -1,

то 5∙ (-1)-0,8 и 0,8 ∙ (-1)-5

-5-0,8 = -0,8 – 5




Преобразование выражений

  1. Свойства действий над числами.

Сложение Умножение

a + b = b + a переместительное свойство сложения

a + b + с = a + с + b = b + c + a сочетательное свойство

Например:

1,23 + 13,5 + 4,27 = (1,23 + 4,27) + 13,5 = 5,5 + 13,5 = 19










ab = ba переместительное свойство умножения

abс = aсb = bca=cba сочетательное свойство

Например:

1,80,25640,5 = (1,80,5)(0,2564) = 0,9 16 = 14,4


a(b + с) =ab + ac распределительное свойство умножения

Например: 1) hello_html_3e1a5a8.gif

2) 3,5∙6,8 + 3,5 ∙3,2 = 3,5 ∙ (6,8 + 3,2)=3,5 ∙10 = 35

3) –(4b-c) = -4b+c

4) +(b-3c) = +b - 3c

5) -3(a-b) = -3a+3b

  1. Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных.

Например: 1) a∙(-b) = -ab

2) (-a)∙(-b) = ab

3) a – b = a + (-b)

4) Докажите тождество:

(a+b) ∙ x + (a-b) ∙x – 2ax = 0

hello_html_4f3baf79.gifhello_html_4f3baf79.gifax + bx + ax – bx – 2ax = 0

2ax – 2ax = 0

0 = 0, что и требовалось доказать

  1. Преобразование выражений.

  1. 13a + 2b - 2a - 5b = 11a - 3b

  2. 4a – (a+6) = 4a – a – 6 = 3a – 6

  3. 6b + (10 – 4,5b) - 17 = 6b + 10 – 4,5b – 17 = 1,5b - 7

Выбранный для просмотра документ Линейные уравнения с двумя переменными.doc

библиотека
материалов

Линейные уравнения с двумя переменными


Определение: Линейные уравнения с двумя переменными – это уравнение вида ax+by+c=0, где x,y - переменные, a,b,c – некоторые числа.

Например: 5х + 2у = 10; -7х+у = 5; х – у =2


Определение: Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.


2х – 3у = 10

Если х=4, у=1,5 , то 2 ∙ 4 – 3 ∙ 1,5 = 10

8 – 4,5 = 10

3,5 = 10 неверно,

т.е. пара чисел (4; 1,5) не является решением уравнения.


Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения или не имеющие их.


Свойства уравнений:

  1. В уравнении можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак.

  2. Обе части уравнения можно множить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.


Например:

Выразить одну переменную через другую:


  1. 2hello_html_m105b59bb.gifх +у = 5 2) hello_html_714b9443.gif 3)

у = 5 -2х






График линейного уравнения с двумя переменными


Определение: График уравнения с двумя переменными – это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.


1. Пример: 3х + 2у = 6, где а=3, b=2, c=6


План 1) Выразить переменную у

2у = 6-3х

у = hello_html_3c433044.gif

у = 3 – 1,5х

у = -1,5х +3 линейная функция вида y = kx + b,

где k = -1,5 ; b=3

2) Составить таблицу значений х и у

х

0

2

у

3

0


3) Построить график

hello_html_4f8d128a.gif


2. Частные случаи построения графика ax + by = c


a = 0, by = с

у =hello_html_m2edade52.gif

b = 0, ax = с

x =hello_html_m7031df66.gif

a = 0, b = 0

0x+ 0y = с

нет решения

a = 0, b = 0, с = 0

0x+ 0y = 0

множество решений

у = 2

hello_html_m1f1e8960.gif


хhello_html_4352b71b.gif = 2

Графика не существует

График – вся координатная плоскость


Решение систем уравнений с двумя переменными. Графический способ.

Определение: Система уравнений – это несколько уравнений, для которых находят общее решение.

hello_html_m509eab0d.gif


Определение: Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное равенство.


Если х=7, у=5, то hello_html_m1ab48c62.gif, hello_html_31ddaa14.gif, верно,

т.е. (7; 5) – решение системы уравнений.


Определение: Решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

План решения системы уравнений графическим способом

  1. Выразить переменную у в первом уравнении.

  2. Выразить переменную у во втором уравнении.

  3. В одной системе построить графики данных функций.

  4. Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений.


Пример: hello_html_m1cb901d4.gif

1) х +у = 6 → у = 6-х линейная функция, график вида у = kx + b, k = -1, b = 6

x

0

4

y

6

2


2) х -у = 2 → x -2 = у

y = x-2 линейная функция, график вида у = kx + b, k = 1, b = -2

x

0

2

y

-2

0


3) Строим графики функций.

hello_html_216ab9f9.gif












Графики функций пересекаются в точке А(4; 2) Значит, система имеет одно решение (4; 2).

Ответ: (4; 2)




6








































































0


2


4




















-2











Сколько решений имеет система уравнений?

hello_html_1655bb03.gif


Если k1=k2, , b1=b2 , то графики совпадают, система имеет бесконечное множество решений.


Если k1=k2, b1b2 то графики параллельны, система не имеет решений.


Если k1k2, b1=b2 , то графики пересекаются, система имеет одно решение: (0, b).


Если k1k2, b1b2 , то графики пересекаются, система имеет одно решение (x1, y1).


1. hello_html_46ff600a.gif

Решение:

  1. 11x+10y = 120 2) 6x + y = 18 3) k1=-1,1 k2=-6 b1 = 12 b2 = 18

10y = 120-11x y = 18 – 6x k1k2, b1b2

y =-1,1x+12 y = -6x +18 система имеет одно решение


2. hello_html_62ea1792.gif

Решение:

1) 8x+20y = 3 2) 2x + 5y = 16 3) k1=hello_html_7acb7018.gifk2= hello_html_7acb7018.gifb1 = hello_html_m1bfa4064.gifb2 =hello_html_m8c9e920.gif

20y = 3-8x 5y = 16 – 2x k1=k2, b1b2

y =hello_html_43414b5b.gify = hello_html_7290d0d9.gif система не имеет решений

у = hello_html_4d1e5834.gif


3. hello_html_34d9551f.gif

Решение: 1) 5x+2y = -18 2) 15x + 6y = -54 3) k1=-2,5 k2= -2,5 b1 =-9 b2 =-9

2y = -18-5x 6y = -54 – 15x k1=k2, b1=b2

y =-2,5х - 9 y = hello_html_m36937097.gif система имеет бесконечное

у = -2,5х – 9 множество решений



Выбранный для просмотра документ Нахождение значения.doc

библиотека
материалов

фhello_html_2cdd132f.gifhello_html_3d8744b2.gifhello_html_3d8744b2.gifhello_html_619fd92d.gifункции Нахождение значений аргумента

по формуле

  1. y = 2x – 3,6

если x = 2, то y = 2∙2 – 3,6 = 0,4

  1. y = x2 – 9

y(2) = 22 – 9 = 4 -9 = -5











по графику

hello_html_m7032f2a6.pnghello_html_5ec19354.gif

Если x = 5, то y = 1

по формуле

  1. y = 12x – 3,6

если y = 2,4 ; то

12x – 3,6 = 2,4

12x = 2,4+3,6

12x = 6

x = 0,5





пhello_html_m465a6e.gifhello_html_m7032f2a6.pngо графику









Если y = 1, то x = 5

Определение: График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсцисса которой является значением аргумента, а ордината – значением функции.

Например, чтобы построить график данной функции hello_html_33e0abeb.gif

x

-1

0

1

2

3

y

3

2

1,5

1,2

1

найдем значения функции и построим таблицу:

hello_html_m798a7953.pnghello_html_m647c1f3d.gif,

hello_html_mf8bc39b.gif,

hello_html_m5940b3bd.gif,

hello_html_4b772d1e.gif,

hello_html_64438ec0.gif,

hello_html_35b240be.gif,

Выбранный для просмотра документ Памятка-разложение на множители.doc

библиотека
материалов

Разложение на множители


Чhello_html_m6dbea673.gifтобы разложить многочлен на множители нужно сгруппировать члены многочлена так, чтобы группы имели одинаковый общий множитель, записать сумму группировок и вынести общий множитель за скобки в каждой группе

hello_html_1db6bbac.gifhello_html_29d5e6e1.gifhello_html_3af65a5b.gifhello_html_m6735324d.gifhello_html_554be331.gif

hello_html_m32a2a6d1.gifhello_html_75d3d79c.gifhello_html_70ecceb6.gif+ + + =( + )+( + )=( + )( + )

hello_html_mdc44461.gif

1hello_html_m126bfb8f.gif) 11x-xy+11y-x2=(11x+11y)+(-xy-x2)=11(x+y)-x(y+x)= (x+y)(11-x)


2hello_html_6be8cfc0.gif) 21a+8xy3-24y2-7axy=(21a-7axy)+(8xy3-24y2)= 7a(3-xy)+8y2(xy-3)= 7a(3-xy)-8y2(3-xy)= (3-xy)(7a-8y2)


3) x2+6x+5=x2+x+5x+5=(x2+x)+(5x+5)=x(x+1)+5(x+1) = (x+1)(x+5)

4) x2-x-6= x2+2x-3x-6=(x2+2x)+(-3x-6)=x(x+2)-3(x+2) = (x+2)(x-3)

Применение

Вычисления

Решение уравнения

hello_html_6b0fba6c.gif

hello_html_1aba328.gif2,7∙6,2 – 9,3∙1,2 + 6,2∙9,3 – 1,2∙2,7 =

= (2,7∙6,2-1,2∙2,7)+(9,3∙6,2-9,3∙1,2) =

= 2,7∙(6,2-1,2) + 9,3∙(6,2-1,2) =

= (6,2-1,2) ∙ (2,7+9,3)=5∙12=60

hello_html_mc136203.gifhello_html_m5e446f3b.gifx2+3x-4x-12=0

(x2+3x)+(-4x-12)=0

x(x+3)-4(x+3)=0

(x+3)(x-4)=0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

x +3=0 или x-4=0

x=-3 x=4

Ответ: -3; 4




Разложение на множители


Чhello_html_m6dbea673.gifтобы разложить многочлен на множители нужно сгруппировать члены многочлена так, чтобы группы имели одинаковый общий множитель, записать сумму группировок и вынести общий множитель за скобки в каждой группе

hello_html_1db6bbac.gifhello_html_29d5e6e1.gifhello_html_3af65a5b.gifhello_html_m6735324d.gifhello_html_554be331.gif

hello_html_m32a2a6d1.gifhello_html_75d3d79c.gifhello_html_70ecceb6.gif+ + + =( + )+( + )=( + )( + )

hello_html_mdc44461.gif

1hello_html_m126bfb8f.gif) 11x-xy+11y-x2=(11x+11y)+(-xy-x2)=11(x+y)-x(y+x)= (x+y)(11-x)


2hello_html_6be8cfc0.gif) 21a+8xy3-24y2-7axy=(21a-7axy)+(8xy3-24y2)= 7a(3-xy)+8y2(xy-3)= 7a(3-xy)-8y2(3-xy)= (3-xy)(7a-8y2)


3) x2+6x+5=x2+x+5x+5=(x2+x)+(5x+5)=x(x+1)+5(x+1) = (x+1)(x+5)

4) x2-x-6= x2+2x-3x-6=(x2+2x)+(-3x-6)=x(x+2)-3(x+2) = (x+2)(x-3)

Применение

Вычисления

Решение уравнения

hello_html_6b0fba6c.gif

hello_html_1aba328.gif2,7∙6,2 – 9,3∙1,2 + 6,2∙9,3 – 1,2∙2,7 =

= (2,7∙6,2-1,2∙2,7)+(9,3∙6,2-9,3∙1,2) =

= 2,7∙(6,2-1,2) + 9,3∙(6,2-1,2) =

= (6,2-1,2) ∙ (2,7+9,3)=5∙12=60

hello_html_mc136203.gifhello_html_m5e446f3b.gifx2+3x-4x-12=0

(x2+3x)+(-4x-12)=0

x(x+3)-4(x+3)=0

(x+3)(x-4)=0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

x +3=0 или x-4=0

x=-3 x=4

Ответ: -3; 4


Выбранный для просмотра документ Памятка-умножение многочлена на многочлен.doc

библиотека
материалов

Умножение многочлена на многочлен


Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и результаты сложить

hello_html_63c1cb71.gif

( + ) ( + ) = + + +


1) (y-3)(y+5)= y2+5y-3y-15=y2+2y-15

2) (x2+2)(x2-2)= x4-2x2+2x2-4=x4-4

3) (x2-9y)(x3+y)= x5—x2y-9x3y-9y2

Применение

Упростить

Уравнение

Делимость

Задача

2x2-(x-3)(2x+3) = 2x2-(2x2 + 3x - 6x - 9) = 2x2- 2x2-3x + 6x +9 = 3x+9

(x-1)(x-2)-x2=12

x2-2x-x+2-x2=12

-3x+2=12

-3x=10

x = hello_html_m5d64016a.gif

hello_html_m226390d.gif

hello_html_5cb99d0c.gifhello_html_1ef79f1c.gif

hello_html_389ff63d.gifP=36 м a на 1 м >

S2>S1 на 30 м2

hello_html_m516a1ecc.gifb на 2 м >

hello_html_m2711a0c3.gifа,м bS

1 х 18-х х(18-х)=?

2 х+1 18-х+2 (х+1)(20-х)

По условию задачи S2>S1 на 30 м2.

Составляем уравнение: (х+1)(20-х) - х(18-х)=30

20х-х2+20-х-18х+х2=30

х = 30-20

х=10

По смыслу задачи 0<х<18. Найденный корень удовлетворяет условию задачи. Значит, а=10 м,

b= 18-10 =8 м S1=10∙8=80 м2


Умножение многочлена на многочлен


Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и результаты сложить

hello_html_63c1cb71.gif

( + ) ( + ) = + + +


1) (y-3)(y+5)= y2+5y-3y-15=y2+2y-15

2) (x2+2)(x2-2)= x4-2x2+2x2-4=x4-4

3) (x2-9y)(x3+y)= x5—x2y-9x3y-9y2

Применение

Упростить

Уравнение

Делимость

Задача

2x2-(x-3)(2x+3) = 2x2-(2x2 + 3x - 6x - 9) = 2x2- 2x2-3x + 6x +9 = 3x+9

(x-1)(x-2)-x2=12

x2-2x-x+2-x2=12

-3x+2=12

-3x=10

x = hello_html_m5d64016a.gif

hello_html_m226390d.gif

hello_html_5cb99d0c.gifhello_html_1ef79f1c.gif

hello_html_389ff63d.gifP=36 м a на 1 м >

S2>S1 на 30 м2

hello_html_m516a1ecc.gifb на 2 м >

hello_html_m2711a0c3.gifа,м bS

1 х 18-х х(18-х)=?

2 х+1 18-х+2 (х+1)(20-х)

По условию задачи S2>S1 на 30 м2.

Составляем уравнение: (х+1)(20-х) - х(18-х)=30

20х-х2+20-х-18х+х2=30

х = 30-20

х=10

По смыслу задачи 0<х<18. Найденный корень удовлетворяет условию задачи. Значит, а=10 м,

b= 18-10 =8 м S1=10∙8=80 м2


Выбранный для просмотра документ Памятка_Одночлены.doc

библиотека
материалов

Одночлены


Определение: Одночлен – это произведение чисел, переменных и их степеней.

Например: 5a2x 8y -7 23 x -a


Определение: Одночлен стандартного вида – это произведение числового множителя и степеней различных переменных.

Например:

Привести одночлен к стандартному виду:

1) 2b3 (-3)bc2 = -6b4c2 -6 –числовой множитель – коэффициент одночлена

2) 2hello_html_m233bf45f.gifa2x (hello_html_1427becc.gif) a3x2 = hello_html_74e85a7e.gifa5x3 = -a5x3 -1 – коэффициент одночлена


Определение: Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Например: -7x5y6одночлен 11 степени (5+6=11)

-6m7n – одночлен 8 степени (7+1=8)

23 – одночлен нулевой степени.


Умножение одночленов

Возведение одночлена в степень

Необходимо перемножить числовые множители и степени с одинаковыми основаниями

Необходимо возвести в степень каждый множитель одночлена.

  1. -5a2bc ∙ 4a2b4 = -5∙4a4b5c =

= -20a4b5c

  1. hello_html_m44fd65a2.gifm3n4 ∙ 10m2n3 = hello_html_m315fdb58.gifm5n7 = -2m5n7

  1. (-2a2b4)3 = (-2)3 (a2)3 (b4)3 =

=-8a6b12

  1. (-x3y2)4 = (-1)4 (x3)4(y2)4 = =x12y8


  1. 81x4 = (9x2)2

  2. 64x9 = (4x3)3



Одночлены


Определение: Одночлен – это произведение чисел, переменных и их степеней.

Например: 5a2x 8y -7 23x -a


Определение: Одночлен стандартного вида – это произведение числового множителя и степеней различных переменных.

Например:

Привести одночлен к стандартному виду:

1) 2b3 (-3)bc2 = -6b4c2 -6 –числовой множитель – коэффициент одночлена

2) 2hello_html_m233bf45f.gifa2x (hello_html_1427becc.gif) a3x2 = hello_html_74e85a7e.gifa5x3 = -a5x3 -1 – коэффициент одночлена


Определение: Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Например: -7x5y6 – одночлен 11 степени (5+6=11)

-6m7n – одночлен 8 степени (7+1=8)

23 – одночлен нулевой степени.


Умножение одночленов

Возведение одночлена в степень

Необходимо перемножить числовые множители и степени с одинаковыми основаниями

Необходимо возвести в степень каждый множитель одночлена.

  1. -5a2bc ∙ 4a2b4 = -5∙4a4b5c =

= -20a4b5c

  1. hello_html_m44fd65a2.gifm3n4 ∙ 10m2n3 = hello_html_m315fdb58.gifm5n7 = -2m5n7

  1. (-2a2b4)3 = (-2)3 (a2)3 (b4)3 =

=-8a6b12

  1. (-x3y2)4 = (-1)4 (x3)4(y2)4 = =x12y8


  1. 81x4 = (9x2)2

  2. 64x9 = (4x3)3


Выбранный для просмотра документ Памятка_степени.doc

библиотека
материалов

Степень с натуральными показателями


Определение: Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.


ahello_html_m622ca0e3.gifn = aaaaaaa ......a - возведение в степень


n раз


an - степень числа а

а — основание степени (показывает, какой множитель умножается)

n — показатель степени (показывает, сколько множителей умножается)


Примеры:

  1. 42 = 44=16 (читается «четыре в квадрате»)

  2. 23 = 2∙2∙2 = 8 (читается «два в кубе»)

  3. 34 = 3∙3∙3∙3 = 81 (читается «три в четвертой степени»)

  4. (-1)4 = 1 (4 — четное число)

  5. (-1)101 = -1 (101 — нечетное число)


hello_html_m6b2f8ffd.gifhello_html_13cab72d.gifhello_html_13cab72d.gifhello_html_13cab72d.gif




6) hello_html_mc75424b.gif

7) 0,33 = 0,3∙0,3∙0,3 = 0,027

8) -14 + (-2)3 = -1 + (-8) = -9

9) -62 - (-1)4 = -36 — 1 = -37

10) 8 ∙ 0,53 + 25 ∙ 0,22 = 8 ∙ 0,125 + 25 ∙ 0,04 = 1 + 1 = 2

11) 8 ∙ 0,110 + 4 ∙ 52 = 8 ∙1 + 4∙ 25 = 8 + 100 = 108



Свойства степени с натуральным показателемhello_html_504fc220.gif


Умножение степеней

Деление степеней

Определение: При умножении степеней с одинаковым основанием основание оставляют прежним, а показатели складывают.

Определение: При делении степеней с одинаковым основанием основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя.

an ∙ am = an+m

am : an = am-n

  1. a8 ∙ a7 = a8+7 = a15

  2. a ∙ a3 ∙ a4 ∙ a2 = a1+3+4+2 = a10

  3. 58 ∙ 25 = 58 ∙ 52 = 58+2 = 510

  1. a8 : a7 = a8-7 = a1 = a

  2. a9 : a = a9-1 = a8

  3. 26 : 4 = 26 : 22 = 26-2 = 24 = 16


Возведение степени в степень

Возведение произведения в степень

Определение: При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели умножают.

Определение: При возведении произведения в степень, в эту степень возводят каждый множитель и результаты перемножают.

(an )m = anm

(ab)n = an bn

  1. (x3)2 = x3∙2 = x6

  2. 254 = (52)4 = 52∙4 = 58

  1. (2x)3 = 23 ∙ x3 = 8x3

  2. 24 ∙ 54 = (2∙5)4 = 104 = 10000


Примеры решений:

1) hello_html_527444ef.gif


2) hello_html_m15c0926d.gif


3) hello_html_19c8d4a5.gif


4) hello_html_mac520f6.gif

Выбранный для просмотра документ Памятка_умножение_одночлен_многочлен.doc

библиотека
материалов

Уhello_html_3dd24c19.gifмножение одночлена на многочлен

Вынесение общего множителя за скобки

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и результаты сложить.


Чтобы вынести общий множитель за скобки, надо разложить одночлены на множители так, чтобы выделялся одинаковый множитель, который и выносится за скобки.

hello_html_m1d48a95.gif( + )= +


hello_html_m710141ff.gif …… + ……. = + = ( + )

Примеры:

1) a(a+b)= a2+ab

2) 2a2(b2-a3)=2a2b2-2a5

Примеры:

1) 7x+7y = 7(x+y)

2) x2+x7 = x2(1+x5) (x2 -степень с наименьшим показателем)

3) 10 a3b2+15a2b3= 5a2b2(2a+3b) (5- наибольший общий делитель)

4) 5(a-c) +b(a-c)= (a-c)(5-b)

Замечание: b-a= -(a-b) -a-b= -(a+b)

5) 7(a-b)2-b(b-a) = 7(a-b)2+b(a-b) = (a-b) (7(a-b)+b) = (a-b)(7a-7b+b) = (a-b)(7a-6b)

Применение

Упрощение выражения

Уравнения

Задача

Уравнения

Вычисление значения

5a(3ab-1)-4b(a2-b)=

= 15a2b-5a -4a2b+4b2=

11a2b -5a+4b2

hello_html_68709971.gifНОЗ=10

hello_html_1f58aef4.gif

hello_html_m100c8a9c.gif

Ihello_html_m3f9e4935.gifhello_html_7a346799.gif - ?

Ihello_html_m3f9e4935.gifI - на 5 кг < 100 кг

III - в 3 раза >

Обозначим:

I - x

II - x-5

III - 3(x-5)

По условию задачи

m1+m2+m3=100

x+(x-5)+3(x-5)=100

x+x-5+3x-15=100

5x-20 = 100

x= 24

По смыслу задачи x>5. Этому условию полностью удовлетворяет найденный корень х=24. Значит, m1=24, m2=24-5=19 кг

m3 = 3∙19=57 кг

Ответ: 19 кг во 2-й день

2x2+5x=0

x(2x+5)=0

Произведение равно 0, если

x=0 или 2x+5=0

2x = -5

x= - hello_html_5052f13b.gif= -2,5

Ответ: 0; - 2,5

hello_html_m50db3bbc.gif


Выбранный для просмотра документ Преобразование целых выражений.doc

библиотека
материалов

Преобразование целых выражений


Определение: Целое выражение - это выражение, составленное из чисел, переменных и соединенных между собой знаками +, -, ∙ и : (на число, отличное от 0).


Примеры: hello_html_m7913a190.gifa3bc2 3,5xy-7a3 2b(b-2a)2-(b3-a3) 3a2-hello_html_m702b0dcf.gif+ac


Упрощение

(y-3)(y2+9)(y+3)- (2y2-y)2-19 = (y2-9)(y2+9)- (4y4-4y3+y2)-19 = y4-81-4y4+4y3-y2-19 =

= -3y4+4y3-y2-100


Доказательство

Дhello_html_m62d8abe.gifокажите, что выражение x2+6x+10 является положительным числом при любых х

x2+6x+10 = x2+2∙3x+32-32+10 = (x+3)2+1 > 0, т.к. (x+3)2≥0 , 1>0



Уhello_html_28ae4229.gifhello_html_28ae4229.gifравнения

1) x3-4x = 0 2) x3-2x2-x+2 = 0

x(x2-4)= 0 x2(x-2)-(x-2) = 0

x(x-2)(x+2) = 0 (x-2)(x2-1) = 0

x=0 или x-2=0 или x+2=0 (x-2)(x+1)(x-1) = 0

x = 2 x = -2 x-2 = 0 или x+1=0 или x-1=0

Ответ: 0; 2; -2 x =2 x= -1 x =1

Ответ: 2; -1; 1


Разложение на множители


1hello_html_2bcfdcd5.gif0a3-40a = 10a(a2-4) = =10a(a-2)(a+2)

18x3+12x2+2x=2x(9x2+6x+1) =

=hello_html_28ae4229.gifhello_html_28ae4229.gif 2x(3x+1)2

ahello_html_28ae4229.gifhello_html_6e99970c.gifb3-3b3+ab2y-3b2y =

= b2(ab-3b+ay-3y)=

= b2(b(a-3)+y(a-3)) =

= b2(a-3)(b+y)

a2-4ax-9+4x2 =

= a2-4ax+4x2-9 =


= (a-2x)2-9 =

=hello_html_m1d015110.gifhello_html_28ae4229.gif (a-2x-3)(a-2x+3)

x2-y2-x-y = (x-y)(x+y)-(x+y) = =(x+y)(x-y-1)

a2-b2+2(a+b)2 =

= (a-b)(a+b)+2(a+b)2 =

= (a+b)(a-b+2(a+b)) =

= (a+b)(a-b+2a+2b) =

= (a+b)(3a+b)

a3-b3+5a2b-5ab2 = (a-b)(a2+ab+b2)+5ab(a-b) =

= (a-b)( a2+ab+b2+5ab)= (a-b)( a2+6ab+b2)

Исключение:

x2+1 не раскладывается на множители





Преобразование целых выражений


Определение: Целое выражение - это выражение, составленное из чисел, переменных и соединенных между собой знаками +, -, ∙ и : (на число, отличное от 0).


Примеры: hello_html_m7913a190.gifa3bc2 3,5xy-7a3 2b(b-2a)2-(b3-a3) 3a2-hello_html_m702b0dcf.gif+ac


Упрощение

(y-3)(y2+9)(y+3)- (2y2-y)2-19 = (y2-9)(y2+9)- (4y4-4y3+y2)-19 = y4-81-4y4+4y3-y2-19 =

= -3y4+4y3-y2-100


Доказательство

Дhello_html_m62d8abe.gifокажите, что выражение x2+6x+10 является положительным числом при любых х

x2+6x+10 = x2+2∙3x+32-32+10 = (x+3)2+1 > 0, т.к. (x+3)2≥0 , 1>0



Уhello_html_28ae4229.gifhello_html_28ae4229.gifравнения

1) x3-4x = 0 2) x3-2x2-x+2 = 0

x(x2-4)= 0 x2(x-2)-(x-2) = 0

x(x-2)(x+2) = 0 (x-2)(x2-1) = 0

x=0 или x-2=0 или x+2=0 (x-2)(x+1)(x-1) = 0

x = 2 x = -2 x-2 = 0 или x+1=0 или x-1=0

Ответ: 0; 2; -2 x =2 x= -1 x =1

Ответ: 2; -1; 1


Разложение на множители


1hello_html_2bcfdcd5.gif0a3-40a = 10a(a2-4) = =10a(a-2)(a+2)

18x3+12x2+2x=2x(9x2+6x+1) =

=hello_html_28ae4229.gifhello_html_28ae4229.gif 2x(3x+1)2

ahello_html_28ae4229.gifhello_html_6e99970c.gifb3-3b3+ab2y-3b2y =

= b2(ab-3b+ay-3y)=

= b2(b(a-3)+y(a-3)) =

= b2(a-3)(b+y)

a2-4ax-9+4x2 =

= a2-4ax+4x2-9 =


= (a-2x)2-9 =

=hello_html_m1d015110.gifhello_html_28ae4229.gif (a-2x-3)(a-2x+3)

x2-y2-x-y = (x-y)(x+y)-(x+y) = =(x+y)(x-y-1)

a2-b2+2(a+b)2 =

= (a-b)(a+b)+2(a+b)2 =

= (a+b)(a-b+2(a+b)) =

= (a+b)(a-b+2a+2b) =

= (a+b)(3a+b)

a3-b3+5a2b-5ab2 = (a-b)(a2+ab+b2)+5ab(a-b) =

= (a-b)( a2+ab+b2+5ab)= (a-b)( a2+6ab+b2)

Исключение:

x2+1 не раскладывается на множители



Выбранный для просмотра документ Решение систем уравнений с двумя переменными.doc

библиотека
материалов

Решение систем уравнений с двумя переменными.

Способ подстановки.


План решения:

  1. В более простом уравнении выразить одну из переменных.

  2. Выраженную переменную подставить в другое уравнение и решить его.

  3. Полученное значение переменной подставить в первое действие и сосчитать.

  4. Записать ответ.


Пример.

hello_html_m12ada5d7.gif

Решение:


  1. 4х + у = 3

у = 3 - 4х


2) 6х – 2у = 1

6х – 2(3-4х) =1

6х – 6 + 8х = 1

14х = 7

hello_html_m9beee48.gif

х = 0,5


3) у = 3 – 4 ∙ 0,5 = 3 -2 = 1


Ответ: (0,5; 1)


Решение систем уравнений с двумя переменными.

Способ сложения.


План решения:

  1. Умножением всех членов уравнений на некоторые числа получить противоположные коэффициенты.

  2. Сложить почленно уравнения системы и решить получившееся уравнение.

  3. Найденное значение переменной подставить в более простое уравнение данной системы и найти значение другой переменной.

  4. Записать ответ.


2) hello_html_m68e10f19.gif∙ (-2)

Решение:

1) +hello_html_18daf67e.gif2) 40х + 3у = 10

17у = 0 40х+ 3∙0 = 10

у = 0 40х = 10

hello_html_37179540.gif

hello_html_30daf06e.gif

Ответ: (hello_html_63bd9c3e.gif; 0)

hello_html_m56af1678.gif

Пhello_html_m449b2e4f.gifримеры:

1) hello_html_4f4db635.gif

Решение:

1hello_html_4b4abf55.gif) hello_html_m460bce8e.gif 2) х + у = 6

4 + у = 6

у = 6 – 4

у = 2

Ответ: (4; 2)


hello_html_m449b2e4f.gif

3) hello_html_1d4f0d29.gif Переставим в первом уравнении: hello_html_5ffc4f32.gifhello_html_5a123540.gif

Решение:

1) hello_html_m32e16640.gif2) 7х + 4у =90

31 х = 310 7∙10 + 4у = 90

hello_html_b964bf4.gif4у = 90 - 70

х =10 4у = 20

hello_html_d2f2f3d.gif

у =5 Ответ: (10; 5)

Решение задач с помощью систем уравнений


1175


Решение:

1)


Vсоб, км/ч

Vтеч, км/ч

V, км/ч

t, ч

S, км

по течению

x

y

x+y

3

3(x+y)

против течения

x

y

x-y

2

2(x-y)

По условию задачи Sпо + Sпр = 240 км

Составляем уравнение: 3(х+у) + 2(х-у) = 240

5х + у = 240

2)


Vсоб, км/ч

Vтеч, км/ч

V, км/ч

t, ч

S, км

по течению

x

y

x+y

2

2(x+y)

против течения

x

y

x-y

3

3(x-y)

По условию задачи Sпр > Sпо на 35 км

Составляем уравнение: 3(х-у) - 2(х+у) = 35

х -5у = 35

3) Составляем систему уравнений:

hello_html_23bdf0e0.gifhello_html_m6164d291.gif(-5) hello_html_10d004be.gif

26у = 65

у = 2,5


x – 5y = 35

x – 5∙2,5 = 35

x = 35+12,5

x = 47,5

4) По смыслу задачи х>0, y>0, x>y. Этому условию удовлетворяет найденное решение. Значит, Vпо= х+у = 47,5 + 2,5 = 50 км/ч и

Vпр= х-у = 47,5 - 2,5 = 45 км/ч


Ответ: 50 км/ч, 45 км/ч


Выбранный для просмотра документ Уравнения с одной переменной.doc

библиотека
материалов

Уравнения с одной переменной

Определение: Уравнение – это равенство с переменной.

Например: x + 2 = 0 2x + 1 = 5 x2 = 4 (x-2)(x+3) = 0

Определение: Корень уравнения – это значение переменной при котором уравнение обращается в верное равенство.

Например: 2x + 1 = 5

Если x = 2, тогда 2∙2+1 = 5

5 = 5, т.е. х = 2 – корень данного уравнения


Определение: Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.


Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни и не имеющие и не имеющие их.

x2 = 4

(x-2)(x+2) = 0

Равносильные

Корни 2 и -2

x2 = -3

у-3 = у

Равносильные

Не имеют корней


Свойства при решении уравнений:

  1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя его знак на противоположный.

  2. Умножение (деление) всех членов уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.


Выбранный для просмотра документ ФСУ-2.doc

библиотека
материалов

Формулы сокращенного умножения


Преобразование в многочлен

Разложение на множители

(a+b)(a-b) = a2-b2

a2-b2 = (a+b)(a-b)

1) (a-2)(a+2) = a2-22 = a2-4

2) (3x-7y)(7y+3x) = (3x-7y)(3x+7y)=9x2-49y2

3) (-2a-9c)(2a-9c) = -(2a+9c)(2a-9c) = -(4a2-81c2) = -4a2+81c2 =

= 81c2-4a2

4) (-m3+8)(m3+8) = (8-m3)(8+m3) = 64-m6

1) a2-25= a2-52=(a-5)(a+5)

2) -b8+16a2 = 16a2-b8= (4a)2-(b4)2= (4a-b4)(4a+b4)

3) 64 - (b+1)2 = 82-(b+1)2 = (8-(b+1))(8+b+1)=(8-b-1)(9+b) =

= (7-b)(9+b)

4) (2x+y)2- (x-2y)2 = (2x+y-(x-2y))(2x+y+x-2y) =

= (2x+y-x+2y)(3x-y) = (x+3y)(3x-y)

Применение

Вычисления

Упрощения

Уравнения

Вычисления

Уравнения

Делимость

52 ∙ 48 =

=(50+2)(50-2) =2500 - 4 = =2496

1) 2(x-3)(x+3)=2(x2-9) = =2x2-18

2) (b-2)(b+2)(b2+4) = =(b2-4)(b2+4) =b4-16

3) (x-3)2(x+3)2 =

=(x-3) (x+3)(x-3)(x+3)= =(x2-9)(x2-9) = (x2-9)2 = =x4-18x2-81

4) 5a(a-8)-3(a+2)(a-2) = = 5a2-40a-3(a2-4) = =5a2-40a-3a2+12 =

=2a2-40a+12

x-3x(1-12x) = 11-(5-6x)(6x+5)

x-3x+36x2 = 11-(5-6x)(5+6x)

-2x+36x2 = 11-(25-36x2)

-2x+36x2 = 11-25+36x2

-hello_html_30920b4e.gifhello_html_m440aced8.gif2x+36x2-36x2 = 11-25

- 2x = -14

x = hello_html_53483842.gif

x = 7

472-372 =

=(47-37)(47+37) =10∙84=840

9x2-4 = 0

(3x)2-22 = 0

(3x-2)(3x+2) = 0

3x-2=0 или 3x+2=0

3x=2 3x = -2

x=hello_html_30a3cbb0.gif x= -hello_html_30a3cbb0.gif

Ответ: hello_html_30a3cbb0.gif; -hello_html_30a3cbb0.gif

Доказать, что выражение (4n+5)2-9 делится на 4

hello_html_m15ba1715.gif=

=hello_html_m625bb297.gif=

=hello_html_m1a05e64e.gif hello_html_m6b85350a.gif=

=hello_html_m56b8dc8f.gif hello_html_51c3bdcc.gif=

= (4n+2)(n+2)







Формулы сокращенного умножения


Преобразование в многочлен

Разложение на множители

(a+b)(a-b) = a2-b2

a2-b2 = (a+b)(a-b)

1) (a-2)(a+2) = a2-22 = a2-4

2) (3x-7y)(7y+3x) = (3x-7y)(3x+7y)=9x2-49y2

3) (-2a-9c)(2a-9c) = -(2a+9c)(2a-9c) = -(4a2-81c2) = -4a2+81c2 =

= 81c2-4a2

4) (-m3+8)(m3+8) = (8-m3)(8+m3) = 64-m6

1) a2-25= a2-52=(a-5)(a+5)

2) -b8+16a2 = 16a2-b8= (4a)2-(b4)2= (4a-b4)(4a+b4)

3) 64 - (b+1)2 = 82-(b+1)2 = (8-(b+1))(8+b+1)=(8-b-1)(9+b) =

= (7-b)(9+b)

4) (2x+y)2- (x-2y)2 = (2x+y-(x-2y))(2x+y+x-2y) =

= (2x+y-x+2y)(3x-y) = (x+3y)(3x-y)

Применение

Вычисления

Упрощения

Уравнения

Вычисления

Уравнения

Делимость

52 ∙ 48 =

=(50+2)(50-2) =2500 - 4 = =2496

1) 2(x-3)(x+3)=2(x2-9) = =2x2-18

2) (b-2)(b+2)(b2+4) = =(b2-4)(b2+4) =b4-16

3) (x-3)2(x+3)2 =

=(x-3) (x+3)(x-3)(x+3)= =(x2-9)(x2-9) = (x2-9)2 = =x4-18x2-81

4) 5a(a-8)-3(a+2)(a-2) = = 5a2-40a-3(a2-4) = =5a2-40a-3a2+12 =

=2a2-40a+12

x-3x(1-12x) = 11-(5-6x)(6x+5)

x-3x+36x2 = 11-(5-6x)(5+6x)

-2x+36x2 = 11-(25-36x2)

-2x+36x2 = 11-25+36x2

-hello_html_30920b4e.gifhello_html_m440aced8.gif2x+36x2-36x2 = 11-25

- 2x = -14

x = hello_html_53483842.gif

x = 7

472-372 =

=(47-37)(47+37) =10∙84=840

9x2-4 = 0

(3x)2-22 = 0

(3x-2)(3x+2) = 0

3x-2=0 или 3x+2=0

3x=2 3x = -2

x=hello_html_30a3cbb0.gif x= -hello_html_30a3cbb0.gif

Ответ: hello_html_30a3cbb0.gif; -hello_html_30a3cbb0.gif

Доказать, что выражение (4n+5)2-9 делится на 4

hello_html_m15ba1715.gif=

=hello_html_m625bb297.gif=

=hello_html_m1a05e64e.gif hello_html_m6b85350a.gif=

=hello_html_m56b8dc8f.gif hello_html_51c3bdcc.gif=

= (4n+2)(n+2)


Выбранный для просмотра документ ФСУ3.doc

библиотека
материалов

Формулы сокращенного умножения


Преобразование в многочлен

Разложение на множители

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3= a3+ b3 +3ab(a+b)

(a-b)3= a3-3a2b+3ab2-b3= a3- b3 -3ab(a-b)

a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

1) (x+2)3=x3+3∙x2∙2+3x ∙22+ 93=x3+4x2+12x+729

2) (2x-y2)3= (2x)3-3∙ (2x)2 ∙y2+3∙ 2x(y2)2-(y2)3=8x3-12x2y2+6xy4-y6


1) 8+a3=23+a3= (2+a)(22-2∙a+a2)=(2+a)(4-2a+a2)

2) 27x6-y9 = (3x2)3-(y3)3= (3x2-y3)(9x4-3x2y2+y6)

3) (y-2)3-27= (y-2)3-33= (y-2-3)((y-2)2-3(y-2)+32) =

= (y-5)(y2-4y+4-3y+6+9)= (y-5)(y2-7y+19)

4) 8x3+(x-y)3= (2x)3+(x-y)3 = (2x+x-y)((2x)2-2x(x-y)+(x-y)2)

hello_html_7286f96.gifhello_html_m682cdf42.gif= (3x-y)(4x2-2x2+2xy+x2-2xy+y2) = (3x-y)(3x2+y2)

Применение

Уhello_html_331fe782.gifпрощения

Уhello_html_331fe782.gifравнения

Делимость

Разложение на множители

2x(2x+3)2 – (2x-3)(4x2+6x+9) =


= 2x(4x2+12x+9)-((2x)3-33) =

=hello_html_7286f96.gifhello_html_7286f96.gif8x3+24x2+18x-8x3+27 =

= 24x2+18x+27

(c-4)(c2+4c+16)-c3+c2 = c(c-2)


hello_html_m682cdf42.gifhello_html_m682cdf42.gifc3-64-c3+c2 = c2-2c

hello_html_m682cdf42.gifhello_html_m1a05e64e.gifc2 – c2+2c = 64

2c = 64

c = 64:2

с = 32


Докажите, что выражение 383+373 делится на 75.

hello_html_m45aedbf6.gifhello_html_m682cdf42.gif=hello_html_m74cd756e.gif=

hello_html_m156898b.gifhello_html_7286f96.gif=hello_html_m1468adb1.gif что и требовалось доказать.

4x3-4y3 = 4(x3-y3) = 4(x-y)(x2+xy+y2)










Формулы сокращенного умножения


Преобразование в многочлен

Разложение на множители

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3= a3+ b3 +3ab(a+b)

(a-b)3= a3-3a2b+3ab2-b3= a3- b3 -3ab(a-b)

a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

1) (x+2)3=x3+3∙x2∙2+3x ∙22+ 93=x3+4x2+12x+729

2) (2x-y2)3= (2x)3-3∙ (2x)2 ∙y2+3∙ 2x(y2)2-(y2)3=8x3-12x2y2+6xy4-y6


1) 8+a3=23+a3= (2+a)(22-2∙a+a2)=(2+a)(4-2a+a2)

2) 27x6-y9 = (3x2)3-(y3)3= (3x2-y3)(9x4-3x2y2+y6)

3) (y-2)3-27= (y-2)3-33= (y-2-3)((y-2)2-3(y-2)+32) =

= (y-5)(y2-4y+4-3y+6+9)= (y-5)(y2-7y+19)

4) 8x3+(x-y)3= (2x)3+(x-y)3 = (2x+x-y)((2x)2-2x(x-y)+(x-y)2)

hello_html_7286f96.gifhello_html_m682cdf42.gif= (3x-y)(4x2-2x2+2xy+x2-2xy+y2) = (3x-y)(3x2+y2)

Применение

Уhello_html_331fe782.gifпрощения

Уhello_html_331fe782.gifравнения

Делимость

Разложение на множители

2x(2x+3)2 – (2x-3)(4x2+6x+9) =


= 2x(4x2+12x+9)-((2x)3-33) =

=hello_html_7286f96.gifhello_html_7286f96.gif8x3+24x2+18x-8x3+27 =

= 24x2+18x+27

(c-4)(c2+4c+16)-c3+c2 = c(c-2)


hello_html_m682cdf42.gifhello_html_m682cdf42.gifc3-64-c3+c2 = c2-2c

hello_html_m682cdf42.gifhello_html_m1a05e64e.gifc2 – c2+2c = 64

2c = 64

c = 64:2

с = 32


Докажите, что выражение 383+373 делится на 75.

hello_html_m45aedbf6.gifhello_html_m682cdf42.gif=hello_html_m74cd756e.gif=

hello_html_m156898b.gifhello_html_7286f96.gif=hello_html_m1468adb1.gif что и требовалось доказать.

4x3-4y3 = 4(x3-y3) = 4(x-y)(x2+xy+y2)



Выбранный для просмотра документ Формулы сокращенного умножения.doc

библиотека
материалов

Формулы сокращенного умножения


Преобразование в многочлен

Разложение на множители

(a+b)2=a2+2ab+b2=(-a-b)2

(a-b)2=a2-2ab+b2=(b-a)2

a2+2ab+b2 = (a+b)2

a2-2ab+b2 = (a-b)2

1) (x+9)2=x2+2∙x∙9+92=x2+18x+81

2) (2x-3y)2= (2x)2-2∙2x∙3y+(3y)2=4x2-12xy+9y2

3) (-7-y3)2=(7+y3)2=49+14y3+y6

4) (-3a+b4)2= (b4-3a)2=b8-6ab4+9a2

1) a2+12a+36= a2+ 2∙a∙6+62=(a+6)2

2hello_html_9537483.gifhello_html_2731c72.gif) -42a+ 9a2+49 = 9a2-42a+49=(3a+7)2

3) -4x2-12x-9 = -(4x2+12x+9) = -(2x+3)2

4) * + 56a +49= * +2∙7∙ 4a + 72 = (4a)2+56a+49

* = 16a2

Применение

Вычисления

Упрощения

Уравнения

Вычисления

Сравнение

1) 612=(60+1)2= 602+120+1=

= 3600+121=

= 3721

2) 1992 =(200-1)2 = 2002-400+1 = =40000-400+1 =39601

1) 3(4a-1)2=3(16a2-8a+1) =48a2-24a+3

2hello_html_m682cdf42.gif) (a+2)(a-1)2 = (a+2)(a2-

hello_html_7286f96.gif-2a+1) =a3-2a2+a+2a2-

-4a+2= a3-3a+2

3) 10ab-4(2a-b)2+6b2 = =10ab-4(4a2-4ab+b2)+ + 6b2=10ab-16a2+16ab -4b2+6b2 =26ab-16a2++2b2

4) (-a+b)(b-a)= (b-a)(b-a) = =(b-a)2=b2-2ab+a2

5) (x+y)(-x-y) =

-(x+y) (x+y) =- (x+y)2 = -x2-2xy-y2

6) (x-y)(y-x)=-(y-x)(y-x) = -(y-x)2=-y2+2xy-x2

1) 9x(x+6)-(3x+1)2=1

9x2+54x-(9x2+6x+1)=1

hello_html_m153557e7.gifhello_html_m3c0bcdd3.gif9x2+54x-9x2-6x-1=1

48x =1+1

48x = 2

x =hello_html_m11e1d4f3.gif

x =hello_html_m7d0f7728.gif

2) 9+6x+x2 = 0

(3+x)2=0

3+x = 0

x = -3

4x2-20x+25 = (2x)2-2∙2x∙5+52 =

= (2x-5)2

Если x=-2, то (2∙ (-2)-5)2 =

= (-4-5)2=(-9)2=81

1) x2+10 >0,

т.к. x2 ≥0, 10>0

2) -2x2-5 <0,

т.к. -2x2 ≤0, -5<0

3) x2-16x+64 и 0

(x-8)2 ≥ 0

4) -x2-4x-4 и 0

- (x2+4x+4) и 0

- (x+2)2 ≤ 0



Формулы сокращенного умножения


Преобразование в многочлен

Разложение на множители

(a+b)2=a2+2ab+b2=(-a-b)2

(a-b)2=a2-2ab+b2=(b-a)2

a2+2ab+b2 = (a+b)2

a2-2ab+b2 = (a-b)2

1) (x+9)2=x2+2∙x∙9+92=x2+18x+81

2) (2x-3y)2= (2x)2-2∙2x∙3y+(3y)2=4x2-12xy+9y2

3) (-7-y3)2=(7+y3)2=49+14y3+y6

4) (-3a+b4)2= (b4-3a)2=b8-6ab4+9a2

1) a2+12a+36= a2+ 2∙a∙6+62=(a+6)2

2hello_html_9537483.gifhello_html_2731c72.gif) -42a+ 9a2+49 = 9a2-42a+49=(3a+7)2

3) -4x2-12x-9 = -(4x2+12x+9) = -(2x+3)2

4) * + 56a +49= * +2∙7∙ 4a + 72 = (4a)2+56a+49

* = 16a2

Применение

Вычисления

Упрощения

Уравнения

Вычисления

Сравнение

1) 612=(60+1)2= 602+120+1=

= 3600+121=

= 3721

2) 1992 =(200-1)2 = 2002-400+1 = =40000-400+1 =39601

1) 3(4a-1)2=3(16a2-8a+1) =48a2-24a+3

2hello_html_m682cdf42.gif) (a+2)(a-1)2 = (a+2)(a2-

hello_html_7286f96.gif-2a+1) =a3-2a2+a+2a2-

-4a+2= a3-3a+2

3) 10ab-4(2a-b)2+6b2 = =10ab-4(4a2-4ab+b2)+ + 6b2=10ab-16a2+16ab -4b2+6b2 =26ab-16a2++2b2

4) (-a+b)(b-a)= (b-a)(b-a) = =(b-a)2=b2-2ab+a2

5) (x+y)(-x-y) =

-(x+y) (x+y) =- (x+y)2 = -x2-2xy-y2

6) (x-y)(y-x)=-(y-x)(y-x) = -(y-x)2=-y2+2xy-x2

1) 9x(x+6)-(3x+1)2=1

9x2+54x-(9x2+6x+1)=1

hello_html_m153557e7.gifhello_html_m3c0bcdd3.gif9x2+54x-9x2-6x-1=1

48x =1+1

48x = 2

x =hello_html_m11e1d4f3.gif

x =hello_html_m7d0f7728.gif

2) 9+6x+x2 = 0

(3+x)2=0

3+x = 0

x = -3

4x2-20x+25 = (2x)2-2∙2x∙5+52 =

= (2x-5)2

Если x=-2, то (2∙ (-2)-5)2 =

= (-4-5)2=(-9)2=81

1) x2+10 >0,

т.к. x2 ≥0, 10>0

2) -2x2-5 <0,

т.к. -2x2 ≤0, -5<0

3) x2-16x+64 и 0

(x-8)2 ≥ 0

4) -x2-4x-4 и 0

- (x2+4x+4) и 0

- (x+2)2 ≤ 0



Выбранный для просмотра документ Функция.doc

библиотека
материалов

Функция

Задача: Сторона квадрата равна a. Найти периметр фигуры.

Решение: Периметр квадрата вычисляется по формуле P = 4a. Таким образом, видно, что переменная P зависит от значения переменной a. Тогда a – независимая переменная, а P - -зависимая.

Определение: Функция – это зависимость зависимой переменной от независимой переменной, где каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

a – независимая переменная – аргумент

P – зависимая переменная – функция.



Определение: Область определения функции – это значения, которые принимает независимая переменная.

В нашем примере: a>0

Определение: Область значений функции –это значения, которые принимает зависимая переменная.

В нашем случае: P>0

Способы задания функции


по формуле

гhello_html_m7afe63ce.pngрафический

табличный


V = 3 км/ч

S = 3t






P,0C



t,ч




0≤ t ≤7

x

0

1

2

x2

0

1

4





Независимая переменная

t

t

x

Область определения функции (ООФ)

t ≥ 0

0 ≤ t ≤ 7

x ≥ 0

Зависимая переменная

S

P

x2

Область значений функции (ОЗФ)

S ≥ 0

-2 ≤ P ≤ 1

x2 ≥ 0



Выбранный для просмотра документ памятка_функции.doc

библиотека
материалов

Функции


y = x2 - степенная функция

y = x3- степенная функция


x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

9

4

1

0

1

4

9



x

-2

-1

0

1

2

y

-8

1

0

1

8


Парабола

Кубическая парабола

hello_html_269253fc.gif



hello_html_m1816a16e.gif

Свойства:

  1. Область определения функции (ООФ) – все х

  2. х=0, то у=0 (график проходит через начало координат)

  3. х≠0, то y>0 (график расположен выше оси х в I и II четверти)

  4. (-x)2 = x2 , т.е. противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у

  5. Область значений функции (ОЗФ) – все y≥0


Принадлежит ли точка А(4,-16) графику функции y = x2

Подставим х=4 и у = -16 в формулу: -16 = 42; -16 = 16 (ложно) Значит, точка А(4, -16) не принадлежит графику, т.е. А hello_html_m3dfb1ba2.gify

  1. Область определения функции (ООФ) – все х

  2. х=0, то у=0 (график проходит через начало координат)

  3. х>0, то y>0 (график расположен в I и III четвертях)

x<0, то y<0

  1. (-x)3 = - x3, т.е. противоположным значениям х соответствуют противоположные значения у

  2. Область значений функции (ОЗФ) – все у

Принадлежит ли точка B(hello_html_m77fddac8.gif) графику функции y = x3

Если Bhello_html_m289d78ff.gif y , то hello_html_1930423b.gif ; hello_html_mc93d279.gif или hello_html_1e040bfa.gif (истинно), т.е. Bhello_html_m289d78ff.gif y


Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

Вашему вниманию предлагается пошаговая система изучения материала курса алгебры с использованием опорных конспектов.

Наиболее актуально употребление опорных конспектов при обучении учащихся, имеющих проблемы в знаниях. Применение этой системы позволяет сделать успешным процесс получения знаний, повышает уровень мотивации и потребностей самосовершенствования обучающихся, дает возможность перейти на более высокий уровень обучения.

 

Такой подход заинтересовывает учащихся, так как подобная организация учебного процесса развивает их мыслительную способность, заставляет их быть внимательным, учит анализировать, создает каждому учащемуся ситуацию успеха, и у них исчезает чувство беспомощности. Это особенно важно для учащихся с пониженным уровнем обучаемости.

Общая информация
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону N273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» педагогическая деятельность требует от педагога наличия системы специальных знаний в области обучения и воспитания детей с ОВЗ. Поэтому для всех педагогов является актуальным повышение квалификации по этому направлению!

Дистанционный курс «Обучающиеся с ОВЗ: Особенности организации учебной деятельности в соответствии с ФГОС» от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (72 часа).

Подать заявку на курс
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.