Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Опорные конспекты по алгебре для учащихся 9 класса
  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Справочные материалы

по алгебре.

9 класс.



Составитель: учитель математики

МБОУЛ №3

Съедина Л.Н.







Свойства функции .


Определение свойства функции

Где смотреть свойство на графике

1



2



3


4



5





6

Область определения D(y) – все значения аргумента (х).



Область значений функции Е(у) - все значения у.



Нули функции – те значения х, при которых у=0.


Промежутки знакопостоянства – те значения х, при которых значения функции только положительны или только отрицательны.

Промежутки монотонности:

а) Функция возрастает, если большему значению аргумента(х) соответствует большее значение у.

б) Функция убывает, если большему значению аргумента(х) соответствует меньшее значение у.

Четность функции:

Функция четная: 1) D(y) симметрична относительно (0;0).

2) противоположным х соответствуют одинаковые у.

Функция нечетная: 1) D(y) симметрична относительно (0;0) .

2) противоположным х соответствуют противоположные у .


По оси Ох от крайней левой точки графика до крайней правой.


По оси Оу от самой нижней точки графика до самой верхней.


По оси Ох – точки пересечения графика с осью.


По оси Ох.

Если уhello_html_m78774d40.gif0, то график над Ох, если уhello_html_4a9dbf6d.gif,то график под Ох.



а) График идет вверх.


б) График идет вниз



График четной функции симметричен относительно оси Оу.



График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Исследование свойств функции без построения графика.


У = hello_html_49c30347.gif.


1. D(y): хhello_html_3750bfcb.gif0.

2. Е(у): hello_html_49c30347.gif= 2 + hello_html_m505b8356.gif, уhello_html_m289d78ff.gif(-hello_html_m74e6612e.gif;2)hello_html_m1892df5d.gif(2; hello_html_m74e6612e.gif).

3. нули: у=0, 2х + 8 = 0, х = -4.


4. у>0 hello_html_49c30347.gif>0 2х + 8 >0 и х>0 или 2х + 8 < 0 и х< 0

х >-4 и х >0 или х<-4 и x< 0

х >0 х<-4

хhello_html_m289d78ff.gif (-hello_html_m74e6612e.gif;-4) hello_html_m1892df5d.gif(0; hello_html_m74e6612e.gif).

у<0 хhello_html_m289d78ff.gif(-4;0).


  1. хhello_html_40862967.gifhello_html_40862967.gifhello_html_m32ba2c31.gif1 1 2 х1< х2 , ноу1 > у2, значит, функция убывающая.

х2 2 5

у1 10 6

у2 6 3,6


6. у(х) = hello_html_49c30347.gif. у(-х) =hello_html_m1781cd5e.gif= hello_html_2b86f3e1.gifhello_html_3750bfcb.gif у(х) hello_html_3750bfcb.gif -у(х).

Функция ни чётная, ни нечётная.

Алгоритм определения чётности функции.


1. Определить является ли D(y) симметричной относительно (0;0).

hello_html_mf867f1a.gifhello_html_m47e268dd.gif


hello_html_5351c983.gifhello_html_m5738d9a0.gifДа нет вывод: функция ни четная, ни нечетная.


  1. Определить чему равно f(-x) =

hello_html_789b9c47.gifhello_html_m30e25fcf.gifhello_html_m226845c1.gif





f (-x) = f(x) f(-x) = - f(x) f(-x) hello_html_3750bfcb.gifhello_html_m53d4ecad.giff(x) hello_html_3750bfcb.gif - f(x)


чётная нечётная функция ни чётная, ни нечётная.


1. у=2х-5. D(y) = R ; у(-х)=-2х – 5 = -(2х + 5) - функция ни чётная, ни нечётная.


Квадратный трёхчлен ах2 + bх + с . (аhello_html_3750bfcb.gif0)


Разложение на множители:

ах2 + bх + с = а (х-х1) (х-х2), х1 и х2 – корни трёхчлена.


Способы нахождения корней трёхчлена:

ах2 + bх +с=0.

1. по формулам: D = b2 – 4ас, х1=hello_html_7e5627.gif х2 = hello_html_3ae1a40.gif.


2. по теореме Виета: а=1, х1х2= с х1+ х2= -b.

3. если а+ b+с = 0, то х1= 1, х2=hello_html_72f28aee.gif.

4. если а+ с = b, то х1= -1, х2= - hello_html_72f28aee.gif.

5. метод переброски: ах2 + bх +с = 0.

у2 + bу + ас = 0

у1/2 найти по т. Виета, х1/2= hello_html_1ec6dc9.gif.

Квадратичная функция у = ах2 + bх +с .

hello_html_m53d4ecad.gif

Алгоритм построения графика.


1. Указать, что графиком является парабола и определить положение её ветвей.

2. Найти координаты вершины: х0= m =hello_html_m28bf2c5f.gif; у0 = у ( х0).

3. Указать ось симметрии - прямая х = m.

4. Составить таблицу значений для х, расположенных правее или левее оси симметрии.

5. Построить график.


Например: у = 2х2+4х- 1.


Графиком функции является парабола,

hello_html_m6d1febab.gifветви которой направлены вверх.

hello_html_m15f21a16.gifhello_html_16ea00d6.gif

У

Вершина х0= m =hello_html_m266f9026.gif= -1 ; у0= у( х0 ) =-3.

Прямая х = -1 – ось симметрии.


Х

0

1

2

У

-1

5

1hello_html_4c81cb5e.gif

х

5

-

Квадратичные неравенства.

ahello_html_m7ae7537d.gif) ах2 + bх +с<0 a>0

hello_html_479f9d03.gifhello_html_5ea32d56.gifу

hello_html_m4944f143.gify y hello_html_291b53e8.gifhello_html_397b8e9f.gif


а

//////////////////

b x

hello_html_343addde.gifhello_html_6ac59c09.gifhello_html_56af025a.gifa x х

D>0 (a;b) D=0 нет решений D<0 решений нет

hello_html_m40372bf3.gif

hello_html_479f9d03.gifhello_html_m57423f9.gifb) ах2 + bх +с>0 a>0

hello_html_m4944f143.gifhello_html_1cf8d834.gifу

y y

hello_html_291b53e8.gifhello_html_397b8e9f.gif


а

///////////////// ////////////////////// //////////////////////////////////////

hello_html_343addde.gifb x a //////////////////////////////////

hello_html_6ac59c09.gifx х

D>0 (-hello_html_m74e6612e.gif;a)hello_html_m1892df5d.gif (b;+hello_html_m74e6612e.gif) D=0 (hello_html_m493237f9.gif;a)hello_html_m1892df5d.gif(a;hello_html_m74e6612e.gif) D<0(-hello_html_m74e6612e.gif;+hello_html_m74e6612e.gif)

hello_html_m385ab07.gifМетод интервалов.

Этот метод применяют для решения неравенств, представляющих собой произведение или частное.

Например: х(х-2)(х+4)>0; hello_html_m6f9ec9fb.gif<0.

Алгоритм решения.

  1. Задать функцию.

  2. Найти область определения функции.

  3. Нули функции.

  4. Числовая прямая, на которой отмечены область определения и нули. Проверить знак функции на каждом промежутке.

  5. Выбрать те промежутки, которые удовлетворяют условию. Если в условии знак «>», то выбрать с «+», если в условии знак «<», то выбрать с «-».

  6. Записать ответ.

1. х(х-2)(х+4)>0. №2. hello_html_m6f9ec9fb.gif<0

1. у =hello_html_m6f9ec9fb.gif

1. y = х(х-2)(х+4). 2. D(y): хhello_html_3750bfcb.gif-8

2. D(y)=R. 3. у=0, х=0, х=3.

3. y=0 x=0, x=2 , x=-4. 4.

hello_html_m785da55e.gifhello_html_m48c8535c.gif4 - + - + - + - +

-4 0 2 х -8 0 3 х

5. у>0, хhello_html_m289d78ff.gif (-4;0)hello_html_4969d799.gif(2;hello_html_m74e6612e.gif). 5. у<0, хhello_html_m289d78ff.gif (-hello_html_m74e6612e.gif;-8)hello_html_4969d799.gif(0;3).


Элементы комбинаторики.


  1. Перестановки – расположение всех данных элементов в определённом порядке.

Например: а,в,с. Возможные варианты: авс, асв, вас, вса, сав, сва. Рn=n! = n (n-1) (n-2)…..1



2. Размещения – возможные варианты из n элементов по k, взятых в определенном порядке.

Например: а,в,с. Возможные варианты из 3 по 2: ав, ва, ас, са, вс, св.

Аnk = hello_html_5b847464.gif; ( k


3.Сочетания - возможные варианты из n элементов по k, порядок расположения не важен.

Например: а,в,с. Возможные варианты из 3 по 2:ав,ас,вс.

Сnk =hello_html_5b847464.gif , ( k<n)

4.Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных.

Выделение квадрата двучлена.

.

ах2 + bх +с = a(х2 + m) + n.


1 . Вынести общий множитель а за скобки.

2 + 8х – 6 = 2(х2 +4х – 3)


2. Выделить в скобке квадрат двучлена: a2 + 2ab +b2 = (a + b)2

2(х2 + 2hello_html_m3c62c67f.gifхhello_html_m3c62c67f.gif2 +4 -4 -3)=2( (х+2)2 – 7) = 2 (х+2)2 – 14.

hello_html_m59492c59.gifhello_html_mb60b119.gif

Т.к. 2 (х+2)2 > 0, то наименьшее значение равно (-14).



hello_html_63db4c2b.gifhello_html_37f671d3.gif1. 4 х2 – 2х + 12 = 4(х2 -hello_html_m3d4efe4.gifх + 3) = 4(х2 - 2hello_html_m3c62c67f.gifхhello_html_m3c62c67f.gifhello_html_50c7c0d7.gif +hello_html_281c995e.gif - hello_html_281c995e.gif + 3) = 4( (х -hello_html_50c7c0d7.gif)2 +2hello_html_m7595ff49.gif) =4 (х -hello_html_50c7c0d7.gif)2 + 11hello_html_m324906d0.gif.


Наименьшее значение равно 11hello_html_m324906d0.gif.









hello_html_m53d4ecad.gif

























hello_html_40dc7cc1.gif

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

В каждом классе есть дети, которые с трудом усваивают математику.Им сложно применять теоретический материал, поэтому им на уроке я разрешаю пользоваться справочником по алгебре, где указаны алгоритмы по ключевым темам   учебника  "Алгебра 9 класс" Ю.Н.Макарычева.

В виде таблиц, опорных конспектов, схем наглядно представлен материал по темам "Квадратичная функция и её график","Свойства функции", алгоритм определения четности функции, алгоритм решения неравенств методом интервалов, приведены примеры.Низкомотивированным учащимся можно пользоваться этими шпаргалками во время самостоятельной работы.

Автор
Дата добавления 25.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров686
Номер материала 458605
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх