Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Опорные конспекты по математике для 5 класса
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Опорные конспекты по математике для 5 класса

Выбранный для просмотра документ Делимость натуральных чисел_памятка.doc

библиотека
материалов

Делимость натуральных чисел


hello_html_6e847cd.gifa : b = с, если с ∙ b = a

hello_html_m2a4a43d3.gifhello_html_m1c8dfe0f.gif

делимое

делитель

частное

кратное числу b



делится на число b

делит число а


К(5)={5;10;15;…}

Д(15)={1;3;5;15}

Д(3)={1;3}



Чhello_html_7596a6df.gifhello_html_m6ce2e145.gifисла

Простые Составные


Числа, имеющие только два делителя: 1 и само число. Например, число 3.

Числа, имеющие больше двух делителей. Например, число 15


НОД – наибольший общий делитель

Д(5)={1;5}

Д(3)={1;3}

НОД(3;5)=1

Д( 4 )={1;2;4}

Д(8)={1;2;4;8}

НОД(4;8)=4

Д(12)={1;2;3;4;6;12}

Д(18)={1;2;3;6;9;12}

НОД(12;18)=6

НОК – наименьшее общее кратное

К(5)={5;10;15…}

К(3)={3;6;9;12;15..}

НОК(3;5)=15=3∙5

К(4)={4;8;...}

К(8)={8;16;..}

НОК(4;8)=8

К(12)={12;24;36; ..}

К(18)={18;36;…}

НОК(12;18)=36=18∙2



Делимость натуральных чисел


hello_html_m2c9f52a4.gifhello_html_m77c3516b.gifa : b = с, если с ∙ b = a

hello_html_m2a4a43d3.gif

делимое

делитель

частное

кратное числу b



делится на число b

делит число а


К(5)={5;10;15;…}

Д(15)={1;3;5;15}

Д(3)={1;3}



Чhello_html_m4180836e.gifhello_html_m6ce2e145.gifисла

Простые Составные


Числа, имеющие только два делителя: 1 и само число. Например, число 3.

Числа, имеющие больше двух делителей. Например, число 15


НОД – наибольший общий делитель

Д(5)={1;5}

Д(3)={1;3}

НОД(3;5)=1

Д( 4 )={1;2;4}

Д(8)={1;2;4;8}

НОД(4;8)=4

Д(12)={1;2;3;4;6;12}

Д(18)={1;2;3;6;9;12}

НОД(12;18)=6

НОК – наименьшее общее кратное

К(5)={5;10;15…}

К(3)={3;6;9;12;15..}

НОК(3;5)=15=3∙5

К(4)={4;8;...}

К(8)={8;16;..}

НОК(4;8)=8

К(12)={12;24;36; ..}

К(18)={18;36;…}

НОК(12;18)=36=18∙2



Выбранный для просмотра документ Памятка_ Признаки делимости чисел.doc

библиотека
материалов

Признаки делимости чисел


а : 10

а : 5

а : 2

а : 3

а : 9

а : 4

а : 25

а : 6

Число а делится на 10 в том и только в том случае, когда его последняя цифра равна 0

Число а делится на 5 в том и только в том случае, когда его последняя цифра равна 0 или 5

Число а делится на 2 в том и только в том случае, когда его последняя цифра – четная.

Четная цифра – 0, 2, 4, 6, 8

Число а делится на 3 в том и только в том случае, когда его сумма цифр делится на 3

Число а делится на 9 в том и только в том случае, когда его сумма цифр делится на 9

Число а делится на 4 в том и только в том случае, когда его 2 последние цифры образуют число, делящееся на 4

Число а делится на 25 в том и только в том случае, когда его 2 последние цифры образуют число, делящееся на 25

Число а делится на 6 в том и только в том случае, когда оно одновременно делится на 2 и на 3

  1. 170 : 10 , т.к. последняя цифра 0

  1. 170 : 5, т.к. последняя цифра 0

  1. 128 : 2, т.к. 8 - четная цифра

  1. 3996 : 3, т.к. сумма цифр (3+9+9+6) : 3 =27 : 3 = 9

  1. 3996 : 3, т.к. сумма цифр (3+9+9+6) : 3 = 27 : 3 = 9

1) 4816 : 4, т.к. 16 : 4


  1. 4875 : 25, т.к. 75 : 25

  1. 126 : 6, т.к. 6- четная цифра, и сумма цифр (1+2+6) : 3

  1. (520 + 71х) : 10= =520 : 10+71х :10 утверждение истинно,

если х = 20

  1. ((62-18)∙70)):10 утверждение истинно, т.к. 70 : 10

  1. (21х + 13у): 5= = 21х : 5+13у :5 утверждение истинно, если х=15, у=30

  2. (43у) : 5 утверждение истинно, если у=15

  1. (33х – 15у): 2= = 33х : 2–15у :2 утверждение истинно,

если х=12, у=12

  1. (50а) : 2 утверждение истинно, если а – любая цифра, т.к. 50 : 2


  1. (270 +318): 3= =270 : 3+318: 3= =90 + 106 = 196

  2. (52х): 3 утверждение истинно,

если х=45


  1. (405 +990) :9 = =405 : 9 +990 : 9 = 45 + 110 = 155

  2. (25у): 9 утверждение истинно, если у=135


2)(124 + 232): 4= =124 : 4+232 : 4= = 31 + 58 = 89

3)(14х + 116) : 4= 14х : 4 + 116 : 4= 14х : 4 + 29 утверждение истинно, если х=16

  1. 4800 : 25, т.к. 48 ∙ 100

3)(125 + 3у): 25= 125 : 25+ 3у : 25 = = 5 + 3у : 25

утверждение истинно, если у=75


2) (312 + 726) : 6 = =312 : 6+726: 6 = 52 + 121 = 173



Четные числа – это числа, делящиеся на 2. Тогда формула четного числа2n. А формула нечетного числа - 2n +1, где n-натуральное число.







Выбранный для просмотра документ Памятка_Простое число и делимость.doc

библиотека
материалов

Простое число и делимость

Простое: 3 = 3∙1

Составное: 40 = 2∙20 = 4∙10=8∙5=2∙2∙2∙5 (разложение на простые множители)hello_html_m4fc1329c.gif

  1. 2 180 = 2∙2∙3∙3∙5

  1. 2 Значит, число 180 делится и

  1. 3 на произведение множителей,

  1. 3 т.е. на: 4, 6, 12, 9, 36, 10, 20, 60, 15, 45, 30

  1. 5

1

Наибольший общий делитель (НОД) Наименьшее общее кратное (НОК)

НОД (60;72)=2∙2∙3=12

  1. hello_html_m69636bc8.gifhello_html_m2fb83a6a.gif2 72 2

  1. 2 36 2

  1. 3 18 2

  1. 5 9 3

  1. 3 3

1

Чтобы найти НОД двух и более чисел, надо:

  1. Разложить числа на простые множители.

  2. Подчеркнуть одинаковые множители.

  3. Вычислить произведение этих множителей в разложении одного из чисел.


НОД (20;9) = 1

2hello_html_200e6fa1.gifhello_html_5b970866.gif0 2 9 3

10 2 3 3 Т.к. числа 20 и 9 взаимно

5 5 1 1 простые, то НОД этих чисел

1 1 1 равен 1.

1

НОК (5;3)=5∙3=15

Т.к. числа 5 и 3 взаимно простые, то НОК находится как произведение этих чисел.

hello_html_m2a8534d7.gifНОК (4;8)= 2∙2∙2=8

8hello_html_4173dcbe.gif 2 4 2 Числа 4 и 8 кратные, значит НОК

4 2 2 2 равен большему из двух чисел.

2 2 1

1


НОК (16;12)=2∙2∙2∙2∙3

1hello_html_m32ba2c31.gifhello_html_5b970866.gif6 2 12 2 Выбирается большее из двух

8 2 6 2 чисел, и добавляются множители,

4 2 3 3 отсутствующие в разложении

2 2 1 этого числа.

1

Чтобы найти НОК двух чисел и более, надо:

  1. Разложить числа на простые множители.

  2. Выписать разложение большего из них.

  3. Добавить недостающие множители из разложения других чисел.

  4. Вычислить полученное произведение.

Выбранный для просмотра документ Памятка_Степень числа.doc

библиотека
материалов

Степень числа


а + а + а + а = 4а а∙а∙а∙а = а4 (а в степени 4)

hello_html_m4459bd82.gif аn= а∙а∙а∙…. а∙а, n >1, n – натуральное число

n раз

а – основание степени, какое число умножаем

n – показатель степени, сколько раз умножаем


а1 = а а2 – квадрат числа а а3 – куб числа а

(а в квадрате) (а в кубе)

3 2 1

105 – 400 : 23= 55

1) 23= 2∙2∙2 = 8

2) 400 : 8 = 50

3) 105 – 50 = 55


Свойства умножения и деления

1. hello_html_m4affac44.gif

255 : 15 = 255 : (3 5) = (255 : 5) : 3 = 51 : 3 = 17

2. hello_html_4e8e866d.gif

70 : 5 = 210 : x

(70 3) : (53) = 210 : x

210 : 15 = 210 : x

x = 15

3. hello_html_m1ead10e.gif

15 : 55 = x : 11

(15 : 5) : (55 : 5) = x : 11

3 : 11 = x : 11

x = 3

Степень числа


а + а + а + а = 4а а∙а∙а∙а = а4 (а в степени 4)

hello_html_m4459bd82.gif аn= а∙а∙а∙…. а∙а, n >1, n – натуральное число

n раз

а – основание степени, какое число умножаем

n – показатель степени, сколько раз умножаем


а1 = а а2 – квадрат числа а а3 – куб числа а

(а в квадрате) (а в кубе)

3 2 1

105 – 400 : 23

1) 23= 2∙2∙2 = 8

2) 400 : 8 = 50

3) 105 – 50 = 55


Свойства умножения и деления

1. hello_html_m4affac44.gif

255 : 15 = 255 : (3∙ 5) = (255 : 5) : 3 = 51 : 3 = 17

2. hello_html_4e8e866d.gif

70 : 5 = 210 : x

(70∙ 3) : (5∙3) = 210 : x

210 : 15 = 210 : x

x = 15

3. hello_html_m1ead10e.gif

15 : 55 = x : 11

(15 : 5) : (55 : 5) = x : 11

3 : 11 = x : 11

x = 3

Выбранный для просмотра документ Памятка_логика.doc

библиотека
материалов

Логика

Определение: Предложения равносильные, если они означают одно и тоже.

Примеры:

1hello_html_m4e821e6c.gif) 2<5 5>2

2hello_html_65f5794a.gifhello_html_65f5794a.gif) 2x – 3 =15 2x = 18 x=9

3) Число k делится на 3 в том и только в том случае, если сумма цифр числа делится на 3.

4) Число делится на 2 тогда и только тогда, если оно оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8


Определение – это предложения, в котором разъясняются значения новых слов.

Например:

1) Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя.

Дhello_html_65f5794a.gifробь hello_html_mfc360d0.gif- правильная x < y

2) Натуральное число b называется простым, если оно делится на 1 и на самого себя.

hello_html_65f5794a.gifа – простое а делится на 1 и на самого себя (ahello_html_m289d78ff.gifN)

3) Натуральное число а называется кратным натуральному числу b, если существует число с такое, что а = bc

hello_html_65f5794a.gifa – кратное b существует с такое, что а = bc (a,b,chello_html_m289d78ff.gifN)

Слово существует в математике заменяют знаком hello_html_m606d34db.gif

Тогда запись будет выглядеть таким образом:

ahello_html_65f5794a.gif – кратное b hello_html_m606d34db.gifс : а = bc (a,b,chello_html_m289d78ff.gifN)

Логика

Определение: Предложения равносильные, если они означают одно и тоже.

Примеры:

1hello_html_m4e821e6c.gif) 2<5 5>2

2hello_html_65f5794a.gifhello_html_65f5794a.gif) 2x – 3 =15 2x = 18 x=9

3) Число k делится на 3 в том и только в том случае, если сумма цифр числа делится на 3.

4) Число делится на 2 тогда и только тогда, если оно оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8


Определение – это предложения, в котором разъясняются значения новых слов.

Например:

1) Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя.

Дhello_html_65f5794a.gifробь hello_html_mfc360d0.gif- правильная x < y

2) Натуральное число b называется простым, если оно делится на 1 и на самого себя.

hello_html_65f5794a.gifа – простое а делится на 1 и на самого себя (ahello_html_m289d78ff.gifN)

3) Натуральное число а называется кратным натуральному числу b, если существует число с такое, что а = bc

hello_html_65f5794a.gifa – кратное b существует с такое, что а = bc (a,b,chello_html_m289d78ff.gifN)

Слово существует в математике заменяют знаком hello_html_m606d34db.gif

Тогда запись будет выглядеть таким образом:

ahello_html_65f5794a.gif – кратное b hello_html_m606d34db.gifс : а = bc (a,b,chello_html_m289d78ff.gifN)


Выбранный для просмотра документ Памятка_признаки делимости выражений.doc

библиотека
материалов

Свойства делимости выражений


(ab): с если a:c или b:c

(a ± b): с если a:c и b:c

Произведение делится на число, если один из множителей делится на это число

Сумма делится на число, если оба слагаемых делятся на это число.

Разность делится на число, если уменьшаемое и вычитаемое делятся на это число.

Примеры:

1. (51∙ 15) : 7 утверждение ложное,

т.к. 51 не делится на 7 (или 15 не делится на 7)

2. (508 ∙ 12) : 3 = 508 ∙ (12 : 3) = 508 ∙ 4 = 2032 утверждение истинное

3. (3х) : 5 = 3 ∙ (х : 5) Если х=15, то утверждение истинное

4. (28 ∙ 36 ∙ 25) : 9 = 28 ∙ (36 : 9) ∙ 25 = 28 ∙ 4 ∙ 25 =

= 28 ∙ 100 = 2800

5. (12abc) : 4 = (12 : 4)abc = 3abc

6. (45xyz): x = (x : x) ∙ 45yz = 45yz

Замечание:

Свойство транзитивности:

Если a:b, b:c, то a:c


Например: 36 : 9, 9 : 3 Значит, 36 : 3 = 12

Примеры:

1. (450 + 25) : 5 = 450 : 5 + 25 : 5 = 90 + 5 = 95 утверждение истинное

2. ( 450 + 14) : 5 = 450 : 5 + 14 : 5 = 90 + 14 : 5 утверждение ложное

3. (9а + х) : 3 = 9а : 3 + х : 3 = 3а + х : 3

Если х=15, то утверждение истинное

4. (888-10 ∙ 32) : 8 = 888 : 8 –10 ∙ (32 : 8)=111–10 ∙ 4= = 61

5. (8а + 4b – 36) : 4 = 8а : 4 + 4b : 4 – 36 : 4 =

= 2а + b – 9

6. 215 : 19 = (190 + 25) : 19 = 190 : 19 + 25 : 19 =

= 10 + 25 : 19 утверждение ложное

7. ОД (649; 651) = ?

Так как 649 : х , 651 : х , то и (651 - 649) : х = 2:х

Значит, х – это 1 или 2. Но 651 не делится на 2, 649 не делится на 2. Т.е. ОД (649; 651) = 1


Выбранный для просмотра документ Памятка_утверждения.doc

библиотека
материалов

hello_html_6edfe19.gifhello_html_m7f026e74.gifhello_html_m2f5ab3c0.gif

(математические предложения)

Например: Произведение любого числа на 0 равно 0.

hello_html_28eab850.gifhello_html_m38e6826d.gifhello_html_24f37545.gifhello_html_1293d204.gif


Каждое утверждение состоит из темы и ремы. Тема – о чем говорится, рема – что сообщается.


hello_html_384eb8e9.gif

hello_html_53732746.gif

Все элементы обладают определенным свойством.

Хотя бы один элемент обладает определенным свойством

Содержат слова: всегда, любой, каждый, все

Содержат слова: некоторые, можно найти, не всегда, существует, может быть, иногда

Все натуральны числа больше 1.

У каждой реки есть исток.

Любое натуральное число делится на 2.

Сумма двух натуральных чисел всегда делится на 3

У некоторых четырехугольников 5 сторон.

Можно найти квадрат, площадь которого равна 25 м2

Грибы не всегда съедобны.

Существуют числа, кратные 5.

В доме может быть больше 10 этажей.

Истинное

Ложное

Истинное

Ложное

Утверждение, выполняющееся для всех элементов

Утверждение, не выполняющееся для некоторых элементов

Утверждение, выполняющееся для всех элементов

Утверждение, не выполняющееся для некоторых элементов

Доказывается с помощью обозначений.

Доказывается с помощью приведения контрпримеров.

Доказывается с помощью примера.

Пример: Сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

Док-во: Пусть n – 1-ое число, n+1 – 2-ое число, n+2 – 3-е число. n+(n+1)+(n+2) = n+n+1+n+2 = 3n + 3 = 3(n+1), что и требовалось доказать.

Пример: Сумма двух натуральных чисел всегда делится на 3.

Док-во: Например, 1 + 3 = 4 – не делится на 3, что говорит о ложности утверждения.

Пример: Существуют числа, кратные 5.

Док-во: Кратные 5 – это числа, которые делятся на 5, например число 15. Значит, утверждение истинное.


Пример: Некоторые квадраты не являются прямоугольниками.

Док-во: Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами. Значит, утверждение ложное.


Выбранный для просмотра документ Памятки.doc

библиотека
материалов

План решения задач

(памятка)


  1. Составить эскиз задачи.

  2. Выбрать действующих лиц (например: девочки и мальчики; квадрат и прямоугольник; машина и мотоцикл; действие по плану и действие фактически; пряники и конфеты)

и их характеристики (количество детей; длина, ширина и площадь; скорость, время, расстояние; производительность, время и объем работы; цена, количество, стоимость).

3. Заполнить таблицу по действующим лицам (строки) и по характеристикам (столбцы) по следующему плану:

Если задача

hello_html_678d377d.gifhello_html_mf2ccdff.gif

с числовыми данными

с переменными величинами

4. Расставить известные данные из текста задачи.

5. Найти связь между известными и неизвестными данными.

5. Ввести переменную Х. Найти связи между величинами, в том числе используя формулы

6. Составить выражение.

6. Составить уравнение, исходя из условия задачи.

7. Найти искомые значения

7. Решить уравнение и вычислить недостающие данные.

8. Записать ответ задачи

Памятка по оформлению записей



  1. 1) а 2 = 2а

2) (а+b)∙8 = 8(а+b)

3) с(а+b) = с(а+b)


  1. 9м 5 см – 4 дм 7 см = 905 см – 47 см = 858 см = 8 м 58 см


  1. Если a>b на 4, то надо записывать в виде ab= 4. Если a>b в 4 раза, то надо записывать в виде a=4b


  1. xhello_html_m3f931f72.gify = 10x +y – запись двузначного числа

  2. 10x + 2x -5x +x = 8x


  1. x +5 +2x – 3 = 3x +2


  1. a +5


вычитаемое

  1. 55 – 8x = 7

8x = 55 – 7

множитель

8x = 48

x = 48: 8

x = 6

Задача на числовое выражение


Сережа, Костя и Денис собрали 120 марок. Сергей собрал 25 марок, а Костя – в 2 раза больше, чем Сергей. Сколько марок собрал Денис?




hello_html_74ebe45a.gif




  1. 25 2 – марок собрано Костей

  2. 25 + 25 2 – марок собрано Костей и Сергеем

  3. 120 – (25 + 25 2) – марок собрано Денисом










Задача на суммарную величину


В классе девочек в 2 раза больше, чем мальчиков, а всего 30 учеников. Сколько девочек и мальчиков в классе?




hello_html_74ebe45a.gif




Количество, чел.

Д

2х = ?

М

х = ?


По условию задачи Д + М = 30 человек.

Составляем уравнение:

2х + х = 30

2х + 1х = 30

х (2 +1) = 30

3х = 30

х = 10


Значит, М – 10 человек, в Д = 2х = 210=20 человек.

Ответ: 10 и 20 человек.

Задача на движение


Турист предполагал пройти маршрут длиной 60 км с некоторой скоростью. Однако из-за погодных условий его скорость на маршруте оказалась на 1 км/ч меньше и турист прибыл в конечный пункт на 1ч позже, чем рассчитывал. С какой скоростью прошел турист свой маршрут?


По плану

hello_html_98608df.gif

hello_html_74ebe45a.gifhello_html_1b50acc3.gif

60 км

на 1 км/ч < , на 1 ч позже

Фhello_html_98608df.gifактически



V, км/ч

t, ч

S, км

По плану

х

60: х

60

Фактически

х-1 = ?

60 : (х-1)

60


из ума

счет по формуле

из книги


По условию задачи tфакт > tплан на 1 ч.

Составляем уравнение:

60: (х-1) – 60: х = 1





Задача на стоимость


Тетради в клетку дороже тетрадей в линейку на 400 руб. За 8 тетрадей в клетку надо заплатить на 1600 руб. больше, чем за 10 тетрадей в линейку. Какова цена этих тетрадей?

hello_html_m3be38d97.gifhello_html_m3be38d97.gif

Тет. в кл. – 1 т. на 400 руб. > , 8 тет., на 1600 руб. >

Тет. в л. - , 10 тет.,



Цена,

руб/шт

Кол-во,

шт.

Стоимость, руб

В клетку

х + 400 = ?

8

8(х + 400)

В линейку

х = ?

10

10х


По условию задачи Ткл > Тл на 1600 рублей.

Составляем уравнение:

8 (х + 400) – 10х = 1600











Задача на геометрические фигуры


Одну из сторон квадрата увеличили на 9 см, а другую уменьшили в 5 раз. В результате получили прямоугольник, периметр которого равен 66 см. Найти длину стороны квадрата.

hello_html_m8475e4b.gif

hello_html_3b1325d2.gif

hello_html_m20f2a7c4.gif




Ш, см

Д, см

Р, см

Квадрат

х = ?

х


Прямоугольник

х+9

х:5

(х+9+х:5)2


По условию задачи Рпрям = 66 см

Составляем уравнение:

(х+9+х : 5)2 = 66

Решаем уравнение методом проб и ошибок.

Если х=15, то (15 +9+15:5)2 = 66

54 ≠ 66

Если х=20, то (20 +9+20:5)2 = 66

66 = 66

Значит, сторона квадрата 20 см.



Задача на работу


Машинистке надо перепечатать рукопись. Она рассчитала, что печатая в час 8 страниц, она закончит работу на 4 часа раньше, чем если будет печатать в час по 6 страниц. Сколько страниц в рукописи?


План – по 6 стр/ч, , стр. ?

Фактически – по 8 стр/ч, на 4 ч раньше, стр. ?



Производительность,

стр/ч

t, ч

V, стр.

По плану

6

х

6х =?

Фактически

8

х-4

8(х-4)


По условию задачи перепечатана одна и та же рукопись. Значит, количество страниц по плану и фактически одинаково.

Составляем уравнение:

6х = 8 (х-4)

Задача на числовые зависимости


Найти двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр.


xhello_html_m3f931f72.gify - двузначное число

xhello_html_m3f931f72.gify = 10x +y

х, у – цифры,

х от 1 до 9, у от 0 до 9

х + у – сумма цифр


hello_html_m3f931f72.gifПо условию задачи ху > x + y в 2 раза

Составляем уравнение:

10х + у = 2 (х+у)

10х +у = 2х + 2у (отнимаем по 2х и по 1у)

и получаем

8х = у или у=8х – упрощенное уравнение

Решаем уравнение методом перебора.

Если х=1, то у= 8 - подходит

Если х=2, то у=16 – не подходит, т.к. у может принимать значения только от 0 до 9. Значит, все х, большие 1, не могут подходить по условию задачи.

Тогда, имеем число 18.


Задача на составление системы уравнений


В секции фигурного катания 60 человек. Для занятий их разделили поровну на несколько групп. Если бы групп было на 1 больше, то в каждой было бы на 3 человека меньше. Сколько было групп и сколько человек в каждой группе?


План – , , 60 чел.

Фактически – на 3 чел/группе <, на 1 группу >, 60 чел.



Вместимость,

Чел/группе

Кол-во групп

Всего человек

По плану

х -?

у - ?

ху

Фактически

х-3

у+1

(х-3)(у+1)


По условию задачи количество человек не изменилось – 60 человек. Значит, всего человек по плану и фактически одинаково.

Сhello_html_mff257d5.gifоставляем систему уравнений:

ху = 60

(х-3)(у+1) = 60

Решаем систему уравнений методом проб и ошибок.

Еhello_html_mff257d5.gifhello_html_mff257d5.gifсли х=9, у=9, то 9 9 = 60 81≠ 60

(9-3)(9+1) = 60, 60=60

Эhello_html_mff257d5.gifти значения не подходят.

hello_html_6ba5c6d3.gifЕсли х=15, у=4, то 15 4 = 60 60=60

(15-3)(4+1) = 60, 60=60

Эти значения подходят.

Значит, групп было 4 по 15 человек в каждой.

hello_html_2bd14c91.gifhello_html_mefeac52.gif

Краткое описание документа:

Для успешного усвоения курса математики 5 класса  необходима самостоятельная работа учащихся на всех этапах учебного процесса. В решении этой задачи помогают эффективные средства организации самостоятельной работы учащихся на уроке в виде опорных конспектов.

Опорный конспект является вторичным текстом, так как  в нем в краткой форме передаются основные сведения текста исходного. Часто опорный конспект представляет собой рисунок или схему, иногда таблицу.  Психологи считают, что преобразование учеником информации, перевод ее в более наглядную форму способствует лучшему пониманию и усвоению знаний.

Ученик читает текст и делает соответствующие записи в тетради. Знания усваиваются в системе, прочнее и быстрее, если они предъявляются ученику сразу крупным блоком.

Опорные конспекты помогают учащимся эффективно усваивать новый учебный материал и упорядочить самостоятельную работу по устранению пробелов в математической подготовке. Так же эти конспекты содержат образцы  решений типовых примеров и упражнений, дается алгоритм выполнения элементарных операций для решения любой из задач, принадлежащих данному типу.

При составлении опорно-логических схем следует вводить знаки и использовать приемы краткой записи, что существенно экономит время. Конспекты можно использовать:

·         при изучении нового материала;

·         при закреплении пройденного на уроке;

·         при подготовке домашнего задания;

·         при организации работы в группах, парах;

·         при итоговом повторении.

Опорный конспект составляется учителем для ученика (чтобы дети усвоили представленную в нем информацию) или детьми (тогда учитель оценит, насколько они поняли прочитанный или услышанный исходный текст) или совместно учителем и детьми в диалоге (для создания атмосферы поиска, маленького открытия).

 

Таким образом, умение составлять опорный конспект - одно из важных общеучебных умений, которое подготавливает учеников к презентации своих знаний.

Автор
Дата добавления 16.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров982
Номер материала 306101
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх