Определение арифметической прогрессии. Формула n- го члена арифметической прогрессии. 9 класс

Урок алгебры в 9 классе по теме

«Определение арифметической прогрессии.

Формула - го члена арифметической прогрессии».

Тип урока: комбинированный.

Цель: Формирование понятия арифметической прогрессии как одного из видов

            последовательностей, вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Задачи:

Образовательные – повторить понятие последовательности, закрепить умение находить члены числовой последовательности, заданной формулой  – го члена. Познакомить учащихся с определением арифметической прогрессии, вывести формулу  – го члена арифметической прогрессии. Научить находить – й член арифметической прогрессии.

Развивающие – вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.

Воспитательные  – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Арифметическая прогрессия», карточки для выполнения теста.

Ход урока.

I. Организационный момент.  На экране высказывание:                 СЛАЙД 2

Закончился XX век,
Куда стремится человек,
Изучен космос и моря,
Строенье звезд и вся земля,
Но математиков зовет
Известный лозунг

“Прогрессия – движение вперед!”

Тема нашего урока - арифметическая прогрессия. На этом уроке мы узнаем, какая последовательность называется арифметической прогрессией, выясним, как отличить её от других последовательностей; познакомимся с формулой го члена арифметической прогрессии и  научимся  применять её при решении задач.

Но, сначала проверим, как вы усвоили материал прошлого урока.

II. Актуализация опорных знаний.

1. Устная работа:

 - С каким понятием мы познакомились на предыдущем уроке?  (С понятием последовательности).

 - Объясните, как вы понимаете, что такое последовательность.  (Последовательность – это числовой ряд, заданный некоторой формулой или правилом).

 - Какими могут быть последовательности?  (Последовательности могут быть конечными и бесконечными).

- Приведите примеры бесконечных и конечных последовательностей.  (Последовательность четных положительных чисел 2;4;6;8;… бесконечна, последовательность двузначных чисел 10;11;12;13;… конечна).

- Как называются числа, образующие последовательность? (Числа, образующие последовательность, называются членами последовательности).

СЛАЙД  3

- Последовательность () задана формулой. Найдите: . Как называется такой способ задания последовательности? (С помощью формулы n-го члена последовательности).
СЛАЙД  4

- Назовите три первых члена последовательности , если  Как называется

такой способ задания последовательности? (Рекуррентный способ).

2.  Проверка домашнего задания.

Ребята, на экране представлено решение вашего домашнего задания. Необходимо проверить, верно ли оно выполнено.

СЛАЙДЫ  5 – 8

№565 (г).   Найдите первые шесть членов последовательности, заданной 

                    формулой – го члена:

                 Решение:      (неверно, получится 2)

                                      

                                                         (неверно, получится 2)

№ 566.     Последовательность  задана формулой .  Найдите

                Решение:

                                                    (неверно, 5000+150=5150)

№569 (г).  Выпишите первые пять членов последовательности , если:

Решение:           

                                                                               (неверно,     ).

III. Изучение нового материала.

А сейчас приступим к изучению нового материала.

Откройте тетради, запишите дату и тему урока:

«Определение арифметической прогрессии. Формула - го члена арифметической прогрессии».

СЛАЙД 9.  Посмотрите на экран, здесь приведены последовательности.

 - Найдите для каждой последовательности следующие два члена.

 - А можно ли из данных пяти последовательностей выделить группу числовых рядов, объединённых каким-либо общим признаком?  (Каждый следующий член последовательности больше предыдущего на одно и то же число)

- Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями. Сделайте вывод: какая последовательность называется арифметической прогрессией?  (Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).

СЛАЙД 10

Запишем в тетрадях:

Последовательность  ()  – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие  , где d – некоторое число.

СЛАЙД 11

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом  равна d.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Запишем в тетрадях:

 ,  d – разность арифметической прогрессии.

СЛАЙД 12

Последовательности заданы несколькими первыми членами? Есть ли среди них арифметические прогрессии?

Какое условие должно выполняться? (Разность арифметической прогрессии должна быть постоянна).

СЛАЙД 13

Давайте еще раз посмотрим на последовательности и поговорим о различиях. Какие особенности есть у каждой последовательности и с чем они связаны?

- Ребята, как вы думаете, что необходимо знать, чтобы найти любой член арифметической прогрессии? (Необходимо знать  и d).

- Рассмотрим следующую задачу.

СЛАЙД 14

 - Пусть необходимо выписать первых три члена арифметической прогрессии ,  если известно, что = 2, d = 0,4.

 - А что, если нужно будет найти 31-й или 100-й члены?

Понятно, что вышеуказанный способ последовательного нахождения второго, третьего, четвертого и т. д. членов арифметической прогрессии неудобен. Попробуем отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

Проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и разности.

- А нет ли какой-нибудь связи между порядковым номером члена прогрессии и числа, стоящего перед  d.  Тогда,

Запишем в тетрадях:

Мы получили формулу  n  -  го члена арифметической прогрессии   

 - Теперь давайте вернемся к предыдущей задаче. Зная формулу n - го члена арифметической прогрессии, мы сможем найти 

№1

Дано:  – арифметическая прогрессия,

Найти:

Решение:

1) Воспользуемся формулой го члена арифметической прогрессии

,

2)  учащиеся находят самостоятельно ().

Ответ:

IV. Первичное закрепление.  № 584(а), 585(а), 589(а)

№ 584 (а)

Дано: арифметическая прогрессия, .

Найти: 

Решение:

Воспользуемся формулой   члена 

№ 585 (а)

Дано: арифметическая прогрессия,

Найти: 

Решение:

Воспользуемся формулой   члена 

№589 (а)

Дано: арифметическая прогрессия,

Найти: 

Решение:

V. Тест (с последующей самопроверкой).

Вариант 1

1.      Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите её.

                К)  1; 2; 3; 5;…                                                                    

                П)  1; 3; 5; 7;…

                О)  1; 2; 4; 8;…

                Т) 

2.   Первый член арифметической прогрессии

     Е)  0;                  М)   2;                   Р)  ;                       Г)  .

3.      Найдите пятый член арифметической прогрессии 3;7;…

    О)  19;                 Б)   15;                 С)  ;                        Д)  другой ответ.

4.      Найдите разность арифметической прогрессии, если

    А)   4;                  Н)   5;                   Г)  ;                          В)  другой ответ.

Задание	1	2	3	4
Буква	П	Р	О	Г

Вариант 2

1.      Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите её.

                А)  3; 4; 5; 7;…

                П) 

                Р)   1; 4; 7; 10;…

                К)  3; 7; 11; 14;…

2.   Первый член арифметической прогрессии

     О)  1;                  Н)   0;                    Е)  ;                        М)  .

3.   Найдите пятый член арифметической прогрессии  

                А)    19;               С)   24;                  Л)  ;                         Г)  другой ответ.

4.      Найдите разность арифметической прогрессии, если

     В)   2;                 Т)   3;                    К)  другой ответ;       С).

Задание	1	2	3	4
Буква	Р	Е	С	С

Прогре́сс  (лат. progressus — движение вперёд, успех) — направление развития от низшего к высшему, поступательное движение вперед, к лучшему. Наши познания в курсе алгебры похожи на подъём по лестнице. И, сегодня мы с вами поднялись ещё на одну ступеньку, под названием «Арифметическая прогрессия».

VI. Подведение итогов урока.

Вспомним начало нашего урока, ребята. Удалось ли за сегодняшний урок узнать что-то новое, сделать какие-то открытия? А какие цели урока мы ставили перед собой? Как Вы считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей?

VI. Домашнее задание.

 П. 25, № 578(б), № 584(б), № 589(б), №601(б).

Спасибо за урок, ребята. Вы сегодня хорошо потрудились.

• 1 слайд

  АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
  

• 2 слайд

  Закончился XX век,
  Куда стремится человек,
  Изучен космос и моря,
  Строенье звезд и вся земля,
  Но математиков зовет
  Известный лозунг
  “Прогрессия – движение вперед!”
  

• 3 слайд

  Устная работа
  Последовательность ( 𝒂 𝒏 )
  задана формулой
  𝒂 𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟑.
  
  Найдите: 𝒂 𝟏 , 𝒂 𝟑 , 𝒂 𝟓𝟎 , 𝒂 𝒌 .
  
  
  

• 4 слайд

  Устная работа
  Назовите три первых члена
  последовательности 𝒄 𝒏 , если
  
  𝒄 𝟏 =𝟒, 𝒄 𝒏+𝟏 = 𝒄 𝒏 +𝟑.
  
  
  
  

• 5 слайд

  Проверка домашнего задания
  №565 (г). Найдите первые шесть членов
  последовательности, заданной формулой 𝒏 – го
  члена: 𝒙 𝒏 = −𝟏 𝒏+𝟏 ∙𝟐.
  
  Решение: 𝒙 𝟏 = −𝟏 𝟏+𝟏 ∙𝟐=− 𝟏 𝟐 ∙𝟐=−𝟐,
  
  𝒙 𝟐 = −𝟏 𝟐+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟑 ∙𝟐=−𝟐,
  
  𝒙 𝟑 = −𝟏 𝟑+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟒 ∙𝟐=−𝟐,
  
  𝒙 𝟒 = −𝟏 𝟒+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟓 ∙𝟐=−𝟐,
  
  𝒙 𝟓 = −𝟏 𝟓+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟔 ∙𝟐=𝟐,
  
  𝒙 𝟔 = −𝟏 𝟔+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟕 ∙𝟐=−𝟐,
  
  

• 6 слайд

  Проверка домашнего задания
  №565 (г). Найдите первые шесть членов
  последовательности, заданной формулой 𝒏 – го
  члена: 𝒙 𝒏 = −𝟏 𝒏+𝟏 ∙𝟐.
  
  Решение: 𝒙 𝟏 = −𝟏 𝟏+𝟏 ∙𝟐=(− 𝟏) 𝟐 ∙𝟐=𝟐,
  
  𝒙 𝟐 = −𝟏 𝟐+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟑 ∙𝟐=−𝟐,
  
  𝒙 𝟑 = −𝟏 𝟑+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟒 ∙𝟐=𝟐,
  
  𝒙 𝟒 = −𝟏 𝟒+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟓 ∙𝟐=−𝟐,
  
  𝒙 𝟓 = −𝟏 𝟓+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟔 ∙𝟐=𝟐,
  
  𝒙 𝟔 = −𝟏 𝟔+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟕 ∙𝟐=−𝟐,
  
  

• 7 слайд

  Проверка домашнего задания
  № 566. Последовательность 𝒃 𝒏 задана формулой
  𝒃 𝒏 =𝟐 𝒏 𝟐 +𝟑𝒏. Найдите 𝒃 𝟓 , 𝒃 𝟏𝟎 , 𝒃 𝟓𝟎 .
  
  Решение: 𝒃 𝟓 =𝟐∙ 𝟓 𝟐 +𝟑∙𝟓=𝟓𝟎+𝟏𝟓,
  𝒃 𝟏𝟎 =𝟐∙ 𝟏𝟎 𝟐 +𝟑∙𝟏𝟎=𝟐𝟎𝟎+𝟑𝟎=𝟐𝟑𝟎,
  𝒃 𝟓𝟎 =𝟐∙ 𝟓𝟎 𝟐 +𝟑∙𝟓𝟎=𝟐∙𝟐𝟓𝟎+𝟏𝟓𝟎=𝟔𝟓𝟎.
  
  
  №569 (г). Выпишите первые пять членов
  последовательности 𝒂 𝒏 , если:
  𝒂 𝟏 =𝟑, 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏 −𝟏 .
  
  Решение:
  𝒂 𝟏 =𝟑, 𝒂 𝟐 =−𝟑, 𝒂 𝟑 =𝟑, 𝒂 𝟒 =−𝟑, 𝒂 𝟓 =𝟑.
  
  
  
  

• 8 слайд

  Проверка домашнего задания
  № 566. Последовательность 𝒃 𝒏 задана формулой
  𝒃 𝒏 =𝟐 𝒏 𝟐 +𝟑𝒏. Найдите 𝒃 𝟓 , 𝒃 𝟏𝟎 , 𝒃 𝟓𝟎 .
  
  Решение: 𝒃 𝟓 =𝟐∙ 𝟓 𝟐 +𝟑∙𝟓=𝟓𝟎+𝟏𝟓,
  𝒃 𝟏𝟎 =𝟐∙ 𝟏𝟎 𝟐 +𝟑∙𝟏𝟎=𝟐𝟎𝟎+𝟑𝟎=𝟐𝟑𝟎,
  𝒃 𝟓𝟎 =𝟐∙ 𝟓𝟎 𝟐 +𝟑∙𝟓𝟎=𝟐∙𝟐𝟓𝟎𝟎+𝟏𝟓𝟎=𝟓𝟏𝟓𝟎.
  
  
  №569 (г). Выпишите первые пять членов
  последовательности 𝒂 𝒏 , если:
  𝒂 𝟏 =𝟑, 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏 −𝟏 .
  
  Решение:
  𝒂 𝟏 =𝟑, 𝒂 𝟐 = 𝟏 𝟑 , 𝒂 𝟑 =𝟑, 𝒂 𝟒 = 𝟏 𝟑 , 𝒂 𝟓 =𝟑.
  
  
  
  

• 9 слайд

  Какая закономерность наблюдается в каждой последовательности?
  
  1) 𝟏;𝟑;𝟓;𝟕;…
  
  2) 𝟔;𝟏𝟐;𝟐𝟒;𝟒𝟖;…
  
  3) 𝟐;𝟕;𝟏𝟐;𝟏𝟕;…
  
  4) −𝟏𝟔;−𝟏𝟑;−𝟏𝟎;−𝟕;…
  
  5) 𝟏;𝟒;𝟗;𝟏𝟔;…
  
  
  Найдите для каждой последовательности следующие два члена.
  А можно ли из данных пяти последовательностей выделить группу числовых рядов, объединённых каким-либо общим признаком?
  
  
  

• 10 слайд

  Арифметическая прогрессия
  Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
  
  (an) - арифметическая прогрессия,
  если an+1 = an+d ,
  где d-некоторое число.
  

• 11 слайд

  Разность между любым членом арифметической
  прогрессии, начиная со второго, и предыдущим
  членом равна 𝒅.
  
  
  
  
  
  
  Число 𝒅 называют разностью арифметической прогрессии.
  +d
  +d
  +d
  +d
  +d
  +d
  +d
  a2
  a1
  a3
  an
  an-1
  an+1
  d=an+1-an
  

• 12 слайд

  Последовательности заданы несколькими первыми членами? Есть ли среди них арифметические прогрессии?
  1) 1; 4; 7; 10;...
  
  2) 1; 4; 15; 18;...
  
  3) 1; -1; -3; -5;…
  
  4) 4; 4; 4; 4;…
  𝒅=𝟑
  𝒅=𝟎
  𝒅=−𝟐
  

• 13 слайд

  Какой вывод из этих прогрессий можно сделать?
  𝟏;𝟒;𝟕;𝟏𝟎;…
  𝟏;−𝟏;−𝟑;−𝟓;…
  4; 4; 4; 4;…
  Если в арифметической прогрессии разность положительна (𝒅>𝟎), то прогрессия является возрастающей.
  
  Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (𝒅<𝟎), то прогрессия является убывающей.
  
  Если разность равна нулю 𝒅=𝟎 , то все члены прогрессии равны одному и тому же числу, и последовательность называется стационарной.
  
  𝒅=𝟑, 𝒂 𝒏+𝟏 > 𝒂 𝒏
  𝒅=−𝟐, 𝒂 𝒏+𝟏 < 𝒂 𝒏
  𝒅=𝟎, 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏
  

• 14 слайд

  Задача.
  Выпишите первые три члена арифметической прогрессии 𝒂 𝒏 , если известно, что 𝒂 𝟏 =𝟐, 𝒅=𝟎,𝟒.
  
  𝒂 𝟐 = 𝒂 𝟏 +𝟎,𝟒=𝟐,𝟒.
  
  𝒂 𝟑 = 𝒂 𝟐 +𝟎,𝟒=𝟐,𝟖.
  
  
  𝒂 𝟑𝟏 −? 𝒂 𝟏𝟎𝟎 −?
  
  

• 15 слайд

  Формула n-го члена
  a1
  a2=a1+d
  a3=a2+d=(a1+d)+d =a1+2d
  a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
  a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d
  ……………………..
  an=a1+(n-1)d
  
  an=a1+d (n-1)
  
  
  

• 16 слайд

  Задача.
  Выпишите первые три члена арифметической прогрессии 𝒂 𝒏 , если известно, что 𝒂 𝟏 =𝟐, 𝒅=𝟎,𝟒.
  
  𝒂 𝟐 = 𝒂 𝟏 +𝟎,𝟒=𝟐,𝟒.
  
  𝒂 𝟑 = 𝒂 𝟐 +𝟎,𝟒=𝟐,𝟖.
  
  
  𝒂 𝟑𝟏 −? 𝒂 𝟏𝟎𝟎 −?
  
  

• 17 слайд

  Ответы к тесту:
  Вариант 1
  
  
  Вариант 2
  
  Прогресс (лат. progressus) – направление развития от низшего
  к высшему, поступательное движение вперед, к лучшему.
  

• 18 слайд

  Успехов в выполнении домашнего задания!
  Домашнее задание:
  пункт 25,
  № 578(б), № 584(б), № 585(б), № 601(б).