707965
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалы"Определение квадратного уравнения, его виды и способы решения"

"Определение квадратного уравнения, его виды и способы решения"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Определение квадратного уравнения, его виды и способы решения

Определение: квадратным уравнением называется уравнение вида

                                                   ax2 + bx + c = 0,

 где  х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем,  а ≠ 0.  

 1)  Если в квадратном уравнении ах2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным  квадратным уравнением.

Неполные квадратные  уравнения бывают трёх видов:

1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах2 = 0.

2) Квадратное уравнение называют приведённым, если его первый коэффициент равен 1.

Различные способы решения квадратных уравнений:

разложение левой части уравнения на множители; метод выделения полного квадрата; решение квадратных уравнений по формуле; решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета; графическое решение квадратного уравнения; решение квадратных уравнений способом «переброски»; решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки; решение квадратных уравнений с помощью номограммы; геометрический способ решения квадратных уравнений. В школьном курсе алгебры применяются способы решения квадратных уравнений: метод выделения квадрата двучлена; решение квадратных уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения; разложение квадратного уравнения на линейные множители; решение уравнений с использованием теоремы Виета; графический способ решения квадратных уравнений.

Подробно исследуем способы решения квадратных уравнений: решение уравнений способом «переброски»; применение свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Но прежде, чем исследовать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  • не имеют корней;

  • имеют ровно один корень;

  • имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен.

2.2. Решение уравнений способом «переброски».

Суть метода состоит в том, что корни квадратных уравнений ax2 + bx + c = 0 и y2 + by + ac = 0 связаны соотношением: х =  .

Рассмотрим квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х =    ; тогда приходим к уравнению у² + bу + ас = 0, равносильному данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = y1 / a и х2 = y2 / a. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему. Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.1


Дано уравнение: 2 – 11х + 15 = 0. Решим данное уравнение способом «переброски»

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение y2 – 11y + 30 = 0. (D>0), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни

у1 + у2 = 11 ; у1 * у2 = 30

у1 = 5 ; у2 = 6 вернемся к корням исходного уравнения х1 = 5/2, x1 = 2,5 и x2 = 6/2, x2 = 3. Ответ: 2,5; 3.

Дано уравнение √3x2  5x  √12 = 0. Решим данное уравнение методом «переброски»

По методу «переброски» будем работать не с исходным, а с новым квадратным уравнением:

y– 5y – √12 · √3 = 0;

y– 5y  6 = 0.

Находим числа, сумма которых равна 5, а произведение равно -6.

Легко видеть, что это будут числа 6 и -1. Тогда исходное уравнение будет иметь корни:

x= 6/√3;  x-1/√3.

В знаменателе уберем иррациональность. Получим:

x= 2√3;  x-√3/3.

Ответ: 2√3; -√3/3.

Рассмотренный метод очень эффективен при решении задач, он позволяет устно решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений, а не тратить время на вычисление дискриминанта. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.


2.3. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение. Согласно теореме Виета

1.  Если а + b + с = 0 (т. е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = .

Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + * x + = 0.

Согласно теореме Виета

x1 + x2 = - ,

x1 x2 = 1* .

2. Если а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x1 + x2 = - а + = -1 – c/a,

x1 x2 = - 1* ( - ),

т.е. х1 = -1 и х2 = - .2

Дано уравнение: 345х2 – 137х – 208 = 0. Решим данное уравнение, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Так как а + b + с = 0 , (345 – 137 – 208 = 0), то

х1 = 1, х2 = . = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

Решим уравнение 2 – 6х + 4 = 0 также, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Так как а + b + с = 0, 2 – 6 + 4 = 0, то

х1 = 1; х2 =  = 4/2 = 2

Ответ: 1; 2. 

 Используя это свойство, решим уравнение 15х2 – 8х – 7 =0.

Так как a + b + c=0, 15 – 8 - 7 =0, то

х1 = 1; х2 = = -7/15

Ответ: 1; -7/15.

Решим уравнение 2x2 + 3x + 1 = 0 также, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Так как 3 = 2 + 1, (b = a + c), то

x1 = -1 x2 = (-c/a) = -1/2.

Ответ: -1; -1/2.



1 https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратное_уравнение.

2 https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратное_уравнение.

Общая информация

Номер материала: ДБ-109531

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.