Определение производной и алгоритм отыскания произвдной.

• 1 слайд

  Производная
  

• 2 слайд

  Историческая справка
  

• 3 слайд

  Тайны планетных орбит.
  Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси.
  А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось.
  Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.
  
  

• 4 слайд

  В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному.
  В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное.
  Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.
  
  

• 5 слайд

  Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день.
  Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений.
  В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному.
  Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.
  
  

• 6 слайд

  Повторение
  

• 7 слайд

  Определение 1
  Окрестностью точки называется интервал
  где δ – радиус окрестности.
  
  Определение 2
  Функция называется бесконечно малой при ,если для любого ε > 0 существует проколотая окрестность точки а, на которой выполняется неравенство
  Определение 3
  Число b называется пределом функции при , если , где - бесконечно малая функция при
  

• 8 слайд

  Тема урока
  Понятие производной функции в точке
  

• 9 слайд

  Итак, идём по стопам Ньютона и Лейбница!
  Рассмотрим график функции вблизи точки М(1;1),
  изображённый в разных масштабах.
  

• 10 слайд

  Как изменилась конфигурация графика?
  

• 11 слайд

  Определите радиус окрестности точки х = 1
  Как изменилась конфигурация графика?
  

• 12 слайд

  Существуют ли другие функции, графики которых обладают таким же свойством?
  

• 13 слайд

• 14 слайд

• 15 слайд

  Основные выводы
  1. Чем крупнее масштаб, тем меньше график функции будет отличаться от некоторой прямой, проходящей через точку М(1;1).
  2. То же самое будет происходить с графиком функции вблизи любой другой точки.
  3. Этим свойством обладают и многие другие кривые: окружность, гипербола, синусоида и т. д.
  Такое свойство функций называют «линейность в малом»
  

• 16 слайд

  Cвойство «линейности в малом».
  Выразим это свойство на языке формул.
  Как перевести на математический язык слова «увеличить масштаб»?
  Радиус окрестности точки x0 уменьшается.
  х
  х0
  

• 17 слайд

  х
  х0
  Изменим x0 на величину ∆x.
  ∆x - называется приращением аргумента.
  x0 + ∆x
  x0 - ∆x
  x – новое значение аргумента
  

• 18 слайд

  На какую величину изменится значение функции при переходе от точки к точке ?
  x
  y
  0
  х0
  M
  х0 + ∆х
  ?
  

• 19 слайд

  Величина y(x) – y(x0) называется приращением функции в точке x0 и обозначается ∆y(x0) .
  

• 20 слайд

  Таким образом, чтобы вычислить приращение функции f(x) при переходе от точки x0 к точке x = x0 + Δx , нужно:
  1. найти значение функции f(x0);
  2. найти значение функции f(x0 + Δx)
  3. найти разность f(x0 + Δx) – f(x0)
  

• 21 слайд

  Почему график функции y = x2 «выпрямляется», если мы увеличиваем масштаб?
  

• 22 слайд

  Найдите приращение функции y = x2 в точке x0 = 1
  Как изменяется слагаемое (∆х)2 при приближении к точке х = 1?
  (∆х)2 стремится к нулю быстрее, чем ∆х .
  Следовательно, при малых значениях ∆х величиной (∆х)2 можно пренебречь, следовательно
  

• 23 слайд

  т.к.
  С другой стороны
  Таким образом,
  

• 24 слайд

  Чем меньше ∆x, тем теснее в точке М(1;1) парабола примыкает к прямой y = 2x – 1.
  Или,
  парабола касается прямой y = 2x – 1 в точке М.
  В этом и заключается причина «выпрямления» графика функции y = x2 при увеличении масштаба.
  

• 25 слайд

  Рассмотрим приращения нескольких функций и выясним, есть ли закономерности в их структуре.
  

• 26 слайд

  Найдите приращение функции в точке :
  

• 27 слайд

  Заметим, что приращения рассмотренных нами функций можно представить в виде суммы двух слагаемых.
  

• 28 слайд

• 29 слайд

  Определение
  Величина α пренебрежимо мала по сравнению
  с ∆х, если
  

• 30 слайд

• 31 слайд

  Определение
  Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x0 , если её приращение в этой точке можно представить в виде где α – пренебрежимо мала по сравнению с ∆х, А – некоторое действительное число.
  

• 32 слайд

  Что такое коэффициент А?
  

• 33 слайд

  Значит,
  где - б. м. ф. при
  по определению предела функции в точке.
  Выразим из равенства коэффициент А
  

• 34 слайд

  Определение
  Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в точке x0 к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
  Операция отыскания производной функции называется дифференцированием.
  

• 35 слайд

  Рассмотрим пример из физики, который также приводит к понятию производной.
  

• 36 слайд

  Пусть тело движется по закону
  Надо найти скорость движения на промежутке времени
  Если
  то
  

• 37 слайд

  Используя определение, найдите производные функций в точке :
  

• 38 слайд

  Алгоритм отыскания производной
  стр. 183 учебник
  
  
  п.27, №12,13,15.
  

• 39 слайд

  Чтобы найти производную функции в точке, надо:
  найти приращение функции в точке ;
  найти отношение приращения функции к приращению аргумента;
  вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
  

• 40 слайд

  Найдите производные следующих функций в точке :
  

• 41 слайд

  Что узнали на уроке?
  1) Величина называется приращением функции в точке и обозначается
  2) Функция называется дифференцируемой в точке если её приращение в этой точке можно представить в виде где
  α – пренебрежимо мала по сравнению с ∆х.
  3) Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента при условии, что
  приращение аргумента стремиться к нулю.
  4) Чтобы найти производную функции, надо:
  найти приращение функции в точке;
  найти отношение приращения функции к приращению аргумента;
  вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю.