Организация и управление самостоятельной учебной деятельностью по математике учащихся 9 класса на основе использования дистанционных форм коммуникаци

Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №49 г. Орска» имени «60-летия победы советского народа в Великой отечественной войне 1941 - 1945гг.»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Методика обучения математике, направленная на обеспечение управления самостоятельной учебной  деятельностью учащихся 9 класса в контексте использования   дистанционных форм коммуникации

Составитель:

Абрамова Анастасия Алексеевна,

учитель математики

Орск

2021

Решение проблемы развития самостоятельной учебной деятельности учащихся при обучении математике в контексте компетентностного подхода представляется возможным посредством организации практических работ.

Под практической работой понимается познавательная деятельность учащихся, включающая элементы учебного исследования, и основанная на выполнении следующих учебных заданий:

- предусматриваемых самостоятельное выявление учащимися новых знаний и способов деятельности;

- направленных на достижение дидактических целей обучения;

- выполнение которых представляет собой относительно завершенный исследовательский цикл: наблюдение – гипотеза – проверка гипотезы;

- решаемых конструктивными методами.

Логико-дидактический анализ школьных учебников по математике показывает, что самостоятельную учебную деятельность посредством практических работ целесообразно организовывать при:

- выявлении существенных свойств математических понятий и отношений между ними;

- выявлении зависимостей и закономерностей между математическими объектами;

- изучении факта, отраженного в формулировке теоремы, в ее доказательстве;

- обобщении теоремы;

- составлении обратной теоремы и ее доказательстве;

- выявлении частных случаев некоторого факта в математике;

- обобщении и теоретическом обосновании различных прикладных вопросов;

- классификации математических объектов, отношений между ними, основных фактов изучаемого раздела;

- решении конструктивных задач различными способами;

- моделировании геометрических фигур и задачных ситуаций;

- составлении новых задач, вытекающих из решения данных;

- применении теоретических знаний к решению практических задач и т.д.

Основными требованиями, положенными в основу разработки комплекса заданий для практических работ по математике являются:

- постановка вопроса должна быть такой, чтобы ответ на него предполагал проведение исследования;

- задания должны предлагать использование различных методов и способов решения;

- в заданиях должны отсутствовать прямые указания на использование известных теоретических фактов;

- задания должны обеспечивать формирование компетенций учащихся в самостоятельной учебной деятельности;

- задания должны обеспечивать организацию полноценной самостоятельной учебной деятельности учащихся с учетом возрастных и индивидуальных особенностей учащихся.

Выделяют несколько типов практических заданий, направленных на развитие самостоятельной учебной деятельности учащихся по математике, и являющихся основой составленных комплексов заданий.

1. Комплекс заданий, направленных на формирование понятий:

- задания на распознавание;

- задания на подведение под определение понятия;

- задания на классификацию понятий;

- задания на определение свойств.

Процесс выполнения этих заданий способствует:

- усвоению определения понятия, терминологии и символики, созданию верного соотношения между внутренним содержанием понятия и его внешним выражением;

- выработке верного представления об объеме понятия;

- осознанному применению понятия в простейших, достаточно характерных ситуациях;

- включению понятия в различные связи и логические отношения с другими понятиями;

- формированию умения применять понятия в нестандартной ситуации.

2. Комплекс заданий по математике, направленных на выведение умозаключений, формулирование  и  усвоение утверждений:

- задания на нахождение зависимости или закономерности изменения какой-либо величины;

- задания на формулирование следствий из заданных условий;

- задания на обобщение и конкретизацию;

- задания на нахождение избыточных, недостающих и противоречивых данных в задаче;

- задания на нахождение закономерности в построении геометрических фигур;

- задания на исследование изменения формы, размещения, размеров геометрических фигур.

3. Комплекс заданий по математике, направленных на выдвижение гипотезы решения:

- задания на нахождение различных методов, способов решения задачи и выбор более рационального из них;

- задания на составление новых задач;

- задания на нахождение дополнительных элементов, необходимых для решения задачи;

- экстремальные задания (связанные  с понятиями наибольшего, наименьшего, в том числе с понятием экстремума).

Решая задачи последнего типа, учащиеся видят, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую и эффективную их применяемость к решению практических задач.

4. Комплекс заданий по математике, активизирующих умственную деятельность:

- задания на логическое конструирование;

- задания на обнаружение ошибок.

5. Комплекс заданий по математике, направленных на овладение общим подходом решения конкретных задач:

- задания на выявление общего подхода (алгоритма) решения задач;

- задания на овладение действиями, являющимися компонентами общего подхода решения задач.

6. Комплекс заданий по геометрии, выполняемых  с помощью компьютера:

- задания  на  исследование  преобразований  плоскости;

- задания, расширяющие навыки построения фигур;

- задания, «визуализирующие» теоремы геометрии, прикладные вопросы;

- задания по готовым чертежам;

- проведение компьютерного эксперимента;

- задания по моделям геометрических фигур, их разверткам.

Использование компьютерных технологий при выполнении практических работ по геометрии в большей степени способствует формированию у школьников геометрической интуиции, конструктивных умений, пространственных представлений.

7. Комплекс заданий по геометрии, выполняемых с помощью тактильных действий.

В этот комплекс включают задания, условия которых задаются конкретными техническими деталями, различными предметами или специально для этого изготовленными моделями, чертежами и т.п., для выработки у учащихся умений и навыков применения полученных математических знаний в практических ситуациях.

Выполнение заданий данного типа предполагает:

- деятельность учащихся, представленную предметными операциями (измерения, вычисления, разрезание, разделение, раскраска, склеивание, построение чертежа, технические умения учащихся);

- использование в процессе решения органов чувств и особенно двигательного аппарата рук;

- наличие раздаточного материала (шаблоны, модели, развертки геометрических тел), измерительных приборов, чертежных инструментов, лабораторного оборудования;

- вычислительную обработку результатов измерений с помощью необходимых формул и сравнение результатов измерений и вычислений;

- применение таблиц, справочной литературы, включая учебники, специальные описания или инструкции.

При составлении комплекса заданий для самостоятельного выполнения необходимо учитывать следующие особенности:

- задания должны иметь точные указания по их выполнению;

- комплекс заданий должен соответствовать учебным возможностям учащихся;

- степень сложности заданий должна удовлетворять принципу постепенного перехода с одного уровня самостоятельности на другой;

- сведение к минимуму шаблонности выполнения заданий;

- задания должны строиться на основе дифференцированного подхода к учащимся;

- содержание работы, форма ее выполнения должны вызывать интерес у

учащихся.

Представленные комплексы предполагают самостоятельное выполнение заданий учащимися в условиях дистанционной коммуникации с учителем. Учащиеся получают документ с заданиями в формате Microsoft Word и выполняют их, при необходимости консультируясь с учителем. Результаты выполненных заданий могут быть оформлены как в электронном, так и в рукописном варианте. После окончания срока выполнения работы учащиеся отправляют документ с выполненными заданиями учителю. Результаты проделанной работы обсуждаются на общей конференции учителя с учащимися. 

Комплекс заданий по алгебре, направленных на формирование      понятий арифметической и геометрической прогрессий (КЗ1)

Цель: Изучить понятия арифметической и геометрической прогрессий и их характеристические свойства.

Задание на подведение под определение  понятия:

1. Заполните таблицу 1:

Таблица 1 – Задание 1 на подведение под определение арифметической прогрессии  из КЗ1

№	Примеры числовых последовательностей (
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1; 4; 7; 10;…
2	30,5; 25; 19,5; 14;…
3	; …
4

По какому принципу образованы данные в таблице числовые последовательности?_________________________________________________________.

Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями и обозначаются:  .

Попробуйте сформулировать определение арифметической прогрессии: ________________________________________________________________.

Найдите в учебнике определение арифметической прогрессии и сравните его с данным Вами определением.

Как называется число d?__________________________________________.

Запишите рекуррентное задание арифметической прогрессии: ____________________________________________________________________.

Задание на распознавание:

2. Определите, какие из данных числовых последовательностей являются арифметическими прогрессиями:

а) 15,3; 14; 12,7; 11,4;…;              д) ;

б) 11; 11; 11; 11;…;                       е) ;

в)                             ж) ;

г) ;                             з)

Задания на определение свойств:

3. Занесите выбранные Вами в предыдущем задании числовые последовательности в таблицу 2и заполните её:

Таблица 2 – Задание 3 на определение свойств монотонности арифметической прогрессии из КЗ1

№	Арифметическая прогрессия	Рекуррентное задание прогрессии (если не задано)	Значение разности прогрессии d	Прогрессия является возрастающей () последовательностью или убывающей ()
1	2	3	4	5
1
2
…

Существует ли закономерность между значением разности прогрессии и монотонностью числовой последовательности? Если да, то какая?  ___________________________________________________________________.

4. Заполните таблицу 3:

Таблица 3 – Задание 4 на определение характеристического  свойства арифметической прогрессии из КЗ1

№	Арифметическая прогрессия
1	2	3	4	5	6	7	8
1
2
3

Существует ли связь между членом прогрессии и средним арифметическим предшествующего и последующего членов? Если да, то какая? ___________________________________________________________________.

Найдите в учебнике характеристическое свойство арифметической прогрессии и сравните с ним свой вывод.

Запишите формулу характеристического свойства арифметической прогрессии:_____________________________________________________________.

Творческое задание:

5. Придумайте свой пример арифметической прогрессии. Докажите, что данная числовая последовательность является арифметической прогрессией с помощью характеристического свойства. Запишите её рекуррентное задание. Укажите разность арифметической прогрессии:___________________________.                

Задание на подведение под определение  понятия:

6. Заполните таблицу 4:

Таблица  4 – Задание 6 на подведение под определение геометрической прогрессии из КЗ1

№	Примеры числовых последовательностей (
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2; 4; 8; 16;…
2	1,2; - 3,6; 10,8; -32,4;…
3	…
4

По какому принципу образованы данные в таблице числовые последовательности?_________________________________________________________.

Такие последовательности называются геометрическими прогрессиями и обозначаются:  .

Попробуйте сформулировать определение геометрической прогрессии: ________________________________________________________________.

Найдите в учебнике определение геометрической прогрессии и сравните его с данным Вами определением.

Как называется число q?__________________________________________.

Запишите рекуррентное задание геометрической прогрессии: ____________________________________________________________________.

Задание на распознавание:

7. Определите, какие из данных числовых последовательностей являются геометрическими прогрессиями:

а) 0,8; 0,8; 0,8; 0,8;…;                         ж) …;

б);…;          з) ;            

в)                                     и) 80; 20; 5; ;…;

г) 50; 25; 12,5; 6,25;…;                       к) …;

д) ;                         л) ;….

Задания на определение свойств:

8. Занесите выбранные Вами в предыдущем задании числовые последовательности в таблицу 5 и заполните её:

Таблица 5 – Задание 8 на определение свойств монотонности геометрической прогрессии из КЗ1

№	Геометрическая прогрессия	Рекуррентное задание прогрессии	Значение знаменателя прогрессии q	Прогрессия является возрастающей () последовательностью или убывающей ()
1	2	3	4	5
1
2
…

Существует ли закономерность между значением знаменателя прогрессии и монотонностью числовой последовательности? Если да, то какая? ___________________________________________________________________.

9. Заполните таблицу 6:

Таблица 6 – Задание 9 на определение характеристического  свойства геометрической прогрессии из КЗ1

№	Геометрическая прогрессия
1	2	3	4	5	6	7	8
1	1; 2; 4; 8; 16;…
2
3

Существует ли связь между квадратом члена прогрессии и произведением предшествующего и последующего членов? Если да, то какая? ___________________________________________________________________.

Найдите в учебнике характеристическое свойство геометрической прогрессии и сравните с ним свой вывод.

Запишите формулу характеристического свойства геометрической прогрессии:_____________________________________________________________.

Творческое задание:

10. Придумайте свой пример геометрической прогрессии. Докажите, что данная числовая последовательность является геометрической прогрессией с помощью характеристического свойства. Запишите её рекуррентное задание. Укажите знаменатель геометрической прогрессии:________________________.

Задания на усвоение понятий:

I уровень:

11. Вставьте пропущенные слова в формулировку определения арифметической прогрессии:

Арифметическая прогрессия – это ___________, каждый член которой, начиная с (со)__________ получается из ____________ путем _____________ его ____________ число(ом).

12. Среди предлагаемых формул выберите те, которые характеризуют а) геометрическую прогрессию; б) арифметическую прогрессию:

1)   ;                         3)  ;

2)   ;                          4) .

Ответ: а)_____; б)______.

13.Среди некоторых последовательностей, заданных рекуррентно, найдите арифметические и геометрические прогрессии; укажите разность арифметической прогрессии и знаменатель геометрической прогрессии:

а) ;              в) ;

б) ;           г) .

14. Найдите среднее арифметическое  и среднее геометрическое чисел 3 и 12.

15. Проверьте, обладают ли члены следующих числовых последовательностей характеристическими свойствами арифметической и геометрической прогрессий:

а)  ,  1 ,  2,  4, …

б)  3,  13,  23,  33, …

в)  3,  30,  300,  3000, …

II уровень:

16. Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

17. Найдите пятый и шестой члены прогрессий:

а) 2,4;  3;   3,6;   4,2; …

б) 48;   72;  108;  162; …

18. Зная разность d и пятый член арифметической прогрессии, найдите первые семь членов этой прогрессии:  .

19. Найдите первые пять членов геометрической прогрессии, если известны ее знаменатель и третий член:

III уровень:

20. Докажите с помощью характеристического свойства, что последовательность является

а) арифметической прогрессией: ;

б) геометрической прогрессией: .

21. Дана конечная арифметическая прогрессия .

Является ли арифметической прогрессией последовательность

а) ;

б) .

В случае утвердительного ответа укажите ее разность.

22. Величины углов выпуклого четырехугольника образуют

а) арифметическую прогрессию с разностью 42º;

б)  геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2.

Найдите углы этого четырехугольника.

Комплекс заданий по алгебре на овладение общим подходом решения комбинаторных задач (КЗ2)

Цель: выявить алгоритм решения комбинаторных задач и отработать навыки его применения к решению задач.

Задания на овладение действиями, являющимися компонентами общего подхода решения задач:

1. Запишите формулы основных типов комбинаций в комбинаторике (при возникновении затруднений воспользуйтесь учебником):

Перестановки:__________________________________________________;

Сочетания:_____________________________________________________;

Размещения:____________________________________________________.

2. Вычислите:

а) ;                     г)

б) ;                   д)

в)                       е) .

3. Для каждой из предложенных задач определите:

а) n и k, где n –количество элементов множества из которого делается выборка,  k – количество элементов выборки;

б) важен ли порядок расположения элементов в выборке (ответ обоснуйте).

1) В спортивной команде 9 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

а) n = ____; k = ____;                   б) порядок ____________, т.к. _________.

2) Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на 6 стульях?

3) В понедельник в пятом классе 5 уроков: музыка, математика, русский язык, литература и история. Сколько различных способов составления расписания на понедельник существует?

4) Пятеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?

5) Сколько различных трёхзначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).

6) Сколько различных двузначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются)

7) Сколько вариантов экзаменационных билетов из двух вопросов можно создать, имея список из 20 вопросов?

8) У лесника 3 собаки: Астра, Вега и Гриф. На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак.

Задания на выявление общего подхода (алгоритма) решения задач:

4. Дайте определения основным типам комбинаций в комбинаторике (при возникновении затруднений воспользуйтесь учебником):

Перестановки – это______________________________________________;

Сочетания – это_________________________________________________;

Размещения – это________________________________________________.

5. Опираясь на определения заполните таблицу 7:

Таблица 7 – Задание 5 на выявление общего подхода решения комбинаторных задач из КЗ2

Название комбинации	Количество элементов из множества n, входящих в комбинацию	Важность порядка расположения элементов в комбинации	Формула
1	2	3	4
	Дано: n Выбираем: k (k<n)
		Порядок не имеет значения

Исходя из данных таблицы определите, по каким признакам можно классифицировать типы комбинаций:____________________________________.

6. Опираясь на выявленные признаки составьте схему, отражающую алгоритм решения комбинаторных задач формульным методом (с помощью формул). Примерная структура схемы представлена на рисунке 1:

Определить количество элементов n множества, из которого

выбирается k элементов (k n)

 

………………………………………………?

 

                 Да                                                                   Нет         

 

……………………………..?                                       

                                                                                      …………                                                              

 

Да                                 Нет

 

     ……….….                      …………...

Рисунок 1 – Примерная структура схемы общего подхода решения комбинаторных задач к заданию 6 из КЗ2

Задания на усвоение общего подхода решения задач:

I уровень:

7. Рассмотрите пример решения задачи:

Пример. В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя и казначея. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

1) Нам необходимо выбрать трех человек из девяти, значит: n=9, k=3.

2) Важно ли кто из выбранных людей займет место председателя? его заместителя? казначея? Да. Значит, речь идет или о перестановке или о размещении.

3) Выбираем ли мы все элементы n из множества? Нет. Значит, наша выборка – размещение и количество таких выборок:

Ответ: 504 способа.

          8. Самостоятельно решите предложенные задачи по аналогии с примером:

1) Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.

2) Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5,7,8,но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруги.

3) В хоровом кружке занимаются 9 человек. Необходимо выбрать двух солистов. Сколькими способами это можно сделать?

4) На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?

5) Имеется 6 видов овощей. Решено готовить салаты из трёх видов овощей. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить?

6) Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали?

II уровень:

7) При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего было рукопожатий, если встретились 6 друзей?

8) В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно

рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

         9) Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?

III уровень:

10) Сколько четных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).

11) Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой – 6 мужчинам, по третьей – 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Комплекс заданий по геометрии, направленных на формулирование и усвоение утверждений по теме «Длина окружности и площадь круга» (КЗ3)

Цель: вывести формулы длины окружности, длины дуги окружности, площади круга и площади кругового сектора.

Задание на нахождение закономерности изменения величины:

1. Проведите эксперимент « Нахождение длины окружности с помощью нити».

Цель эксперимента: Найти отношение длины окружности к ее диаметру.

Оборудование: 5-6 предметов с круглым основанием (ваза, стаканы, чашки разных размеров и т.п.; нить; листы бумаги; ножницы; карандаш; линейка; калькулятор.

Ход работы:

1) Возьмите один из подготовленных Вами предметов, например, вазу и нить. Охватите с помощью нити круглое основание предмета (горлышко или дно вазы). Длина нити, получившейся в результате одного охвата, и будет являться длиной окружности, находящейся в основании предмета. Ножницами отрежьте получившийся кусочек нити и измерьте его с помощью линейки. Результаты измерения занесите в столбец 2 таблицы 1.

2) Повторите опыт, используя другие предметы. Результаты измерений занесите в столбец 2 таблицы 1.

3) Теперь возьмите один из предметов, поставьте его на лист бумаги круглым основанием вниз и обведите карандашом. Вырежьте бумажный круг и согните пополам. Ребро получившегося полукруга будет являться диаметром окружности. С помощью линейки измерьте длину диаметра. Результаты измерения занесите в столбец 3 таблицы 1.

4)  Повторите опыт, используя другие предметы. Результаты измерений занесите в столбец 3 таблицы 1.

5) Вычислите с помощью калькулятора отношение длины окружности (столбец 2) к диаметру (столбец 3). Результаты вычислений занесите в столбец 4 таблицы 8.

Таблица 8 – Результаты измерений и вычислений из задания 1 на нахождение закономерности изменения величины КЗ3

№ измерения	Длина окружности (длина нити)          C, см	Длина диаметра окружности           D, см	Отношение длины окружности к диаметру
1	2	3	4
1
2
…

6) Сравните значения, получившиеся в столбце 4. Найдите среднее арифметическое этих значений.

7) Сделайте вывод по проведенному эксперименту:___________________.

В результате проведенного эксперимента Вы, скорее всего, заметили, что отношения длин разных окружностей к их диаметрам приближены к одному и тому же числу. А именно, к числу приблизительно равному 3, 14159. Это число принято обозначать греческой буквой π («пи»). Итак, отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей.

Задания на формулирование следствий из заданных условий:

2. Заполните пропуски:

 где

C – это …;

D – это …;

R – это ….

 3. Решите задачу по готовому чертежу (рисунок 2), заполнив пропуски:

Рисунок 2 – Чертеж к заданию 3 на формулирование следствий из заданных условий из КЗ3

Решение:

.                                          

Задание на обобщение:

4. На основе задачи из задания 2 выведите общую формулу длины дуги окружности l градусной меры α.

Сверьте полученную Вами формулу с формулой длины дуги окружности из учебника.

Задание на формулирование следствий из заданных условий:

5. Выведите формулу площади круга, заполнив пропуски:

Дано:  правильный n–угольник;  окружность, описанная около .

Найти: S – площадь круга, ограниченного .

Решение:

1) Разобьем  на  равных треугольников (рисунок 3):

Рисунок 3 – Чертеж 1 к заданию 5 на формулирование следствий из заданных условий из КЗ3

Пусть

=

2) Пусть  (n стремится к бесконечности), т. е. число сторон многоугольника неограниченно увеличивается (рисунок 4):

Рисунок 4 – Чертеж 2 к заданию 5 на формулирование следствий из заданных условий из КЗ3

Тогда  .

Сверьте полученную Вами формулу с формулой площади круга из учебника.

Задание на конкретизацию:

6. Выведите формулу площади кругового сектора, ограниченного дугой градусной меры α (по аналогии с выводом формулы длины дуги окружности).

Сверьте полученную Вами формулу с формулой площади кругового сектора из учебника.

Задание на нахождение закономерности или зависимости изменения какой-либо величины:

7. Определите изменится ли конкретная величина при заданных условиях. Ели да, то как?

Если радиус окружности:

а) увеличить в 4 раза, то длина окружности _______________, площадь круга________________;

б) уменьшить в 3 раза, то длина окружности _______________, площадь круга________________;

в) увеличить в  раз, то длина окружности _______________, площадь круга________________;

г) уменьшить в  раз, то длина окружности _______________, площадь круга________________.

Если длину окружности:

а) увеличить в  раз, то радиус окружности _______________, площадь круга _______________;

б) уменьшить в  раз, то радиус окружности _______________, площадь круга _______________.

Если градусную меру дуги окружности:

а) увеличить в  раза, то длина дуги окружности ______________, площадь круга _______________, площадь кругового сектора_______________;

б) уменьшить в  раз, то длина дуги окружности ______________, площадь круга _______________, площадь кругового сектора_______________.

Задания на усвоение утверждений:

I уровень

8. Заполните таблицу 9, пользуясь значением :

Таблица 9 – Задание 8 на усвоение утверждений из КЗ3

	4	3							0,7			54,3			101,5
			82		18π		6,28
				9						49π				6,25

9. Овца привязана цепью длиной 9,6 м. Какая площадь доступна ей?

10. Выразите из формулы длины окружности π («пи»).

11. Найдите длину окружности, если диаметр окружности равен 0,72.

12. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна 180°. Чему равна площадь кругового сектора, ограниченного этой дугой?

13. Вычислите длину дуги окружности, если её определяет центральный угол, равный 45°, а радиус окружности равен 2 см. Чему равна площадь кругового сектора, ограниченного этой дугой?

II уровень

14. Решите задачу по готовому чертежу (рисунок 5):

Рисунок 5 – Чертеж к заданию 14 на усвоение утверждений из КЗ3

OKL = 30°, KL =  м.

Найдите длину окружности.

15. Решите задачу по готовому чертежу (рисунок 6):

Рисунок 6 – Чертеж к заданию 15 на усвоение утверждений из КЗ3

ΔABC — равносторонний, DO =  дм.

Вычислите площадь круга.

16. Около прямоугольного треугольника, катеты которого равны 9 м и 12 м, описан круг. Вычислите длину окружности и площадь круга.

17. Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 6 см. В треугольник вписан круг. Вычислите площадь вписанного круга.

III уровень

18. Решите задачу по готовому чертежу (рисунок 7):

Рисунок 7 – Чертеж к заданию 18 на усвоение утверждений из КЗ3

Вычислите площадь сектора, площадь треугольника EOF и площадь сегмента, если радиус круга равен 9 см и центральный угол равен 150°.

19. Вычислите площадь вписанного в ромб круга, если сторона ромба равна 11 м, а площадь ромба равна 99 .

20. В круге проведена хорда AB = 8 м, которая находится на расстоянии 3 м от центра круга. Найдите площадь круга.

21. ABCD — квадрат, BC= 20 см, на сторонах квадрата AB и AD построены полукруги (рисунок 8). Вычислите площадь полученной фигуры.

Рисунок 8 – Иллюстрация к заданию 21 на усвоение утверждений из КЗ3

Комплекс заданий по геометрии, направленных на формирование понятий, относящихся к разделу «Начальные сведения из стереометрии» (КЗ4)

Цель: изучить основные понятия стереометрии.

1. Посмотрите видеоролики, перейдя по ссылкам:

Предмет стереометрии. Многогранники                                                                              (https://www.youtube.com/watch?v=oq4AP54mOyI&list=PLHYZenZg0FRlb8bHnEwHuosjBkBjtLtb5&index=56);

Объекты в стереометрии. Изображение пространственных объектов

(https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/effektivnye-kursy/ob-ekty-v-stereometrii-chast-1-izobrazhenie-prostranstvennyh-ob-ektov-bazovyy-uroven).

2. Из предложенных утверждений выберите те, которые относятся к стереометрии:

а) изучает формы, размеры и взаимное расположение фигур;

б) основными фигурами являются, точка, прямая и плоскость;

в) изучает свойства круга, параллелограмма;

г) изучает свойства геометрических фигур на плоскости;

д) вычисляет площади и объемы;

е) основными фигурами является точка и прямая;

ж) рассматривает геометрические тела;

з) вычисляет площади;

и) изучает свойства куба, шара, цилиндра;

Ответ:____________.

Дайте определение стереометрии:__________________________________.

3. Из предложенного списка выберите верное утверждение о поверхности геометрического тела:

а) является верхней границей тела;

б) является границей (оболочкой) тела, отделяющей его от остального пространства;

г) является замкнутой областью пространства.

Ответ:____________.

4. Исправьте ошибки на чертеже (рисунок 9):

Рисунок 9 – Задание 4 на исправление ошибок на чертеже из КЗ4

5. Укажите верные высказывания об изображении пространственных объектов на плоскости:

1) параллельные  отрезки изображаются на чертежах параллельными отрезками;

2) перпендикулярные отрезки изображаются на чертежах перпендикулярными отрезками;

3) прямоугольные треугольники на чертежах изображаются произвольными треугольниками;

4) невидимые части геометрического тела изображаются штриховой линией;

5) параллельность на чертежах не сохраняется;

6) прямоугольные треугольники на чертежах изображаются прямоугольными треугольниками;

7) трапеция изображается произвольной трапецией, с сохранением параллельности оснований;

8) квадрат на чертеже изображается произвольным прямоугольником;

9) окружность на чертеже изображается эллипсом;

10) противоположные стороны прямоугольника изображаются параллельными равными отрезками;

11) квадрат на чертеже изображается параллелограммом.

Ответ:____________.

6. Назовите сечения куба  и пирамиды  (рисунок 10):

Рисунок 10 – Иллюстрация к заданию 6 на распознавание сечений многогранников из КЗ4

Ответ:___________________.

7. Определите, какие из представленных геометрический тел являются многогранниками (рисунок 11):

Рисунок 11 – Иллюстрация к заданию 7 на распознавание многогранников из КЗ4

Ответ:______________.

Какие фигуры составляют поверхности выбранных Вами многогранников?________________________________________________________________.

Дайте определение многогранника:________________________________.

8. Определите, какие из представленных многогранников являются выпуклыми, а какие невыпуклыми (рисунок 12):

Рисунок 12 – Иллюстрация к заданию 8 на распознавание выпуклых и невыпуклых многогранников из КЗ4

Ответ:______________.

Чем выпуклый многогранник отличается от невыпуклого?_____________.

9. Определите грани, ребра и вершины многогранников, изображенных на рисунке 13. Проведите диагонали многогранников и назовите их.

Рисунок 13 – Иллюстрация к заданию 9 на определение элементов многогранников из КЗ4

Заполните пропуски:

… и … – грани многогранника ;

………  ребра;

……… вершины;

………. – диагонали;

… … – грани многогранника ;

……… – ребра;

………  вершины.

Дайте определение диагонали многогранника:_______________________.

10. Посмотрите видеоролики, перейдя по ссылкам:

Призма  (https://www.youtube.com/watch?v=WJ71Vrs1U-M);

Наклонная призма (https://www.youtube.com/watch?v=5xEzfonG5Dw).

11. Из предложенного списка выберите верные утверждения:

а) примером параллельных плоскостей служат пол и потолок комнаты;

б) прямые, лежащие в параллельных плоскостях, являются параллельными;

в) прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна другой прямой, лежащей в этой плоскости;

г) параллельные плоскости не имеют общих точек;

д) прямая, проходящая через плоскость, и перпендикулярная хотя бы одной прямой из этой плоскости, перпендикулярна всей плоскости;

е) любые две стены комнаты являются параллельными плоскостями;

ж) прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна ей, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в данной плоскости;

з) параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Ответ:_____________.

12. Определите, какие из представленных на рисунке 14 многогранников являются призмами.

Рисунок 14 – Иллюстрация к заданию 12 на распознавание призмы из  КЗ4

Ответ:_______________.

Обоснуйте свой выбор. В чем схожесть выбранных Вами многогранников? ________________________________________________________________.

13. Из перечисленных определений, выберите верное определение призмы:

а) Многогранник, две грани которого, называемые основаниями, лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани являются четырехугольниками, называется призмой;

б) Многогранник, две грани которого, называемые основаниями, являются равными многоугольниками, а остальные грани – четырехугольниками, называется призмой;

в) Многогранник, две грани которого, называемые основаниями, являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, называется призмой.

Ответ:__________.

Сравните выбранное Вами определение с определением  угольной призмы, данным в учебнике. Проверьте, все ли выбранные Вами в задании 12 многогранники являются призмами.

14. Определите, на какие классы можно разбить данные призмы (рисунок 15):

Рисунок 15 – Иллюстрация к заданию 14 на классификацию призм из КЗ4

Ответ:_________________________________________________________.

Заполните схему «Классификация призм» (рисунок 16):

Рисунок 16 – Схема «Классификация призм» к заданию 14 из КЗ4

15. Определите по рисунку 17 основания призм, боковые грани и какими многоугольниками они являются, боковые ребра и высоты.

Рисунок 17 – Иллюстрация к заданию 15 на определение элементов призмы из КЗ4

Заполните пропуски:

… и … – основания призмы , являющиеся …;

……… – боковые грани, являющиеся …;

………  боковые ребра;

……… высота;

… и … – основания призмы , являющиеся …;

……… – боковые грани, являющиеся …;

………  боковые ребра;

……… высота.

16. Посмотрите видеоролик, перейдя по ссылке

Параллелепипед (https://www.youtube.com/watch?v=A5fqM2eJdaw).

17. Среди представленных на рисунке 18 многогранников определите параллелепипеды.

Рисунок 18 – Иллюстрация к заданию 17 на распознавание параллелепипеда из КЗ4

Ответ:_______________.

В чем отличие выбранных Вами многогранников от других многогранников, изображенных на рисунке? ________________________________________.

Определите, изображены ли на рисунке  прямоугольные параллелепипеды. Если да, то какие?_________________________________________________.

18. Определите какие из фигур, представленных на рисунке 19, являются развертками прямоугольного параллелепипеда.

Рисунок 19 – Иллюстрация к заданию 18 из КЗ4

19. Выберите из представленного списка верные утверждения:

1) Любая четырехугольная призма является параллелепипедом;

2) Любой прямой параллелепипед является прямоугольным;

3) Любой прямоугольный параллелепипед является прямым;

4) Любой параллелепипед является четырехугольной призмой;

5) Боковыми гранями прямого параллелепипеда являются прямоугольники;

6) Любой параллелепипед, все ребра которого равны между собой, является кубом;

7) В основании любого прямого параллелепипеда лежит прямоугольник;

8) В основании параллелепипеда лежит параллелограмм;

9) Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит только из прямоугольников.

Ответ:_______________.

20. Посмотрите видеоролик, перейдя по ссылке:

Пирамида (https://www.youtube.com/watch?v=ifmSOcRJW28).

21. Определите, какие из геометрических тел, изображенных на рисунке 20 являются пирамидами.

 

Рисунок 20 – Иллюстрация к заданию 21 на распознавание пирамиды из КЗ4

Ответ:_____________.

Изображены ли на рисунке тетраэдры? Если да, то назовите их:________.

20. Определите элементы пирамид, изображенных на рисунке 21, заполнив пропуски.

Рисунок 21 – Иллюстрация к заданию 20 на определение элементов пирамиды из КЗ4

…  основание пирамиды , являющееся …;

… боковые грани, являющиеся …;

… вершина;

…  боковые ребра;

… высота;

 … пирамида;

 …;

…  основание пирамиды , являющееся …;

… боковые грани, являющиеся …;

… вершина;

…  боковые ребра;

 … .

21. Из предложенного списка выберите верные утверждения:

1) Многогранник, составленный из угольника и -треугольников, имеющих общую вершину, является пирамидой;

2) В основании тетраэдра лежит параллелограмм;

3) Боковыми гранями любой пирамиды являются треугольники;

4) Боковые грани правильной пирамиды являются равносторонними треугольниками;

5) Если отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой, то пирамида является правильной;

6) Поверхность тетраэдра состоит из четырех треугольников;

7) Поверхность правильной -угольной пирамиды составляют правильный -угольник и  равнобедренных треугольников;

8) Пирамида является правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник;

9) Основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий центр основания с вершиной пирамиды является ее высотой.

Ответ:_____________.

22. Посмотрите видеоролик, перейдя по ссылке:

Тела вращения                                            (https://www.youtube.com/watch?v=IWD3VGC2rdU&list=PLHYZenZg0FRlb8bHnEwHuosjBkBjtLtb5&index=57)

 23. Приведите примеры объектов, встречающихся в окружающем мире, которые имеют форму а) цилиндра; б) конуса; в) шара. Определите в результате вращения каких планиметрических фигур образуются эти тела. Заполните таблицу 10.

Таблица 10 – Задание 22 из КЗ4

Тело вращения, его изображение	Образуется в результате вращения…	Объекты, имеющие похожую форму
1	2	3

 24. Определите какие из фигур, представленных на рисунке 22, являются развертками а) конуса, б) цилиндра.

Рисунок 22 – Иллюстрация к заданию 24 из КЗ4

25. На рисунке 23 подпишите обозначенные элементы цилиндра, конуса и шара.

Рисунок 23 – Иллюстрация к заданию 25 на определение элементов тел вращения из КЗ4

26. Из представленного списка выберите верные утверждения:

1) Поверхность, образованная вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, называется цилиндрической поверхностью;

2) Сечением конуса может быть только треугольник;

3) Шар имеет бесконечное множество образующих;

4) Сфера является границей шара;

5) Сечением шара может быть как круг, так и эллипс;

6) Гипотенуза прямоугольного треугольника, вращающегося вокруг своего катета, образует коническую поверхность;

7) Сечением цилиндра могут быть только круг и прямоугольник;

8) Полуокружность, вращающаяся вокруг своего диаметра, образует сферическую поверхность.

Виртуальная практическая работа (ВПР) по теме «Движения»

Цель: исследовать преобразования плоскости. 

Данная практическая работа выполняется в УМК «Живая математика» (ссылка для скачивания: https://infourok.ru/ustanovochniy-fayl-umk-zhivaya-matematika-2696972.html)

Задание на исследование преобразований плоскости:

Выполните задания из таблицы 11 , соответствующие вашему варианту согласно списку класса (если Ваша фамилия тринадцатая в списке, то выполните задания первого варианта и т. д.).

Даны координаты точек:  

 

 

Таблица 11 – Варианты заданий к ВПР «Движения»

№ варианта	Постройте фигуру в ПДСК	Постройте изображение этой фигуры при…
		центральной симметрии относительно …	осевой симметрии относительно …	параллельном переносе на вектор …	повороте вокруг точки … на угол …
1	2	3	4	5	6
1	ABCD	т. G	прямой LE	LE	т. L, 60о
	ABCE	т. L	прямой NG	FL	т. G, 40о
2	ABEL	т. N	прямой KN	NP	т. R, 110о
	AEFL	т. K	прямой MN	GN	т. S, 80о
3	GSTR	т. N	прямой LA	NL	т. B, -60о
	GABS	т. L	прямой PD	NM	т. R, 120о
4	ABGN	т. L	прямой MD	CD	т. P, 30о
	MLNP	т. R	прямой AG	FE	т. A, 45о
5	ALNG	т. N	прямой MR	BD	т. F, 50о
	EKML	т. G	прямой NA	PN	т. D, 55о
6	MNRP	т. A	прямой LA	KF	т. L, 120о
	PNRT	т. A	прямой FS	ML	т. M, 140о
7	ACBG	т. N	прямой SL	RN	т. N, 40о
	AGRS	т. N	прямой PL	TN	т. N, 60о
8	KMPL	т. G	прямой GD	NG	т. А, -50о
	DLFE	т. А	прямой ВN	MP	т. D, 70о
9	KFEL	т. А	прямой EВ	DС	т. В, 65о
	ABGL	т. R	прямой KS	RN	т. N, 80о
10	NTRS	т. L	прямой KА	ML	т. M, 90о
	AKNG	т. R	прямой RВ	SВ	т. R, - 45о
11	BDEL	т. G	прямой KN	GN	т. N, 65о
	AEKL	т. G	прямой MN	DВ	т. В, 85о
12	ADEL	т. N	прямой MR	NP	т. В, 100о
	ABRS	т. L	прямой PE	GL	т. K, 75о

Инструкция:

1) Перейдите по ссылке и скачайте приложение УМК «Живая математика».

2) Откройте приложение и нажмите левой кнопкой мыши на «Открыть программу «Живая математика»».

3) В появившемся окне нажмите на кнопку «Графики», затем – «Задать систему координат».

4) Чтобы отметить точку, выберите кнопку «Точка» в панели управления слева и левой кнопкой мыши отметьте нужную точку на чертеже.

5) Чтобы «назвать» точку, нажмите на нее правой кнопкой мыши и выберите «Переименовать точку». Введите в появившемся окне нужную букву и нажмите «ОК».

6) Чтобы отменить действие, нажмите на правую кнопку мыши и выберите «Отменить».

7) Чтобы построить фигуру:

а) выберите кнопку «Линейка» в панели управления слева;

б) левой кнопкой мыши отметьте первую точку, обладающую нужными координатами, затем – вторую точку.

У Вас должен получиться отрезок. Таким образом, соединяя нужные точки, Вы можете изобразить любую геометрическую фигуру.

Пример фигуры, построенной в УМК «Живая математика» представлен на рисунке 24.

Рисунок 24 – Пример фигуры, построенной в УМК «Живая математика»

8) Чтобы построить изображение заданной фигуры при центральной симметрии относительно точки:

а) в панели управления слева выберите «Стрелка» и нажмите правой кнопкой мыши на точку, относительно которой будете строить образ фигуры, а затем – «Отметить центр». Отмеченная точка мигнет, указывая на то, что она отмечена как центр преобразования. Этот центр будет использоваться, пока не будет отмечен другой центр;

б) левой кнопкой мыши выберите точку построенной фигуры, образ которой необходимо построить;

в) в панели управления сверху выберете «Преобразования», затем – «Повернуть…». Т. к. центральная симметрия является поворотом на , то в появившемся окне (рисунок 25) введите соответствующее значение заданного угла и нажмите кнопку «Повернуть». В результате появится образ выделенной точки.

Рисунок 25 – Окно диалога команды «Повернуть…» в УМК «Живая математика»

г) выполните аналогичные действия для всех точек построенной фигуры, и соедините образы этих точек между собой.

9) После выполнения построений сохраните файл, нажав на кнопку «Файл» и «Сохранить». Каждому файлу дайте «имя», соответствующее заданию, например, «Центральная симметрия ABCD относительно т. G».

10) Для построения нового чертежа нажмите кнопку «Файл» и «Новый чертеж».

11) Чтобы построить изображение заданной фигуры при осевой симметрии относительно прямой:

а) выделите «стрелкой» прямую, относительно которой нужно построить образ фигуры, нажмите на нее правой кнопкой мыши и выберите «Отметить ось отражения». Отмеченный прямолинейный объект мигнет, указывая на то, что он отмечен как ось преобразования. Эта оси будет использоваться, пока не будет отмечена другая ось;

б) левой кнопкой мыши выберите точку построенной фигуры, образ которой необходимо построить;

в) в панели управления сверху выберете «Преобразования», затем – «Отразить». В результате появится образ выделенной точки.

г) выполните аналогичные действия для всех точек построенной фигуры, и соедините образы этих точек между собой.

12) Чтобы построить изображение заданной фигуры при параллельном переносе на вектор:

а) постройте отрезок, определяющий нужный вектор. Выберите «стрелку» и нажмите сначала на точку, задающую начало вектора, затем на точку, задающую его конец. Теперь нажмите на «Преобразования», затем – «Отметить вектор». Между выбранными точками мигнет пунктирная линия, указывая на то, что выбранный отрезок отмечен как вектор переноса. Этот вектор будет использоваться, пока не будет отмечен другой вектор;

б) левой кнопкой мыши выберите точку построенной фигуры, образ которой необходимо построить;

в) в панели управления сверху выберете «Преобразования», затем – «Перенести…» и в открывшемся окне нажмите «Перенос». В результате появится образ выделенной точки.

г) выполните аналогичные действия для всех точек построенной фигуры, и соедините образы этих точек между собой.

13) Чтобы построить изображение заданной фигуры при повороте вокруг точки на заданный угол необходимо выполнить все те же действия, что и при изображении фигуры при центральной симметрии, вокруг точки. Только теперь угол поворота будет равен не , а заданному значению из таблицы 11.

10) После завершения работы, соберите все файлы в одну папку и назовите ее «Отчет по ПР Фамилия».

11) Загрузите папку с отчетом в общую папку «ВПР Движения».