Оригинальные методы решения заданий № 12, 14 части 2 профильного ЕГЭ по математике при нестандартной области допустимых значений

• 1 слайд

  XXVI Региональная научно-практическая конференция учащихся «ТВОРЧЕСТВО ЮНЫХ»
   
  Секция «Математика и экономика»
  Подсекция «Математика»
  Оригинальные методы решения
  заданий № 12, 14 части 2 профильного ЕГЭ по математике
  при нестандартной области допустимых значений
  Подготовил:
  учащийся группы 1ТМП9 ГБПОУ ПТ № 47 им. В.Г. Фёдорова
  А.А. Алиев
  
  Руководитель:
  Преподаватель О.Н. Протасевич
  

• 2 слайд

  Актуальность
  В 2022 году произошло существенное обновление содержания заданий по математике профильного уровня Единого государственного экзамена.
  Изложенные в проекте рекомендации по выполнению заданий № 12 и 14 будут полезны выпускникам общеобразовательных учреждений при подготовке к сдаче профильного уровня ЕГЭ по математике.
  

• 3 слайд

  Цель работы
  Провести анализ, систематизировать подход и выработать алгоритм решения заданий по математике с учётом области допустимых значений.
  

• 4 слайд

  Поставленные задачи
  Провести анализ ОДЗ.
  Систематизировать подход к решению задания в зависимости от типа ОДЗ.
  Рассмотреть возможные способы решения примера №14 варианта 12 «ЕГЭ 2022. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ». И.В. Ященко.
  

• 5 слайд

  Стандартный ход решения
  Составить ОДЗ.
  Найти ОДЗ.
  Решить неравенство/уравнение.
  Выбрать решение с учётом ОДЗ.
  
  

• 6 слайд

  Три случая нетипичной области допустимых значений
  ОДЗ
  1
  2
  3
  ОДЗ представляет выражение, которое, приравнивается к положительному числу
  ОДЗ состоит из одного числа
  ОДЗ содержит неравенство, при решении которого получаем кубическое уравнение, которое
  не имеет целых корней
  

• 7 слайд

  Случай № 1
  Решите уравнение 𝒍𝒐𝒈 𝟒 ( 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 )=𝒙
  Решение.
  Запишем исходное уравнение в виде: 2 2𝑥 − 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 4 𝑥 . 4 𝑥 >0
  Исследовать ОДЗ не требуется, т.е. нет необходимости решать неравенство
  𝟐 𝟐𝒙 − 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 >𝟎
  
  Ответ: − 𝝅 𝟑 +𝟐𝝅𝒏;− 𝟐𝝅 𝟑 +𝟐𝝅𝒏; 𝝅 𝟐 +𝝅𝒏;𝒏∈𝒁
  𝑐𝑜𝑠 𝑥 −2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 3 =0
  𝑐𝑜𝑠 𝑥 =0 или 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =− 3 2 .
  𝑠𝑖𝑛 𝑥 =− 3 2 , то 𝑥=− 𝜋 3 +2𝜋𝑛 или 𝑥=− 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.
  𝑐𝑜𝑠𝑥=0 , то 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.
  

• 8 слайд

  Случай № 2
  Решить уравнение 𝟐− 𝟑 𝒙+𝟔 = 𝟐−𝒙 + 𝟔 𝟑𝒙−𝟔
  
  Решение.
  Наличие в уравнении радикалов различных степеней - второй, третьей и шестой  делает решение сложным. Поэтому, прежде всего, найдём ОДЗ уравнения:
  𝟐−𝒙≥𝟎, 𝟑𝒙−𝟔≥𝟎. ⇔𝒙=𝟐
  Непосредственной подстановкой убеждаемся, что 𝒙=𝟐 является корнем исходного уравнения.
  
  Ответ: 2
  

• 9 слайд

  Случай 3
  Решить неравенство 𝑙𝑜𝑔 3 1 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 3 ( 𝑥 2 +3𝑥−9)≤ 𝑙𝑜𝑔 3 ( 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10)
  1. Найдём область допустимых значений переменной 𝑥
  1 𝑥 >0 𝑥 2 +3𝑥−9>0 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10>0 ⟹ 𝑥>0 𝑥< −3−3 5 2 ,𝑥> −3+3 5 2 𝑥 3 +3 𝑥 2 +1−10𝑥 𝑥 >0 ⟹ 𝑥> −3+3 5 2 𝑥 3 +3 𝑥 2 +1−10𝑥 𝑥 >0
  Решение.
  

• 10 слайд

  Метод решения №1
  𝑙𝑜𝑔 3 1 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 3 ( 𝑥 2 +3𝑥−9)≤ 𝑙𝑜𝑔 3 ( 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10)
  неравенство равносильно системе
  1 𝑥 >0 𝑥 2 +3𝑥−9>0 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10>0 𝑙𝑜𝑔 3 1 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 3 ( 𝑥 2 +3𝑥−9)≤ 𝑙𝑜𝑔 3 ( 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10)
  &𝑥> −3+3 5 2 & 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10>0 & 1 𝑥 𝑥 2 +3𝑥−9 ≤ 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10 &
  

• 11 слайд

  𝑥 2 +3𝑥−9 𝑥 ≤ 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10
  𝑥 2 +3𝑥−9 𝑥 − 1 𝑥 ≤ 𝑥 2 +3𝑥−10
  𝑥 2 +3𝑥−10 𝑥 −( 𝑥 2 +3𝑥−10)≤0
  𝑥 2 +3𝑥−10 𝑥 − (𝑥 2 +3𝑥−10)𝑥 𝑥 ≤0
  (𝑥 2 +3𝑥−10) (1−𝑥) 𝑥 ≤0
  2
  1
  0
  -5
  -
  +
  -
  -
  +
  х
  т.о. 𝑥≤−5, 0<𝑥≤1, 𝑥≥2
  (𝑥−2)(𝑥+5) (1−𝑥) 𝑥 ≤0
  

• 12 слайд

  ⟹ &𝑥> −3+3 5 2 & 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10>0 &𝑥≤−5, 0<𝑥≤1, 𝑥≥2 & ⟹ & 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10>0 &𝑥≥2 ⟹ 𝑥≥2
  Исследуем неравенство 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10>0 на промежутке 𝑥≥2
  Рассмотрим графическую иллюстрацию неравенства
  𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10>0
  𝑥 2 +3𝑥−10>− 1 𝑥
  Рассмотрим 𝑦 𝑥 =𝑥 2 +3𝑥−10 и y 𝑥 =− 1 𝑥
  

• 13 слайд

  Очевидно, что при 𝑥≥2
  𝑥 2 +3𝑥−10>− 1 𝑥
  верно на данном промежутке, а значит верно и
  𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10>0
  
  Следовательно, решение системы неравенств 𝑥≥2.
  
  
  
  
  Ответ: 𝑥≥2
  
  

• 14 слайд

  Метод решения №2
  𝑙𝑜𝑔 3 1 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 3 ( 𝑥 2 +3𝑥−9)≤ 𝑙𝑜𝑔 3 ( 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10)
  Неравенство равносильно системе
  1 𝑥 >0 𝑥 2 +3𝑥−9>0 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10>0 𝑙𝑜𝑔 3 1 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 3 ( 𝑥 2 +3𝑥−9)≤ 𝑙𝑜𝑔 3 ( 𝑥 2 +3𝑥+ 1 𝑥 −10)
  

• 15 слайд

  &𝑥> −3+3 5 2 & 𝑥 3 +3 𝑥 2 +1−10𝑥 𝑥 >0 &𝑥≤−5, 0<𝑥≤1, 𝑥≥2 & ⟹ & 𝑥 3 +3 𝑥 2 +1−10𝑥>0 &𝑥≥2 ⟹ 𝑥≥2
  Исследуем неравенство 𝑥 3 +3 𝑥 2 +1−10𝑥>0 на промежутке 𝑥≥2
  Рассмотрим функцию 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 +3 𝑥 2 +1−10𝑥
  𝑓 | 𝑥 = 3𝑥 2 +6𝑥−10
  Квадратичная функция, график парабола, ветви вверх, вершина в точке 𝑥 0 =−1, следовательно при 𝑥>−1 производная возрастает и 𝑓 | 2 =12+12−10=14
  т.е. производная при 𝑥≥2 положительна, а 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 +3 𝑥 2 +1−10𝑥
  𝑓 𝑥 ≥1 , т.о. первая строка системы верна при всех 𝑥≥2
  
  Ответ: 𝑥≥2
  

• 16 слайд

  Таким образом, мы рассмотрели
  три случая области допустимых значений
  ОДЗ
  1
  2
  3
  ОДЗ представляет выражение, которое, приравнивается к положительному числу
  ОДЗ состоит из одного числа
  ОДЗ содержит неравенство, при решении которого получаем кубическое уравнение, которое
  не имеет целых корней
  

• 17 слайд

  Источники.
   
  Варианты Ларина ЕГЭ 2022. Интернет-ресурс «ОГЭ и ЕГЭ по математике. Генератор вариантов ЕГЭ 2022». https://ege314.ru/ege-larin/reshenie-622/
  Издательский дом «Первое сентября». Интернет-ресурс «Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». https://urok.1sept.ru/articles/571697
  ЕГЭ 2022. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ/ под ред. И.В. Ященко. - М.: Издательство «Экзамен», 2022. – 231, [1] с. (Серия «ЕГЭ. 50 вариантов. Тесты от разработчиков»).
  

• 18 слайд

  Надеюсь, что разработанные оригинальные методы решения заданий № 12, 14 при нестандартной области допустимых значений принесут практическую пользу учащимся при подготовке к сдаче профильного ЕГЭ по математике.
  
  Желаю удачи на экзамене
  

• 19 слайд

  Спасибо за внимание