Выдаём удостоверения и дипломы установленного образца

Получите 5% кэшбэк!

Запишитесь на один из 793 курсов и получите 5% кэшбэк стоимости курса на карту

Выбрать курс
Инфоурок Другое Другие методич. материалыОсновы высшей математики “Теория вероятностей” и “Математическая статистика” для студентов 2 курса

Основы высшей математики “Теория вероятностей” и “Математическая статистика” для студентов 2 курса

Скачать материал
библиотека
материалов

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области

государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

Свердловской области «Уральский железнодорожный техникум»









Пластун С .В.



Основы высшей математики

Теория вероятностей” и “Математическая статистика” для студентов 2 курса




















Екатеринбург 2019




Учебно-методический комплекс дисциплины ”Основы высшей математики” (наименование дисциплины)

составлен на основании типовой программы, с учетом содержания программы обучения дисциплины для студентов 2 курса – _________________________________________________________________

(Ф.И.О., должность, ученая степень и звание составителя)


Учебно-методический комплекс дисциплины ”Основы высшей математики”

(наименование дисциплины)

рассмотрен и обсужден на заседании ЦМК __________________________________________________________

(название ЦМК)

протокол № __ от "_____"__________2019 г.

Председатель ЦМК _________________________________________

Ф.И.О. _____________________

(подпись)


Учебно-методический комплекс дисциплины”Основы высшей математики” одобрен и утвержден на заседании методического Совета Ур ЖТ

(название колледжа)

протокол № ___ от «___» ________________2019г.

Ф.И.О. председателя______ (подпись)



Учебно-методический комплекс дисциплины ”Основы высшей математики”

(наименование дисциплины)

предназначен для студентов_2_ курса по специальности “Вычислительная техника и программное обеспечение”







Планы практических занятий

Предмет: “ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ” Отделение группа ___


Семестр ___3___, курс__2____ Преподаватель Пластун СВ П .З. № 1

(Ф.И.О.)

Тема 1 Основные понятия теории вероятностей





Цель: Введение основных понятий теории вероятностей, ознакомление с понятием «вероятность события», свойствами вероятности.

План:

1 Классификация событий.

2 Операции над событиями.

3 Классическая вероятность.


Методические рекомендации по проведению занятия


1 Классификация событий

С помощью устного опроса вспомнить понятия: случайное, достоверное, невозможное события, совместные и несовместные, противоположные события, благоприятствующее событие, полную группу событий, исходы опыта.

На примере опыта с игральной костью можно проиллюстрировать все основные понятия. При этом необходимо акцентировать внимание обучающихся на полную группу элементарных событий (исходов опыта).


2 Операции над событиями

Вспомнить определения суммы и произведения событий и привести примеры.

Например: Три стрелка стреляют по мишени. hello_html_m4f667d33.gif «i-ый стрелок попал в мишень», i=1,2,3. Сформулируйте события:

hello_html_22db8afa.gif- «попал хотя бы один стрелок» или «мишень поражена»;

hello_html_m1d59866e.gif- «попали все три стрелка» или «попал и первый стрелок, и второй, и третий»;

hello_html_7a40b947.gif- «попали два стрелка» или более подробнее: «попал первый и второй, а третий промахнулся, или первый попал, второй промахнулся, третий попал, или первый промахнулся, второй и третий попали» и т.д.


3 Классическая вероятность

Вспомнить определение классической вероятности, решить пару простейших примеров на извлечение цветного шара из урны или примеры с азартными играми (лотерея, игральная кость, домино, карты). Необходимо обратить внимание обучающихся на равновозможность и элементарность событий, образующих полную группу.

Далее надо усложнить задания, требующие применения элементов комбинаторики.

Например:

1. Устройство состоит из 5 элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умевший читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

3. На шести карточках написаны цифры 1,2,3,4,5,6. Какова вероятность, что вынимая три карточки и укладывая их рядом, получим число 123 ?


Домашнее задание:

Общее: проработать тему «Основные теоремы теории вероятностей».

Индивидуальное (номер варианта для каждого обучающегося определяется преподавателем на первом практическом занятии):

1. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, немецкого, французского, испанского - на любой другой из этих пяти языков?

2. На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа 2,4,6,7,8,11,12,13.Наудачу берутся две карточки. Определить вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима.

3. Расписание одного дня состоит из 5 занятий. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

4. Декан факультета вызвал через старосту 3 студентов из группы, состоящей из 6 человек, не сдавших экзамены в сессию. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наугад 3 студентов из указанной группы. Какова вероятность того, что к декану явятся вызванные им студенты?

5. В ящике находится 5 стальных, 3 латунных и 2 медных заклепки. Определить вероятность того, что две наудачу взятые заклепки будут сделаны из одного материала.

6. В первой подгруппе 16 человек, во второй 14. Для дежурства случайным образом отбираются из этих подгрупп 6 человек. Вычислить вероятность того, что 4 человека из отобранных будут из первой подгруппы.

7. Четыре тома математической энциклопедии расположены на полке в случайном порядке. Найти вероятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо.

8. Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность того, что данная партия будет принята , если она содержит 5% неисправных деталей?

9. Слово УЧЕБНИК составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешивают и из них извлекают по очереди 6 карточек. Какова вероятность того, что эти шесть карточек в порядке выхода составят слово УЧЕНИК ?

10. На книжной полке произвольно расставлены четыре книги по теории вероятности и три книги по информатике. Какова вероятность того, что книги по одному и тому же предмету окажутся рядом?

11. Представители торговых фирм 8 стран (от каждой страны по одному человеку) проводят совещание за круглым столом. Найти вероятность того, что представители торговых фирм Франции и Англии окажутся рядом.

12. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 7,8 и 9 если цифра 7 повторяется 3 раза, а цифры 8 и 9 по 2 раза?

13. Телефонный номер состоит из 5 цифр. Определить вероятность того, что все цифры различны.

14. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 8 защитников и 12 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?

15. Сколькими способами можно разложить в два кармана 9 монет различного достоинства?

16. В группе 15 юношей и 5 девушек. Нужно выбрать для дежурства 4 человека. Какова вероятность, что будут выбраны 2 юноши и 2 девушки?

17. В распоряжении агрохимика есть шесть различных типов минеральных удобрений. Он изучает совместное влияние каждой тройки удобрений на опытном участке площадью 1 га. Какой должна быть площадь всего опытного поля, если все возможные эксперименты проводятся одновременно?

18. В мешке лежат 33 жетона, помеченные буквами русского алфавита. Из него извлекают жетоны и записывают соот­ветствующие буквы, причем вынутые жетоны обратно не возвра­щают. Какова вероятность того, что при этом получится: 1). слово «око»? 2). слово «ар»?

19. Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 расположенных подряд стульях. Какова вероятность того, что мальчики сядут на места с чётными номерами, а девочки на места с нечетными номерами.

20. В газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Скольким способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

21. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

22. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7 , если цифры в числах не повторяются?

23. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательность точек и тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать коды, содержащие 5 символов?

24. Сколькими способами в футбольной команде из 11 человек можно выбрать капитана и вратаря?

25. Для дежурства нужно отобрать 10 человек из студентов 1-.го, 2-го ,3-го и 4-го курсов. Сколькими способами можно избрать состав для дежурства?


Литература: 1,7

Контрольные вопросы:

  1. Какое событие называется случайным?

  2. Какие события называются противоположными?

  3. Какие события называются несовместными?

  4. Что называется суммой, разностью, произведением событий?

  5. Дайте определение полной группы событий.

  6. Какое событие называется благоприятствующим?

  7. Запишите классическую формулу определения вероятности события.

  8. По какой формуле определяется число перестановок из n элементов?

  9. По какой формуле определяется число сочетаний?

  10. По какой формуле определяется число размещениий?



















Предмет: “ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ” Отделение , группа ___

Семестр ___3___, курс__2____ Преподаватель Пластун СВ П.З. №2

(Ф.И.О.)

Тема 2 Теоремы сложения и умножения вероятностей



Цель: Научить обучающихся применению теоремам сложения и умножения вероятностей, формул полной вероятности и Байеса.

План:

1 Теоремы сложения вероятностей.

2 Условная вероятность события. Теоремы умножения вероятностей.

3 Формула полной вероятности.

4 Формула Байеса.


Методические рекомендации по проведению занятия


1 Теоремы сложения вероятностей

Путем устного опроса вспомнить понятия «совместные» и «несовместные» события и сформулировать теоремы сложения вероятностей:

  1. Р(А+В)= Р(А) + Р(В) - для несовместных событий А и В;

2. Р(А+В)= Р(А) + Р(В) – Р(АВ) - для совместных событий А и В.


2 Условная вероятность события. Теоремы умножения вероятностей

Вспомнить понятия «зависимые» и «независимые» события, «условная вероятность» и сформулировать теоремы умножения вероятностей:

3. Р(АВ) = Р(А) Р(В) - для независимых событий А и В;

4. Р(АВ) = Р(А) Р(В/А) - для зависимых событий А и В.

Примеры:

1. При изготовлении деталей может быть брак как по форме, так и по размеру. Вероятность брака по форме равна 0,01, вероятность брака по размеру 0,02. Какова вероятность, что взятая наудачу деталь будет бракованной?

2. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,3; 0,4 и 0,6.

3. Студент купил 10 различных книг, причем 5 книг стоят по 400 тенге каждая, 3 книги по 100 тенге и 2 книги по 300 тенге. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 книги стоят 500 тенге.

4. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены потребует внимания первый станок, равна 0,7, второй – 0,75, третий – 0,8. Определить вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребует какие – либо два станка.

5. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции являются браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

6. Торговая фирма продает компакт диски и вкладывает приз в каждую десятую единицу товара. Куплено три компакт диска. Какова вероятность, что хотя бы в одном из них будет приз?


3 Формула полной вероятности

Если событие А может наступить только при условии появления одного из событий Н1, Н2, . . . , Нn, образующих полную группу несовместных событий, то

Р(А) = Р(Н1) × РH1 (А)+ . . .+Р(Нn) × PНn(А)

Примеры:

7. С первого автомата на сборку поступает 40 %, со второго 60% деталей. Первый автомат дает в среднем 1 % брака, второй - 2 %. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

8. Студент подготовил 25 билетов из 30. Какова вероятность того, что наугад взятый билет известен студенту, если он зашел на экзамен вторым ?

Замечание: решение последнего примера показывает, что вероятность получения известного билета равна 5/6 и не зависит от того, каким по очередности зашел студент на экзамен. Можно сделать вывод, что в данной ситуации вероятность объективно оценивает объем знаний студента. Никто и ничто не смогут увеличить или уменьшить этот объем. На данный случай есть пословица: «перед смертью не надышишься».


4 Формула Байеса

Если событие А наступило, то вероятности гипотез Hк меняются и определяются по формуле Байеса:

РА(Нк)=(P(Нк ) × PHк(A)) / P(A)

Примеры:

9. На маршруте полета из г. Костаная в г.Алматы вероятность встречного ветра равна 0,3; попутного 0,4; и штиля 0,3. Самолет, своевременно вылетающий из г. Костаная, прибывает в г.Алматы по расписанию с вероятностью: 0,5 при встречном ветре; 0,8 при попутном ветре и 0,9 при штиле. Известно, что в г.Алматы самолет прибыл точно по расписанию. Вычислить вероятность того, что при этом ветер был встречный.

10. На склад поступила продукция трех заводов. Объемы продукции первой, второй и третьей фабрик относятся соответственно как 2:5:3. Известно также, что средний процент нестандартных деталей среди продукции первого завода равен 4%,второго 3% и третьего 2%. Взятая случайным образом деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что она произведена на первом заводе.

Домашнее задание:

Общее: проработать темы «Повторные независимые испытания» и «Случайные величины».

Индивидуальное:

1. На маршруте полета из г. Алматы в г. Астана вероятность встречного ветра равна 0,5, попутного- 0,3 и штиля- 0,2. Самолет, своевременно вылетевший из г. Алматы, прибывает в г. Астана по расписанию с вероятностью 0,4 при встречном ветре; 0,8- при попутном и 0,9-при штиле. Известно, что в г. Астана самолет прибыл точно по расписанию. Вычислить вероятность того, что ветер был встречный.

2. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями р1, р2, р3, где р13=0,25, р2=0,5. Вероятности того, что лампа не выйдет из строя в течение гарантийного срока, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа не выйдет из строя в течение гарантийного срока.

3. В цехе 30% станков типа А, 20%- типа Б, и 50%- типа С. Из шести наладчиков один может налаживать все станки, три только типа А и С, а два только типа А и Б. Один из станков вышел из строя. Определить вероятность того, что станок будет налажен.

4. С первого автомата на сборку поступает 40 %, со второго 60% деталей. Первый автомат дает в среднем 1 % брака, второй - 2 %. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

5. Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо –хорошо, двое –удовлетворительно, а один совсем не готовился –понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся студенты могут ответить на все 20 вопросов, хорошо- на 16 вопросов, удовлетворительно- на 10, и неподготовившийся - на 5 вопросов. Каждый студент получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым студент ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

6. Половина поступивших на склад изделий изготовлена на первом заводе, третья часть – на втором заводе, остальные изделия – на третьем. Вероятности производства брака на первом, втором и третьем заводах соответственно равны р1=0,2 р2= р3=0,1. Произвольно выбранное изделие оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что это изделие изготовлено на первом заводе

7. В первой урне содержится 8 белых и 2 черных шара. Во второй урне 4 белых и 16 черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

8. На некоторой фабрике машина А производит 40 % продукции, а машина В – 60 %. В среднем 8 из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, и 4 из 250, произведенных машиной В, оказываются бракованными. Какова вероятность того, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной ?

9. С первого автомата на сборку поступает 30 %, со второго 70 % деталей. Первый автомат дает в среднем 2 % брака, второй - 3 %. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

10. При некотором технологическом процессе вероятность получения бракованной детали принимается равной 0,8. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было бы утверждать, что частость появления бракованных деталей отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01?

11. На некоторой фабрике машина А производит 30 % продукции, а машина В – 70 %. В среднем 9 из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, и 1 из 250, произведенных машиной В, оказываются бракованными. Какова вероятность того, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной ?

12. В сборочный цех завода детали поступают из двух цехов: из первого цеха – 70 %, из второго цеха – 30 %, причем детали из первого цеха имеют 10 %, а из второго – 20 % брака. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной.

13. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 конькобежцев, 4 горнолыжника. Вероятность выполнения нормы мастера спорта для лыжника равна 0,9, для конькобежца – 0,8, для горнолыжника равна 0,75. Определить вероятность того, что наудачу вызванный спортсмен выполнит норму мастера спорта.

14. В первой урне содержится 4 белых и 5 черных шара. Во второй урне 10 белых и 6 черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

15. Имеется 5 партий радиоламп: три партии по 8 штук, в каждой из которых шесть стандартных и две нестандартных, и две партии по 10 штук, из которых семь стандартных и три нестандартных. Наудачу из этих пяти партий берется одна партия, и из этой партии выбирается одна деталь. Определить вероятность того, что взятая таким образом деталь будет стандартной.

16. В трех одинаковых коробках лежат товары: в первой – два изделия первого сорта и одно второго сорта, во второй – три изделия первого сорта и одно второго сорта, в третьей – два изделия первого сорта и два второго сорта. Наудачу берется коробка и из нее изделие. Определить вероятность того, что это изделие первого сорта.

17. Имеется две категории сосудов: первая состоит из трех сосудов, в каждом и которых находится по четыре красных и по пяти синих шаров; вторая категория сосудов – из семи сосудов, в каждом из которых по два красных и по пяти синих шаров. Из первого попавшегося сосуда вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар будет красным.

18. В ящике две категории сосудов; одна состоит из трех сосудов, причем в каждом из них по 5 белых и по 7 черных шаров; вторая – из пяти сосудов, содержащих каждый по 9 белых и по 3 черных шара. Сосуды той и другой категории перемешаны, и из наудачу взятого сосуда извлекается шар. Определить вероятность того, что этот шар будет белым.

19. Принесли 5 сосудов: 2 сосуда содержат по 2 белых и одному черному шару; в одном сосуде 10 черных шаров; в 2 сосудах по 3 белых и одному черному шару. Наудачу выбирается сосуд, и из него берется один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар будет белым.

20. В 6 одинаковых ящиках по 10 деталей, причем в трех ящиках по 8 деталей, в двух – по 6 деталей и в одном 5 деталей первого сорта. Наудачу выбираем одну деталь. Определить вероятность того, что эта деталь будет первого сорта.

21. Рабочий обслуживает три станка. Каждый из станков может выходить из строя независимо друг от друга с вероятностями соответственно р1=0,3, р2=0,4, р3=0,5. Стало известно, что вышел из строя один станок. Какова вероятность того, что это первый станок?

22. После капитального ремонта карбюраторы проверяются ОТК на техническую исправность. Вероятность того, что карбюратор попадет к первому работнику ОТК равна 0,7;ко второму-0,3.Вероятность того, что отремонтированный карбюратор будет признан технически исправным первым работником равна 0,9;а вторым-0,98.Карбюратор был признан технически исправным. Какова вероятность того, что карбюратор был проверен вторым работником ОТК?

23. Из 20 учеников, которые пришли на экзамен по математике, 5 подготовились отлично, 4-хорошо,10-удовлетворительно, а 1-совсем не готовился- понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо на 15 вопросов, удовлетворительно- на 10, и не подготовившийся на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он отличник.

24. Первый рабочий изготовляет 50%,второй-30% и третий-20% всех деталей. Вероятность, что деталь, изготовленная первым рабочим стандартна, равна 0,9: для второго и третьего эта вероятность равна соответственно 0,95 и 0,85.Изготовленные детали поступают на сборку. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Какова вероятность, что она изготовлена первым рабочим.

25. Фабрика получает станки-автоматы от трех заводов: от первого завода-30%, от второго-55% и от третьего-15% станков. Известно, что брак продукции первого завода составляет- 5%, второго- 6% и третьего-10%. Полученные станки до монтажа хранятся в общем складе. Наугад взятый для монтажа станок оказался бракованным. Какова вероятность того, что бракованный станок изготовлен на первом заводе?

Литература: 1,7

Контрольные вопросы:

  1. Как определяется вероятность суммы несовместных событий?

  2. Запишите формулу вероятности суммы совместных событий?

  3. Дайте определение условной вероятности.

  4. Какие события называются независимыми?

  5. Как находится вероятность появления хотя бы одного события?

  6. Запишите формулу полной вероятности.

  7. Запишите формулу Байеса.

  8. Когда применяется формула Байеса?

  9. Чему равна сумма вероятностей гипотез?





Предмет: “ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ” Отделение , группа ___

Семестр ___3___, курс__2____ Преподаватель Пластун С В П.З. №3

(Ф.И.О.)

Тема 3 Повторение испытаний



Цель: Научить обучающихся определению вероятности появления события в n независимых испытаниях.

План:

1 Схема и формула Бернулли

2 Локальная формула Лапласа

3 Интегральная формула Лапласа

4 Формула Пуассона


Методические рекомендации по проведению занятия


1 Схема и формула Бернулли

Путем устного опроса вспомнить суть схемы Бернулли: производится n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти событие A с одной и той же вероятностью p или ему противоположное событие hello_html_5b8c2d54.gif с вероятностью q = 1- p.

Задача состоит в том, чтобы найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз (или от m1 до m2 раз). При небольших числах испытаний применяется формула Бернулли

hello_html_6938f89a.gif

Примеры:

1. Пять элементов вычислительного устройства работают независимо. Вероятность безотказной работы за время t для каждого элемента равна 0,9. Найти вероятность того, что за это время только четыре элемента будут работать безотказно.

2. Что вероятнее: выиграть две шахматные партии из четырех или три из шести, если противники равносильные?


2 Локальная формула Лапласа

Если число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие А в n независимых испытаниях произойдет m раз, определяется по локальной формуле Лапласа

hello_html_m3599bcdd.gifhello_html_afefd3d.gif

где hello_html_7d20b877.gif а hello_html_57a64c2c.gif

Значения (x) находят по таблице 1 (см. Приложение) с учетом четности: (- х) = (х).

Примеры:

3. 30% аварий происходят из-за превышения скорости машин. Найти вероятность того, что из 100 дорожно- транспортных происшествий ровно 30 происходят из-за превышения скорости машин.


3 Интегральная формула Лапласа

Вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А произойдет от т1 до т2 раз определяется по формуле

hello_html_m22344ab2.gifhello_html_77b0eb92.gif,

где hello_html_m50f21c9.gifhello_html_53f14c59.gifhello_html_23c64e3a.gifhello_html_101713ae.gifфункция Лапласа.

Значения функции Ф (х) находятся по таблице 2 (см. Приложение) с учетом того, что Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(-х)= - Ф(х).

Примеры:

4. Вероятность получения дефектной детали с данного станка – автомата равна 0,25. Найти вероятность того, что среди 120 деталей, изготовленных на этом станке, число качественных окажется от 80 до 100.

5. В пруд запустили 500 мальков зеркального карпа. Вероятность выжить для каждого из них одинакова и равна 0,7. Какова вероятность, что выживут не менее 300 мальков?

4 Формула Пуассона

Для редких событий А в схеме Бернулли применяется формула Пуассона

hello_html_m5e9fae64.gif,

где l = np - среднее число появлений события А в n испытаниях.

6. В лаборатории определяется механический состав 1000 образцов почв некоторой области. Вероятность того, что в образце содержится 20% частиц размерами более 3 мм равна 0,001. Найти вероятность того, что взятые наудачу 3 образца почвы содержат 20% частиц размерами более 3 мм.


Домашнее задание:

Общее: проработать тему «Числовые характеристики случайных величин».

Индивидуальное:

1. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна р=0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов.

2. В вузе 40% студентов из сельской местности. Найти вероятность того, что из 100 случайно отобранных студентов от 45 до 90 студентов будут из сельской местности.

3. В банк отправлено 2000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0005.Найти вероятность того, что при проверке будут обнаружено 4 ошибочно укомплектованных пакета.

4. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течении часа позвонят 3 абонента?

5. Учебник издан тиражом 10000 экз. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001, Найти вероятность того, что тираж содержит хотя бы 2 бракованные книги.

6. В магазин по продаже компьютеров вошли девять покупателей. Найти наивероятнейшее число покупателей, которые купят компьютер, если вероятность совершить покупку для каждого равна 0,5

7. На связке 5 ключей. К замку подходит только один ключ. Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть замок, если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует.

8. Вероятность того, что абонент правильно наберет телефонный номер, принимается для всех абонентов равной 0,999. Определить вероятность того, что среди 500 произведенных независимо один от другого вызовов окажется менее двух ошибочных.

9. Вероятность обращения в банк клиента за возвратом депозита равна 0,3. Найти вероятность того, что из 100 клиентов, посетивших банк, ровно 30 потребует возврата депозита.

10. 80 % волокон хлопка определенного сорта имеет длину, меньшую, чем 50 мм. Определить вероятность того, что из 4 наудачу взятых волокон три будут короче 50 мм.

11. В мастерской 5 токарных станков. Вероятность, что в данный момент станок работает, равна 0,7. Определить вероятность того, что в данный момент работают 4 станка.

12. В партии изделий двух форматов число крупных деталей вдвое больше, чем мелких. Детали сложены без всякого порядка. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 10 деталей окажется 6 крупных?

13. Вероятность появления события А в отдельном испытании равна ¾. Определить вероятность того, что число появлений этого события при 8-кратном повторении окажется больше шести.

14. Вероятность того, что отобранная для проверки деталь будет стандартной, равна 0,9. Проводиться контрольная выборка: берут наудачу пять деталей. Если из этих пяти деталей бывает более двух нестандартных, то вся партия задерживается. Определить вероятность того, что партия будет задержана.

15. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки равна 0,3. Произведено шесть выстрелов. Определить вероятность того, что не менее трех пуль попадет в цель.

16. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника три партии из четырех или пять партий из восьми?

17. Вероятность появления некоторого события в одном отдельном испытании равна 0,7. Определить наивероятнейшее число появлений этого события при 16 испытаниях.

18. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,2. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель и вероятность такого исхода стрельбы, если было сделано шесть выстрелов.

19. При автоматической наводке орудия вероятность попадания принимается равной 0,7. Определить наиболее вероятное число попаданий при 235 выстрелах.

20. Число длинных волокон в партии хлопка составляет в среднем 0,7 от общего числа волокон. При каком общем количестве волокон наивероятнейшее число длинных волокон окажется равным 25?

21. Сколько следует выполнить повторных независимых испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным 23, если вероятность появления этого события в одном отдельно взятом испытании 0,85?

22. Брак при изготовлении штампованных деталей составляет 5%. Сколько нужно взять деталей, чтобы наиболее вероятное число годных деталей равнялось 150?

23. Чему равна вероятность наступления события А в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступления события А в отдельном испытании составляет 15, а всего испытаний было произведено 20?

24. Произведено 35 независимых испытаний, причем установлено, что наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях оказалось равным 20. Какова вероятность наступления события?

25. Вероятность прорастания семян данного растения 0,75. Сколько следует взять семян, чтобы наибольшее число взошедших семян равнялось 100?

Литература: 1,7

Контрольные вопросы:

  1. Опишите схему Бернулли.

  2. Запишите формулу Бернулли. Когда она применяется?

  3. Как определяется наивероятнейшее число событий?

  4. Запишите формулу Пуассона. Когда она применяется?

  5. Запишите локальную формулу Лапласа.

  6. Запишите интегральную формулу Лапласа.

  7. При х>5 чему равно значение функции Лапласа?

  8. Функция Лапласа является четной или нечетной ?

  9. Запишите формулу отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

































Предмет: “ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ” Отделение , группа __

Семестр ___3___, курс__2____ Преподаватель Пластун СВ Т.З. №4

(Ф.И.О.)

Тема 4 Дискретные случайные величины



Цель: Научить обучающихся составлять законы распределения вероятностей дискретных случайных величин (ДСВ) и вычислять их числовые характеристики.

План:

1 Основные законы распределения ДСВ.

2 Числовые характеристики ДСВ и их свойства.

Методические рекомендации по проведению занятия

1 Основные законы распределения ДСВ

Вспомнить определение закона распределения случайной величины и составить таблицы распределения вероятностей на основные законы распределения ДСВ (биномиальный, геометрический, пуассоновский, гипергеометрический):

1. Торговая фирма продает компакт-диски и вкладывает в каждую десятую единицу товара приз размером 50 тенге. Куплено три компакт-диска. Составить закон распределения СВ Х –размера выигрыша для данной покупки.

2. Стрелок, имеющий 5 патронов стреляет по цели. Вероятность поражения цели равна 0,7. За каждое попадание он получает 10 очков. Составить закон распределения числа очков, если он стреляет до израсходования всех патронов.

3. В банк отправлено 2000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,001.Составить закон распределения числа ошибочно укомплектованных пакета из взятых четырех.

4. На завод поступило 10 токарных станков, из них 4 некомплектных. Наудачу проверено 3 станка. Составить закон распределения числа некомплектных станков среди проверенных.


2 Числовые характеристики ДСВ и их свойства.

Вспомнить определения числовых характеристик дискретной случайной величины Х:

математическое ожидание

М(Х) = hello_html_m559d8e92.gif,

дисперсия

n

D(X) = M ([XM(X)])2 = å [xiM(X)] 2 × pi ,

i=1

среднее квадратическое отклонение

hello_html_5c7b4e8.gif.

Решить задачи на нахождение числовых характеристик по определениям, а также используя свойства и вычислительную формулу для дисперсии

D(X) = M(X2) - [M(X)]2

Примеры:

5. Найти среднее квадратическое отклонение СВ Х, заданной таблицей распределения


2) используя свойства дисперсии

проработать темы «Непрерывные случайные величины» и «Основные законы распределения НСВ».

Индивидуальное: Найти σ(Х + Y)

1.

  1. Что называется случайной величиной?

  2. Какая случайная величина называется дискретной?

  3. Что называется рядом распределения СВ?

  4. Как найти математическое ожидание ДСВ?

  5. Запишите свойства математического ожидания.

  6. Как найти дисперсию ДСВ?

  7. Запишите свойства дисперсии.




























Предмет: “ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ” Отделение , группа ___

Семестр ___3___, курс__2____ Преподаватель Пластун СВ П.З. №5

(Ф.И.О.)

Тема 5 Непрерывные случайные величины




Цель: Ознакомление с основными законами распределения ДСВ и НСВ

План:

1 Функция распределения вероятностей случайной величины

2 Плотность распределения вероятностей случайной величины

3 Основные законы распределения НСВ

4 Числовые характеристики НСВ.

5 Моменты ДСВ


Методические рекомендации по проведению занятия


1 Функция распределения вероятностей случайной величины

Вспомнить определение функции распределения F(x) = Р(Х<х) и на примере ДСВ пояснить смысл этой функции.

Пример: Дана таблица распределения случайной величины Х


1. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М.: 1975

2. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики-М. Наука,1982

3. Солодовников А.С. Теория вероятностей-М. Просвещение,1983

3. Ширяев А.Н. Вероятность – М. Наука,1980

Контрольные вопросы:

  1. Какое число принимается за значение бернуллиевской случайной величины

  2. Чему равно M(X) и D(X) для биномиального распределения?

  3. Какое распределение называется геометрическим?

  4. Какое число принимается за значение пуассоновской случайной величины

  5. Чему равно M(X) и D(X) для пуассоновского распределения

  6. Какое распределение называют законом распределения редких явлений?

  7. Какое распределение называется нормальным? Как он задается?

  8. Какими параметрами определяется нормальный закон распределения?

  9. Что называется стандартной случайной величиной?

  10. Как найти вероятность попадания СВ в заданный интервал для нормального закона?

  11. Сформулируйте правило трех сигм

  12. Как найти вероятность того, что непрерывная случайная величина отклонится от своего среднего значения не более чем на заданное положительное число d?

  13. Как называется кривая нормального распределения?

  14. Чему равна вероятность попадания СВ Х в интервал [a; b] для показательного распределения?

  15. Чему равна плотность вероятности для показательного распределения?

  16. Как задается распределение Вейбулла-Гнеденко?

  17. Дайте определение функции распределения

  18. Перечислите свойства функции распределения

  19. Перечислите свойства плотности распределения

  20. Как найти математическое ожидание НСВ?

  21. Как найти дисперсию НСВ?


Предмет: “Математика для экономистов” Отделение , группа ___

Семестр ___3___, курс__2____ Преподаватель Пластун С В Т.З. №6

(Ф.И.О.)

Тема 6 Системы случайных величин



Цель: Введение понятия многомерной случайной величины, ознакомление с законом ее распределения. Уметь вычислять числовые характеристики.

План:

1 Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения

2 Функция распределения многомерной случайной величины

3 Плотность вероятности двумерной случайной величины.

Литература:

1. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М.: 1975

2. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики-М. Наука,1982

3.Солодовников А.С. Теория вероятностей-М. Просвещение,1983

3.Ширяев А.Н. Вероятность – М. Наука,1980

Контрольные вопросы:

  1. Сформулируйте определение двумерной СВ.

  2. Какую двумерную случайную величину называют дискретной?

  3. Какую двумерную случайную величину называют непрерывной?

  4. Что называется законом распределения двумерной случайной величины

  5. Какими свойствами обладает интегральная функция?

  6. Какими свойствами обладает дифференциальная функция?

















Предмет: : “ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ” Отделение , группа ___

Семестр ___3___, курс__2____ Преподаватель Пластун СВ П.З. №7

(Ф.И.О.)

Тема 7 Закон больших чисел



Цель: Рассмотрение неравенства Чебышева, ознакомление с теоремами закона больших чисел

План

1 Неравенста Чебышева

2 Теоремы закона больших чисел

3 Центральная предельная теорема

4 Характеристические функции

Литература:

1. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М.: 1975

2. Солодовников А.С. Теория вероятностей-М. Просвещение,1983

3. Ширяев А.Н. Вероятность – М. Наука,1980

4. Боровков А.А. Теория вероятностей-М. Наука,1976

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М. Наука,1969

Контрольные вопросы:

  1. Сформулируйте неравенство Чебышева

  2. Сформулируйте теоремы закона больших чисел

  3. Для доказательства какой теоремы был создан метод характеристических функций?

  4. Что называется характеристической функцией случайной величины Х?

  5. Перечислите основные свойства характеристической функции



Предмет: “ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ” Отделение , группа ___

Семестр ___3___, курс__2____ Преподаватель Пластун СВ П.З. № 8

(Ф.И.О.)

Тема 8 Выборочный метод



Цель: Ознакомление с основными задачами и понятиями мат. статистики, различными способами отбора, характеристиками вариационного ряда, Уметь строить полигон и гистограмму.

План:

1 Выборочный метод

2 Вариационные ряды и их графическое изображение.

3 Эмпирическая функция распределения

Литература:

1 Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М.: 1975

2 Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика, -М.: 1999г

3 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика .-М.: Высшая школа, 1977

4 Кремер Н.Ш. Математическая статистика. - М.: Экономическое образование

5 Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М. Наука, 1975

Контрольные вопросы:

  1. Перечислите основные задачи математической статистики

  2. Что называется выборкой?

  3. Что называется объемом выборки?

  4. Что называется генеральной совокупностью?

  5. Какая выборка называется репрезентативной?

  6. Какая выборка называется повторной?

  7. Перечислите различные способы отбора

  8. При каких способах отбора генеральная совокупность разбивается на части?

  9. Что называется вариационным рядом?

  10. Что называется модой, медианой?

  11. Как определяется размах вариации?

  12. Что называется полигоном частот?

  13. Что называется гистограммой частот?

  14. Какая функция называется эмпирической функцией распределения ?

  15. Перечислите свойства эмпирической функции распределения


Предмет: “ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ” Отделение , группа ___

Семестр ___3___, курс__2____ Преподаватель Пластун СВ П.З. № 9

(Ф.И.О.)

Тема 9 Статистические оценки параметров распределения



Цель: Ознакомление с основными требованиями к оценкам, знать виды оценок

План:

1 Основные требования к оценкам

2 Точечные оценки

3 Интервальные оценки

Литература:

  1. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М.: 1975

  2. Севастьянов Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.Наука, 1982

  3. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М.: 1975.

  4. Гнеденко Б.В. «Курс теории вероятностей» М.: 1969.

  5. Карасев А.И. «Теория вероятностей и математическая статистика» М.: 1977.

  6. Булдык Г.М. «Теория вероятностей и математическая статистика» Минск., 1977.

  7. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1986

Контрольные вопросы:

1 Что называется статистической оценкой?

2 Перечислите основные требования к оценкам?

3 Какая оценка называется состоятельной?

4 Какая оценка называется эффективной?

5 Какие два вида оценок существуют?

6 Что называется точечной оценкой?

7 Что является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.?

8 Запишите формулу выборочной средней, выборочной дисперсии, исправленной выборочной дисперсии

9 Какая оценка называется интервальной?

10 Какой интервал называют доверительным?

11 Как вычислить доверительный интервал для оценки математического ожидания нормальной случайной величины Х при неизвестном hello_html_m24ee492d.gif ?

12 Как вычислить доверительный интервал для оценки математического ожидания нормальной случайной величины Х при известном hello_html_m24ee492d.gif ?


















Предмет: “ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ” Отделение , группа ___

Семестр ___3___, курс__2____ Преподаватель Пластун СВ П.З. № 10

(Ф.И.О.)

Тема 10 Проверка статистических гипотез



Цель: Ознакомление с понятием «статистическая гипотеза», знать основные этапы проверки гипотезы, уметь применять критерий Пирсона для проверки гипотезы о нормальном распределении.

План:

1 Понятие статистической гипотезы.

2 Основные этапы проверки гипотезы

3 Критерий Пирсона для проверки гипотезы о нормальном распределении.

Литература:

  1. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М.: 1975

  2. Севастьянов Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.Наука, 1982

  3. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М.: 1975.

  4. Гнеденко Б.В. «Курс теории вероятностей» М.: 1969.

  5. Карасев А.И. «Теория вероятностей и математическая статистика» М.: 1977.

  6. Булдык Г.М. «Теория вероятностей и математическая статистика» Минск., 1977.

  7. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1986

Контрольные вопросы:

1.Что называется статистической гипотезой?

2.Какая гипотеза называется сложной, простой?

3.Что называется мощностью критерия?

4.Что называется уровнем значимости?

5.В чем состоит ошибка первого рода?

6.В чем состоит ошибка второго рода?

7.Что называется левосторонней критической областью?

8.Что называется правосторонней критической областью?

9.Что называется двусторонней критической областью?

10. Как проверить гипотезу с помощью критерия Пирсона?



Предмет: “ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ” Отделение , группа ___

Семестр ___3___, курс__2____ Преподаватель Пластун СВ П.З. № 11

(Ф.И.О.)

Тема 11 Элементы корреляционного анализа



Цель: Ознакомление с различными формами зависимости между случайными величинами, корреляционной таблицей, выборочным уравнением регрессии

План:

1 Две основные задачи корреляции

2 Коэффициент корреляции, свойства

3 Выборочное уравнение регрессии

Литература:

  1. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М.: 1975.

  2. Гнеденко Б.В. «Курс теории вероятностей» М.: 1969.

  3. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1986

  4. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов, - М.: Наука, 1977

  5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика, -М.: 1999г

Контрольные вопросы:

    1. Какие две основные задачи решает корреляционный метод?

    2. Какая зависимость называется корреляционной?

    3. Как могут быть связаны между собой две случайные величины?

    4. Как вычисляется коэффициент корреляции?

    5. Как вычисляется корреляционный момент?

    6. Перечислите свойства коэффициента корреляции

    7. Как вычисляется погрешность коэффициента корреляции?

    8. Что показывает кривая регрессии

    9. Какая зависимость имеет место при ускоренном изменении результативного признака в сочетании с равномерным возрастанием факторного признака?

    10. Какая зависимость имеет место при монотонном увеличении факторного и результативного признака?

    11. Записать выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х

    12. Записать выборочное уравнение прямой линии регрессии Х на У


  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Педагог-библиотекарь
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Проверен экспертом
Общая информация
Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Методика написания учебной и научно-исследовательской работы в школе (доклад, реферат, эссе, статья) в процессе реализации метапредметных задач ФГОС ОО»
Курс повышения квалификации «Основы местного самоуправления и муниципальной службы»
Курс повышения квалификации «Экономика предприятия: оценка эффективности деятельности»
Курс профессиональной переподготовки «Организация логистической деятельности на транспорте»
Курс повышения квалификации «Введение в сетевые технологии»
Курс повышения квалификации «Управление финансами: как уйти от банкротства»
Курс повышения квалификации «Правовое регулирование рекламной и PR-деятельности»
Курс профессиональной переподготовки «Управление ресурсами информационных технологий»
Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»
Курс профессиональной переподготовки «Деятельность по хранению музейных предметов и музейных коллекций в музеях всех видов»
Курс профессиональной переподготовки «Организация системы менеджмента транспортных услуг в туризме»
Курс профессиональной переподготовки «Политология: взаимодействие с органами государственной власти и управления, негосударственными и международными организациями»
Курс профессиональной переподготовки «Уголовно-правовые дисциплины: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Эксплуатация и обслуживание общего имущества многоквартирного дома»
Курс профессиональной переподготовки «Информационная поддержка бизнес-процессов в организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.