Основные методы решения уравнений

Основные методы решения уравнений

Что такое решение уравнения?

Тождественное преобразование. Основные

виды тождественных преобразований.

Посторонний корень. Потеря корня.

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием. Основные тождественные преобразования следующие:

1.	Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) 2 = 15x+10 можно заменить следующим равносильным:  9x2 + 12x + 4 = 15x + 10 .
2.	Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »:  9x2 + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего получим:  9x2 – 3x – 6 = 0 .
3.	Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как  новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю. П р и м е р .  Уравнение  x – 1 = 0  имеет единственный корень x = 1.                       Умножив обе его части на  x – 3 , мы получим уравнение                       ( x – 1 )( x – 3 ) = 0,  у которого два корня:  x = 1 и  x = 3.                       Последнее значение не является корнем заданного уравнения                         x – 1 = 0.  Это так называемый посторонний корень.                         И наоборот, деление может привести к потере корня. Так                       в нашем случае, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным                       уравнением, то корень  x = 3  будет потерян при делении                       обеих частей уравнения на  x – 3 . В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:  3x2 –  x – 2 = 0 . Это уравнение равносильно исходному: ( 3x+ 2 )2 = 15x + 10 .
4.	Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени. Необходимо помнить, что:         а)  возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;         б)  неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней. П р и м е р ы .   Уравнение  7x = 35  имеет единственный корень x = 5 .                              Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим                            уравнение:                                                               49x2 = 1225 .                            имеющее два корня:  x = 5  и  x = – 5. Последнее значение                            является посторонним корнем.                            Неправильное извлечение квадратного корня из обеих                            частей уравнения  49x2 = 1225 даёт в результате 7x = 35,                            и мы теряем корень  x = – 5.                            Правильное извлечение квадратного корня приводит к                            уравнению: | 7x | = 35,  а следовательно, к двум случаям:                               1)  7x = 35, тогда  x = 5 ;      2)  – 7x = 35, тогда  x = – 5 .                            Следовательно, при правильном извлечении квадратного                            корня мы не теряем корней уравнения.                            Что значит правильно извлечь корень? Здесь мы встречаемся                            с очень важным понятием арифметического корня                             (см. параграф "Арифметический корень").