Тема: Основы
логики. Основные понятия.
Цель:
сформировать у учащихся понятие о логике, логических высказывания и операциях
над ними; рассмотреть логические операции и таблицы истинности.
Тип урока: Урок объяснения нового материала и первичного
закрепления знаний.
Задачи урока:
Обучающие:
применение теоретических знаний на практике;
организация деятельности учащихся по изучению и
первичному закреплению способов действий.
Развивающие:
помощь учащимся в осознании социальной и практической
значимости учебного материала;
обеспечение развития у школьников умений сравнивать и
классифицировать познавательные объекты;
создание условий для развития у школьников умения
работать во времени.
Воспитывающие:
осуществление эстетического воспитания;
способствовать обогащению внутреннего мира школьников.
Формы организации учебной
деятельности:
фронтальная, индивидуальная.
Программно-дидактическое
обеспечение: ПК, программы Power Point и Excel, авторская презентация по данной
теме (используется в качестве сопроводительного материала лекции учителя)
(Приложение 1), проектор, навесной экран.
Ход урока
I. Постановка целей урока:
Логика-это наука
о формах и способах мышления.
Понятие-это форма
мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.
Булева алгебра (алгебра
логики) - это математический аппарат, с помощью которого
записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.
|
Создателем алгебры логики
является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в
честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.
Слово логика означает
систематический метод рассуждений. Мы познакомимся с одним из разделов этой
науки - исчислением высказываний.
|
|
|
|
II. Изложение нового материала:
Логическое
высказывание
-
это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo
сказать, истиннo oнo или лoжнo.
Примеры:
"3 —
простое число"- высказывание, так как оно истинное.
"Париж — столица Японии" - высказывание, так как оно
ложное.
Высказываниями не являются,
например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика
— интересный предмет". Первое предложение ничего не утверждает об
ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие “интересный
предмет”. Вопросительные и восклицательные предложения также не являются
высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет
смысла.
Предложения типа "в
городе A более миллиона жителей", "у него голубые глаза"
не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности
нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь.
Такие предложения называются высказывательными
формами.
Высказывательная
форма
— это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя
бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются
своими значениями.
Алгебра логики
рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно
истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность
высказывания.
Так, например,
высказывание "площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв.
км" в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным.
Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным.
Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на
практике.
Логические
связки
- употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и",
"или", "если... , то", "тогда и
только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить
новые высказывания.
Составные
высказывания - высказывания, образованные из
других высказываний с помощью логических связок.
Элементарные
высказывания - высказывания, не являющиеся составными, называются.
Так, например, из элементарных
высказываний "Петров — врач", "Петров —
шахматист" при помощи связки "и"
можно получить составное высказывание "Петров — врач и шахматист", понимаемое как "Петров
— врач, хорошо играющий в шахматы".
При помощи связки "или" из этих же высказываний можно
получить составное высказывание "Петров — врач или
шахматист", понимаемое в алгебре логики как "Петров или
врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно".
Истинность или ложность получаемых
таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности
элементарных высказываний.
Чтобы обращаться к логическим
высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание
"Тимур поедет летом на море", а через В — высказывание "Тимур
летом отправится в горы". Тогда составное высказывание "Тимур
летом побывает и на море, и в горах" можно кратко записать как А и
В. Здесь "и" — логическая связка, А, В — логические
переменные, которые мoгут принимать только два значения — "истина"
или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1"
и "0"
Логические
операции.
Каждая логическая связка
рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое
название и обозначение.
Выделяют следующие логические
операции: инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация;
эквиваленция.
1.
Операция инверсия (отрицание):
Отрицание
- это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в
соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное
высказывание отрицается.
Обозначается: ол
В естественном
языке: соответствует
словам "неверно, что..." и
частице "не"
Диаграмма
Эйлера-Венна:
Принимаемые
значения: лрл
Диаграмма
Эйлера-Венна:
В алгебре множеств логическому
отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т.е.
множеству получившемуся в результате отрицания множества соответствует
множество, дополняющее его до универсального множества.
|
|
|
|
|
|
Пример:
Луна — спутник Земли (А). Луна — не спутник Земли ( A)
2.
Операция конъюнкция (лат. conjunctio — соединение) (логическое умножение):
Конъюнкция
- это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым
высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда,
когда оба исходных высказывания истинны.
Обозначается: ол
В естественном
языке: соответствует
союзу "и"
Принимаемые
значения: лрл
Диаграмма
Эйлера-Венна:
В алгебре множеств конъюнкции
соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в
результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из
элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.
|
|
|
|
|
|
Примеры:
1. 10
делится на 2 (A - и). 5 больше 3 (B - и). 10 делится на 2 и 5
больше 3 (A B
- и).
2. 10
не делится на 2 (A - л). 5 больше 3 (B - и). 10 не делится на 2 и
5 больше 3 (A B
- л).
3. 10
делится на 2 (A - и). 5 не больше 3 (B - л). 10 делится на 2 и 5
не больше 3 (A B
- л).
4. 10
не делится на 2 (A - л). 5 не больше 3 (B - л). 10 делится на 2 и
5 больше 3 (A B
- л).
3.
Операция дизъюнкция (лат. disjunctio — разделение) (логическое сложение):
Дизъюнкция
- это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в
соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда,
когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух
образующих его высказываний истинно.
Обозначается: ол
В естественном
языке: соответствует
союзу
"или"
Принимаемые
значения: лрл
Диаграмма
Эйлера-Венна:
В алгебре множеств дизъюнкции
соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате
сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов,
принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.
|
|
|
|
|
|
Примеры:
1. 10
делится на 2 (A - и). 5 больше 3 (B - и). 10 делится на 2 или 5
больше 3 (A B
- и).
2. 10
не делится на 2 (A - л). 5 больше 3 (B - и). 10 не делится на 2
или 5 больше 3 (A B
- и).
3. 10
делится на 2 (A - и). 5 не больше 3 (B - л). 10 делится на 2 или
5 не больше 3 (A B
- и).
4. 10
не делится на 2 (A - л). 5 не больше 3 (B - л). 10 не делится на
2 или 5 не больше 3 (A B
- л).
4.
Операция импликация (лат. лат. implico — тесно связаны) (логическое сложение):
Импликация - это
логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям
составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие
(первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
Обозначается: ол
В естественном
языке: соответствует
обороту "если
..., то ..."
Принимаемые
значения: лрл
Примеры:
1. Данный
четырёхугольник — квадрат (A - и). Около данного четырёхугольника можно
описать окружность (B - и). Если данный четырёхугольник квадрат, то
около него можно описать окружность (A B
- и).
2. Данный
четырёхугольник — не квадрат (A - л). Около данного четырёхугольника
можно описать окружность (B - и). Если данный четырёхугольник не
квадрат, то около него можно описать окружность (A B
- и).
3. Данный
четырёхугольник — квадрат (A - и). Около данного четырёхугольника нельзя
описать окружность (B - л). Если данный четырёхугольник квадрат, то
около него можно описать окружность (A B
- л).
4. Данный
четырёхугольник — не квадрат (A - л). Около данного четырёхугольника
нельзя описать окружность (B - л). Если данный четырёхугольник не
квадрат, то около него нельзя описать окружность (A B
- и).
5. Операция
эквиваленция (двойная импликация):
Эквиваленция
– это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум
простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и
только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или
одновременно ложны.
Обозначается: ол
В естественном
языке: соответствует
оборотам речи
"тогда и только тогда"; "в том и только в том случае"
Принимаемые
значения: лрл
Примеры:
1. 24
делится на 6 (A - и). 24 делится на 3 (B - и). 24 делится на 6 тогда
и только тогда, когда 24 делится на 3 (A B
- и).
2. 24
не делится на 6 (A - л). 24 делится на 3 (B - и). 24 не делится
на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A B
- л).
3. 24
делится на 6 (A - и). 24 не делится на 3 (B - л). 24 делится на 6
тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A B
- л).
4. 24
не делится на 6 (A - л). 24 не делится на 3 (B - л). 24 не
делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 не делится на 3 (A B
- и).
Порядок выполнения
логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок
договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания (“не”),
затем конъюнкция (“и”),
после конъюнкции — дизъюнкция (“или”) и
в последнюю очередь — импликация и эквиваленция.
Домашнее задание:
Уровень знания: выучить определения основных терминов
и понятий.
Тема
урока: Логические формулы.
С помощью логических переменных и
символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть
заменить логической формулой.
Определение логической
формулы:
1. Всякая
логическая переменная и символы "истина" ("1")
и "ложь" ("0") — формулы.
2. Если А и В —
формулы, то ,
(А &В), (А v В), (А B),
(А В)
— формулы.
3. Никаких других формул в алгебре
логики нет.
В п. 1 определены
элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных
формул новых формул.
Пример:
Рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю
фруктовый пирог".
Обозначим буквой A
высказывание: "купить яблоки",
буквой B - высказывание: "купить
абрикосы", буквой C - высказывание: "испечь пирог".
Тогда высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю
фруктовый пирог" формализуется в виде формулы:
(A v B) C
Формула выполнимая - если при
определенных сочетаниях значений переменных она принимает значение "истина"
("1") или "ложь" ("0").
Как показывает анализ формулы (A
v B) C,
при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C
она принимает значение "истина", а при некоторых других
сочетаниях — значение "ложь".
Некоторые формулы принимают
значение “истина” при любых значениях истинности входящих в них переменных.
Таковой будет, например, формула А v A,
соответствующая высказыванию “Этот треугольник прямоугольный или
косоугольный”. Эта формула истинна и тогда, когда треугольник
прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный.
Тавтология -
тождественно истинная формула, или формула
принимающая значение "истина" ("1") при любых
входящих в нее значениях переменных.
Логически истинные
высказывания -
высказывания, которые формализуются тавтологиями.
В качестве
другого примера рассмотрим формулу А &A,
которой соответствует, например, высказывание “Катя самая высокая девочка в
классе, и в классе есть девочки выше Кати”. Очевидно, что эта формула
ложна, так как либо А, либо A
обязательно ложно.
Противоречие -
тождественно ложная формула, или
формула
принимающая значение "ложь" ("0") при любых
входящих в нее значениях переменных.
Логически ложные
высказывания
- высказывания, которые формализуются противоречиями.
Равносильные формулы - две
формулы А и В принимающие одинаковые значения, при одинаковых
наборах значений входящих в них переменных.
Равносильность двух формул алгебры
логики обозначается символом .
Равносильное
преобразование формулы - замена формулы другой, ей равносильной.
Таблицы
истинности.
Таблицу,
показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех
сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания.
Составные высказывания в алгебре
логики записываются с помощью логических выражений. Для любого логического
выражения достаточно просто построить таблицу истинности.
Алгоритм
построения таблицы истинности:
1.
Подсчитать количество переменных n в логическом
выражении.
2.
Определить число строк в таблице, которое равно m =
2n.
3.
Подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить
количество столбцов в таблице: количество переменных + количество операций =
количество столбцов.
4. Ввести
названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения
логических операций с учетом скобок и приоритетов.
5. Заполнить
стобцы входных переменных наборами значений.
6. Провести
заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в
соответствии с установленной в п.4 последовательностью.
Наборы входных переменных, во
избежание ошибок, рекомендуют перечислять следующим образом:
а) разделить
колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки
нулями (ложь), а нижнюю единицами (истина);
б) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и
заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц, начиная с
группы нулей;
в) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и
т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы
нулей и единиц не будут состоять из одного символа.
Пример: для
формулы построить
таблицу истинности.
Решение
Количество логических переменных 3,
следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 23=8.
Количество логических операций в
формуле 5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно
быть 3+5=8.
2.5. Основные законы логики.
Пусть высказывание A равносильно высказыванию B, тогда можно
записать A B.
В алгебре логики выполняются следующие основные законы,
позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений.
1. Законы коммутативности:
2. Законы ассоциативности:
3. Законы дистрибутивности:
4. Законы де Моргана:
5. Законы поглощения:
6. Закон противоречия:
7. Закон исключенного третьего:
8. Закон двойного отрицания:
9. Закон контрпозиции:
В алгебре логики доказано, что любую логическую функциюможно
выразить через комбинацию логических операций отрицание
("не"), конъюнкцию
("и") и дизъюнкцию
("или").
Импликацию
можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:
.
Эквиваленцию
можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.