ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ СУММИРОВАНИЯ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

УДК 517. 521

ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ СУММИРОВАНИЯ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Алексеева Е.Е.

Аннотация

Анализ математического знания позволяет утверждать, что  понятие суммы расходящегося ряда применимо в математике только в различных обобщённых смыслах. В статье автор показывает, что к так называемым, «обобщённым смыслам» отнесено множество методов суммирования расходящихся рядов, это  и суммирование по методу Пуассона ― Абеля, суммирование по Эйлеру, суммирование по Чезаро, по  Гёльдеру, по Вороному.  Очевидно, что   обобщённая сумма ряда, если её удаётся получить, имеет особый смысл, отличный от обычного смысла. Тогда  таких «особых смыслов» можно придумать сколь угодно много. В связи с этим встаёт  вопрос выбора,  какому из  “особых смыслов” отдать предпочтение и почему. Обычный же смысл не создаёт таких проблем в силу своей однозначности.  Оценивая цель и способы суммирования расходящихся рядов в особых смыслах, автор делает вывод, что  всё это в обычном смысле похоже на подгонку неразрешимой задачи любой ценой под заранее известный ответ. В статье доказано, что если ряд получен разложением функции, которая имеет конкретное значение, значит, и ряд должен иметь это же значение. Если ряд не даёт такой же суммы, то это  означать то, что форма, в которой он представлен, не соответствует требованиям, обеспечивающим решение задачи. В этом случае,  возможно, только произвести эквивалентное преобразование производящей функции таким образом, чтобы вновь полученный ряд — эквивалент воспроизводил эту функцию и позволял правильно вычислять её действительное значение.

Ключевые слова: числовой ряд; сумма ряда: сумма расходящегося ряда; требования.

THE MAIN REQUIREMENTS OF SUMMATION OF DISPERSING RANKS

Alekseeva E.E.

Abstract    

The analysis of mathematical knowledge allows to claim that the concept of the sum of a dispersing row is applicable in mathematics only in the various generalized meanings. In article the author shows that to so-called, to "the generalized meanings" the set of methods of summation of dispersing ranks, it and summation on Poisson's method ― Abel, summation according to Euler, summation according to Cesaro, according to Holder, on Black is carried. It is obvious that the generalized sum of a row if it manages to be received makes special sense, other than usual sense. Then such "special meanings" it is possible to think up as is wished much. In this regard there is a question of a choice what of "special meanings" to prefer and why. The usual sense doesn't create such problems owing to the unambiguity. Estimating the purpose and ways of summation of dispersing ranks in special meanings, the author draws a conclusion that all this in usual sense is similar to adjustment of an unsoluble task at any cost under in advance known answer. In article it is proved that if a row is received by decomposition of function which has concrete value, so and a row has to have the same value. If a row doesn't give the same sum, it to mean that the form in which it is presented, doesn't conform to the requirements providing the solution of a task. In this case, probably, only to make equivalent transformation of making function so that again received row — an equivalent reproduced this function and allowed to calculate its valid value correctly.

Keywords: numerical row; row sum: the sum of a dispersing row; requirements.

Современная математика оперирует понятием суммы расходящегося ряда в различных обобщённых смыслах. В этом, так называемом, «обобщённом смысле» предложено множество методов суммирования расходящихся рядов. Говоря о таких методах суммирования, всегда добавляют для ясности название метода суммирования, например, суммирование по методу Пуассона ― Абеля, суммирование по Эйлеру, суммирование по Чезаро и т.д.

Суммирование расходящихся рядов в обычном смысле слова не производится, поскольку они не имеют конечной суммы. В этом смысле полезно обратиться к истории развития понятий о сходящихся и расходящихся рядах.

Л. Эйлер в статье «О расходящихся рядах» (1754 - 1755г.г.) называет ряд «сходящимся» если его члены стремятся к нулю, и расходящимся ― в противном случае [6]. Он подчёркивает, что частичные суммы далеко не всегда являются всё более и более точными приближениями к сумме ряда. Напротив, возможны случаи, когда частичные суммы, чем дальше, тем больше отличаются от «суммы ряда». По Эйлеру, «сумма» ряда есть числовое значение той функции, из разложения которой ряд получается. Так, замечая, что ряд  получается из разложения гиперболической функции , он приписывает ряду  при () «сумму» . Следуя Эйлеру, ряду  при () нужно приписать сумму , а ряду  при () сумму  и т.п.

В письме к Гольдбаху (1745г.) Эйлер рассказывает о довольно сложных выкладках, с помощью которых он нашёл, что сумма ряда  есть число равное 0,5963475922. К Эйлеру в этом смысле примыкает и Ж. Лагранж, приписывавший (1770г.) каждому ряду с членами, стремящимися к нулю, т.е. «сходящемуся» в смысле Эйлера, определённую сумму.

Здесь видно, что в термин «сходимость» Эйлер вкладывал другой смысл, отличный от современного. Правда, уже в то время [6] встречались определения сходимости, звучащие совсем по-современному. Так, в одной работе английского математика Варинга (1781г.) можно прочитать: «Если в " суммы    стремятся к конечной величине, к которой они подходят ближе, чем любая заданная разность, то ряд сходится». Однако, эта работа не была оценена по достоинству и не оказала существенного влияния на развитие теории рядов того времени.

Норвежский математик Н. Абель в своём письме к другу Хольмбое писал: «Расходящиеся ряды в целом, дьявольское измышление, и это позор, что позволяют основывать на них какое бы то ни было доказательство. Если ими пользоваться, то можно прийти к чему угодно, и это они производят столько затруднений и парадоксов. Можно ли представить себе более отвратительное, чем когда говорят, что

где - целое положительное число. Ну, разве это не смехотворно?»

Как видно, суждения великих математиков относительно суммы расходящегося ряда различны.

Казалось бы, можно понять утверждение Эйлера, что ряд, полученный разложением функции, должен давать при вычислениях тот же результат, что и сама функция. Однако этого не происходит в зоне расходимости ряда.

В то же время можно понять негодование Абеля на очевидную несуразность, когда сумме расходящегося ряда приписывается конечная величина.

Для определения сумм расходящихся рядов математики начали искать способы суммирования этих рядов, позволяющие получить тот же результат, который даёт функция , разложением которой этот ряд получен. Естественно, что за истинное значение принимается величина, полученная из непосредственного расчёта значения функции , а для расходящегося ряда, полученного её разложением, придумывается методика (обобщённая) вычисления суммы, дающая такой же самый результат.

Такое искусственное согласование изначально не согласующихся результатов обставляется рядом требований, которые позволяют назвать методику обобщённой.

Первое требование состоит в том, чтобы обобщённое понятие суммы включало в себя обычное понятие суммы. Это означает, что ряд, сходящийся в обычном смысле слова и имеющий обычную сумму , должен иметь обобщённую сумму, и при том так же равную . Метод суммирования, обладающий указанным свойством, называется регулярным.

Второе требование к обобщённой сумме состоит в том, что если ряд имеет обобщённую сумму , а ряд   имеет обобщённую сумму , то ряд , где  и - любые постоянные, имеет обобщённую сумм                 (). Метод, удовлетворяющий указанному условию, называют линейным. В анализе и его приложениях, как правило, имеют дело лишь с регулярными линейными методами суммирования.

Суммирование расходящихся рядов методом Пуассона-Абеля.

Суть метода состоит в следующем. По данному числовому ряду () строится степенной ряд

Если этот ряд для  0<x<1 сходится и его сумма  при  имеет предел

то число  называют «обобщенной (в смысле Пуассона - Абеля) суммой» данного ряда.

Знакочередующийся ряд

имеет при 0<x<1 сумму , которая при  стремится к пределу равному .  Это и есть обобщённая сумма по Пуассону - Абелю.

Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических Чезаро.

В простейшей постановке этот метод разработан Фробениусом, но развитие этому методу дал итальянский математик Чезаро.

Ряд суммируем методом Чезаро, если существует предел средних арифметических частичных сумм этого ряда

,

при этом предел называется обобщённой в смысле Чезаро суммой ряда. К примеру, суммирование по этой формуле заведомо расходящегося (неопределённого) ряда

даёт сумму .

Суммирование расходящихся рядов по методу Бореля

Суть метода заключается в том, что по ряду () и его частичным суммам  строится выражение

Если последний ряд сходится хотя бы для достаточно больших значений , и его сумма при  имеет предел , то это число и является «обобщённой суммой» в смысле Бореля для данного ряда ().

Интерпретация обобщённых методов суммирования  расходящихся рядов

Кроме выше указанных методов суммирования расходящихся рядов известны так же обобщённые методы суммирования расходящихся рядов Эйлера, Гёльдера, Вороного и др.

Полученная обобщённая сумма ряда, если её удаётся получить, имеет особый смысл, отличный от обычного смысла. Это всегда подчёркивается при вычислении сумм расходящихся рядов.

Здесь можно подчеркнуть, что таких «особых смыслов» можно придумать неограниченное количество. В связи с этим встаёт очередной вопрос о том, какому из этих “особых смыслов” отдать предпочтение и почему. Обычный же смысл не создаёт таких проблем в силу своей однозначности. Видимо, «обычный смысл», не позволяющий суммировать расходящиеся ряды, в отличие от всех остальных, и является тем самым смыслом, который привычно называется здравым смыслом.

Оценивая цель и способы суммирования расходящихся рядов в особых смыслах, можно заметить, что всё это в обычном смысле похоже на подгонку неразрешимой задачи любой ценой под заранее известный ответ. Такие “методы” решения задач безжалостно искореняются уже в начальной школе.

Совершенно очевидно, что суммирование расходящихся рядов в обобщённых смыслах появилось, прежде всего, из-за отсутствия способов определения суммы этих рядов в самом обычном смысле слова. Можно даже предположить, что этих обобщённых методик не появилось бы вообще, если бы сразу была решена задача тождественного преобразования расходящегося ряда к ряду, сходящемуся в обычном смысле слова. Неограниченное число суммирующих функций и «особых смыслов» в отношении к одному и тому же объекту исследования, а именно, расходящемуся ряду не столько обогащает математику, сколько уводит её от обыкновенного здравого смысла, практики и реального мира.

Если ряд получен разложением функции, которая имеет конкретное значение, значит, и ряд должен иметь это же значение. Если ряд не даёт такой же суммы, то это должно означать то, что форма, в которой он представлен, не соответствует требованиям, обеспечивающим решение задачи. В этом случае нельзя предложить ничего другого кроме попытки произвести эквивалентное преобразование производящей функции таким образом, чтобы вновь полученный ряд — эквивалент воспроизводил эту функцию и позволял правильно вычислять её действительное значение.[1]

Такая постановка вопроса означает поиск адекватных средств воспроизводства значений заданной функции с помощью рядов во всей области существования этой функции.

Список литературы

1.                       Е.Е. Алексеева, Е.М. Лушников. Проблемы и решения в теории рядов. Калининград. Изд.„Янтарный сказ”. 2004. 256c.

2.                       И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 2. М.: Высшая школа, 2002. 712с.

3.                       Е.А. Власова. Ряды. Выпуск 9 М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 612с.

4.                        Н.Н. Воробьёв. Теория рядов. 6-е издание, стереотипное. СПб.: Издательство «Лань», 2002.  408с.

5.                       Е.М. Лушников. Двойственность ряда Тейлора. XVI Международная конференция МГУ им. Ломоносова. Тезисы докладов Том 2. „Математика, Компьютеры, Образование”. Москва - Пущино2009. Стр.534.

6.                       А.И. Маркушевич. Ряды. М.: Наука, 1979. 190с.

References

1.        E.E. Alekseeva, E.M. Lushnikov. Problemy i reshenija v teorii rjadov. [Problems and decisions in the theory of ranks.] Kaliningrad.:  „Jantarnyj skaz”. 2004. 256c.

2.      I.A. Vinogradova, S.N. Olehnik, V.A. Sadovnichij. Zadachi I prazhnenija po matematicheskomu analizu. [Tasks and exercises according to the mathematical analysis.] Book 2. M.: The higher school,  2002. 712s.

3.      E.A. Vlasova. Rjady.[ Ranks.] Issue 9 M.: Ed. MGTU  Bauman, 2002. 612s.

4.      N.N. Vorob'jov, Teorija rjadov. 6-e izdanie, stereotipnoe. [Theory of ranks.]  the 6th edition, stereotyped. SPb.: Publishing House «LAN»2002.  408s.

5.      E.M. Lushnikov. Dvojstvennost' rjada Tejlora. [Duality of a number of Taylor.] The XVI international conference of the Moscow state University. Lomonosov Moscow state University. Abstracts of The 2. „Mathematics, Computers, Education”. Moscow - Pushchino 2009. Str.534.

6.      A.I. Markushevich. Rjady.[ Rows] M.: Nauka, 1979. 190s.

ДАННЫЕ ОБ АВТОРЕ

Алексеева Елена Евгеньевна, доцент кафедры высшей математики, кандидат педагогических наук

Балтийская государственная академия рыбопромыслового флота

ул. Молодежная, д.4, г. Калининград, 236000, Россия

e-mail:[e-mail]

DATA ABOUT THE AUTHOR

Alekseeva Elena Evgenevna, the senior lecturer of chair of higher mathematics, the candidate of pedagogical sciences

The Baltic state academy of fishery fleet

Street Youth,4, Kaliningrad, 236000, Russia

e-mail:[e-mail]

Рецензент:

Бугакова Н.Ю.  зав каф. БГАРФ, доктор педагогических наук, профессор БГАРФ, г. Калининград