Подготовка
к ГИА (ОГЭ и ЕГЭ) по математике: задачи на проценты:
Вспомним, что:
1% – это одна сотая
часть, записывается как 0,01
2% – это две сотых,
записывается как 0,02
Значит 56% – это пятьдесят
шесть сотых (0,56) и так любой процент.
Например, 10% = 0,1 от какой-либо
величины
Например, если выразить в долевом
отношении 25% от килограмма конфет, то это будет одна четверть от килограмма.
Части (доли) могут быть представлены не только в виде обыкновенной дроби, но и
в виде десятичной, например: 0,25; 0,6; 0,05; 0,56.
Что такое дробь (часть)
от числа? Когда мы говорим: «одна четверть от х» — это значит, что дробь ¼
умножаем на величину х.
«2% от 60 минут»
означает, что 0,02 надо умножить на 60.
Чтобы
найти дробь (или часть) от числа, надо дробь (часть) умножить
на это число.
Задачи
на проценты решаются
путём составления пропорции. Напомним, что пропорция — это равенство вида:
это разная форма записи.
Основное правило пропорции:
произведение крайних членов равно произведению средних, то есть a∙d = b∙c
Если какая-либо величина
в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу.
Например, из пропорции:
Для кого-то будет удобным следующее
правило. Его ещё называют «правило креста». Чтобы обойтись без лишних записей и
вы не задумывались в дальнейшем, как правильно посчитать и не ошибиться,
запомните – где бы в пропорции не стоял х, его мы находим следующим
образом:
записываем х, ставим знак равенства, далее
дробь, в числитель записываем произведение известных членов стоящих по
диагонали, в знаменатель то значение, которое стоит по диагонали от х.
Название этого правила исходит от пересечения
диагоналей, они образуют крест:
Кроме того, можно обойтись без этого
правила, и решать пропорцию как простое линейное уравнение (имеем право
умножать или делить обе части уравнения на одно и то же число):
Как видим результат тот же. Или
такую пропорцию:
Для решения используйте тот способ,
который вам удобен. Чтобы составить пропорцию при решении задач на проценты,
необходимо установить некоторое соответствие между процентами и количеством
чего-либо (рубли, детали, шубы, изделия и т.п.). По рассмотренным примерам вы
это поймёте, что это значит.
ЗАПОМНИМ ВАЖНОЕ ПРАВИЛО:
за 100% принимается
та величина , с которой мы сравниваем.
Примеры
задач на проценты.
Задача
1. Вода составляет 76% картофеля. Сколько килограммов воды в 35 кг картофеля?
Решение. Вода
составляет 76% от 35 кг. По правилу нахождения процентов от данного числа (чтобы найти проценты от данного числа нужно обратить проценты в
десятичную или обыкновенную дробь, а затем умножить данное число на эту дробь)
получаем 0,76∙35=26,6 кг.
Ответ: в 35 кг картофеля содержится 26,6 кг воды.
Задача
2.
В
классе 28 учеников. 75% из них занимаются спортом. Сколько учеников в классе
занимаются спортом?
Решение. Так
как 75%=0,75, то умножая число 28 на дробь 0,75 получаем: 0,75·28=21.
Получается,
что 21 человек посещает спортивные кружки.
Ответ: 21 ученик в классе занимается спортом.
Задача
3. В классе 20 человек. Контрольную работу по математике 25% учащихся
написали на «5», 35 % написали на «4», 10% всех учащихся получили «2». Сколько
пятерок, четверок, троек и двоек получил класс?
Решение. Количество
пятерок составляет 25% от 20. По правилу нахождения процентов от данного числа это 0,25∙20=5 учащихся. Четверки
получили 35% от 20. Это 0,35∙20=7 учащихся. Двоек 10%. Это 1/10 часть от
20 учащихся, т.е. 2 человека. Остальные учащиеся получили оценку «3». Их
20-5-7-2=6 человек.
Ответ: оценку
«5» получило 5 учащихся; оценку «4» получили 7 учащихся; оценку «3» получило 6
учащихся и оценку «2» получили 2 ученика.
Задача
4. В школьной библиотеке 5780 учебников, что составляет 85% всех книг,
имеющихся в библиотеке. Сколько всего книг в школьной библиотеке?
Решение. Потребуется
найти число по его процентам. Применяем правило нахождения числа по его
процентам (чтобы найти число по его
процентам нужно обратить проценты в десятичную дробь, а затем разделить данное
число на эту дробь). 1) 85%=0,85; 2)
5780:0,85=578000:85=6800 книг.
Ответ: всего
в библиотеке 6800 книг.
Задача
5. Токарю нужно было сделать 120 деталей, но он перевыполнил план на 10%.
Сколько деталей изготовил токарь?
Решение. 10%
от 120 деталей – это одна десятая часть от 120, т.е. это 12 деталей. Токарь
изготовил 120+12=132 детали.
Ответ: 132
детали изготовил токарь.
Задача
6. Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму
нужно выполнить заказ, чтобы заработать 2000 рублей?
Решение. 2000
рублей – это 5% от заказа. Число (все его 100%) по его процентам мы найдем по
правилу нахождения числа по его процентам. Обращаем 5% в десятичную дробь и
делим 2000 на эту дробь. 1) 5%=0,05; 2) 2000:0,05=200000:5=40000.
Ответ: заказ
должен быть на сумму 40000 рублей.
Задача
7. После уценки на 10% цена холодильника стала 11430 рублей. Какова была
цена холодильника до уценки?
Решение. Имеем:
11430 рублей – это 90% от начальной цены холодильника. Находим число по его
процентам. 1) 90%=0,9; 2) 11430:0,9=114300:9=12700 рублей.
Ответ: до
уценки холодильник стоил 12700 рублей.
Задача
8. Сколько процентов число 36 составляет от 48?
Решение. По соответствующему
правилу: чтобы
найти, сколько процентов составляет первое число от второго нужно первое число
разделить на второе и результат умножить на 100% —
записываем:
Ответ: 75%
составляет число 36 от числа 48.
Задача
9. За 1 час станок-автомат изготовлял 240 деталей. После реконструкции
этого станка он стал изготовлять в час 288 таких же деталей. На сколько
процентов повысилась производительность станка?
Решение. Производительность
станка повысилась на 288-240=48 деталей в час. Нужно узнать, сколько процентов
от 240 деталей составляют 48 деталей. Для того чтобы узнать, сколько процентов
число 48 составляет от числа 240 нужно число 48 разделить на 240 и результат
умножить на 100%.
Ответ: производительность станка повысилась на 20%.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.