Инфоурок / Алгебра / Конспекты / ОСНОВНЫЕ И НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

ОСНОВНЫЕ И НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

hello_html_556b8ad3.gifhello_html_5f9344e.gifhello_html_m2f26c0ce.gifhello_html_m369743df.gifhello_html_m5a7b2526.gif







10 класс: ОСНОВНЫЕ И НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ






Лобышева Ирина Сергеевна,

учитель математики 1 категории

МБОУ СОШ №51







Улан-Удэ, БРИОП

2014

Оглавление


1.ВВЕДЕНИЕ

2.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Элементарные тригонометрические уравнения

Введение вспомогательного аргумента

Схема решения тригонометрических уравнений

Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений

Разложение на множители

Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

Решение уравнений с применением формул понижения степени

Решение уравнений с применением формул тройного аргумента

Равенство одноименных тригонометрических функций

Домножение на некоторую тригонометрическую функцию

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим

3.НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Использование ограниченности функций

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

Решение с исследованием функции

4.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Решение тригонометрических неравенств графическим методом

5.ОТБОР КОРНЕЙ

6.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

7.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.ВВЕДЕНИЕ


В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом <<исчисление хорд>>. Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции.

Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических --- бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.


2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Элементарные тригонометрические уравнения

Элементарные тригонометрические уравнения --- это уравнения вида hello_html_5817e667.gif, где hello_html_m66d56803.gif --- одна из тригонометрических функций: hello_html_7f328cc2.gif, hello_html_m68583bf5.gif, hello_html_m54888717.gif, hello_html_m54888717.gif.

Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению hello_html_146bace2.gif удовлетворяют следующие значения: hello_html_m65b92721.gif, hello_html_263742a9.gif, hello_html_m6362f9c1.gif, hello_html_m47ec1d3d.gif и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения hello_html_b3fec27.gif, где hello_html_5129c98e.gif, такова:

hello_html_m50687e0.gif


Здесь hello_html_m5bc7406f.gif может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) hello_html_m5bc7406f.gif называют параметром. Записывают обычно hello_html_m248e9dc0.gif, подчеркивая тем самым, что параметр hello_html_m5bc7406f.gif принимать любые целые значения.

Решения уравнения hello_html_45a9c41e.gif, где hello_html_5129c98e.gif, находятся по формуле

hello_html_77ee0407.gif


Уравнение hello_html_28d93bd5.gif решается применяя формулу hello_html_m1fa47292.gif

а уравнение hello_html_28d93bd5.gif по формуле hello_html_aa3da9b.gif


Особо отметим некоторые частные случаи элементраных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:


hello_html_5fe67af2.gif

hello_html_m3cd28ce1.gif

hello_html_m3a3faf5.gif

hello_html_m4920ac09.gif

hello_html_m1ba5d502.gif

hello_html_m6aab6cf7.gif


При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:

Теорема Если hello_html_71b36172.gif --- основной период функции hello_html_m66d56803.gif, то число hello_html_m748b5d6b.gif является основным периодом функции hello_html_m7bbfe2da.gif.

Периоды функций hello_html_m55e163e5.gif и hello_html_m4cbbf510.gif называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа hello_html_m6cdf43c.gif и hello_html_m5bc7406f.gif, что hello_html_29b5392.gif.

Теорема Если периодические функции hello_html_82507d3.gif и hello_html_499ccd5c.gif, имеют соизмеримые hello_html_m55e163e5.gif и hello_html_m4cbbf510.gif, то они имеют общий период hello_html_29b5392.gif, который является периодом функций hello_html_m6fa6bae9.gif, hello_html_5713791f.gif, hello_html_8aef7f8.gif.

В теореме говорится о том, что hello_html_71b36172.gif является периодом функции hello_html_m6fa6bae9.gif, hello_html_5713791f.gif, hello_html_8aef7f8.gif, и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций hello_html_m68583bf5.gif и hello_html_7f328cc2.gif --- hello_html_3a9eaeb4.gif, а основной период их произведения hello_html_m54b119f2.gif.


Введение вспомогательного аргумента


Стандартным путем преобразования выражений вида hello_html_m5c04a5e.gif является следующий прием: пусть hello_html_m3adf1212.gif --- угол, задаваемый равенствами hello_html_m388d8f69.gif, hello_html_m701fea69.gif. Для любых hello_html_6abe6292.gif и hello_html_m7c3507f9.gif такой угол существует. Таким образом hello_html_m61a39c17.gif. Если hello_html_m1c9dd0fd.gif, hello_html_4d8d7d03.gif или hello_html_m1c9dd0fd.gif, hello_html_56285284.gif, hello_html_3db2f593.gif, в других случаях hello_html_m19e03803.gif.


Схема решения тригонометрических уравнений


Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:

решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения - преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип - не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага --- замены переменных --- превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения hello_html_65a37e27.gif ответ может быть записан следующим образом:

1) в виде двух серий: hello_html_2f8d94ab.gif, hello_html_243d03de.gif, hello_html_4cd843a.gif;

2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: hello_html_m355b0345.gif, hello_html_4cd843a.gif;

3) поскольку hello_html_m3ac81db0.gif, то ответ можно записать в виде hello_html_195b58c4.gif, hello_html_4cd843a.gif. (В дальнейшем наличие параметра hello_html_2909300e.gif, hello_html_m5bc7406f.gif, hello_html_m6cdf43c.gif или hello_html_m1a84a6a.gif в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.)

Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).

Например, при hello_html_m4749ca1c.gif справедливо равенство hello_html_7efde543.gif. Следовательно, в двух первых случаях, если hello_html_66903507.gif, мы можем заменить hello_html_m75a75fce.gif на hello_html_7efde543.gif.

Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения hello_html_b3fec27.gif работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения hello_html_45a9c41e.gif.)

Рассмотрим пример иллюстрирующий сказанное.


Пример Решить уравнение hello_html_3fdfd80b.gif.


Решение. Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два: hello_html_16e3700d.gif и hello_html_4b242803.gif. Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем hello_html_m30bd1b95.gif.

Другой путь. Поскольку hello_html_52c3f7b2.gif, то, заменяя hello_html_629e9a59.gif и hello_html_m82a3d3e.gif по формулам понижения степени. После небольших преобразований получим hello_html_m2028c1b1.gif, откуда hello_html_m8c33ea5.gif.

На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако, если возьмем, например, hello_html_m16c78b9b.gif, то окажется, что hello_html_m3ea7cdb2.gif, т.е. уравнение hello_html_1522e471.gif имеет решение hello_html_709e623f.gif, в то время как первый способ нас приводит к ответу hello_html_m6a64eb81.gif. "Увидеть" и доказать равенство hello_html_5dd5ed4b.gif не так просто.

Ответ. hello_html_m30bd1b95.gif.

Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений

Будем рассматривать арифметическую прогрессию, бесконечно простирающуюся в обе стороны. Члены этой прогресссии можно разбить на две группы членов, располагающиеся вправо и влево от некоторого члена, называемого центральным или нулевым членом прогрессии.

Фиксируя один из членов бесконечной прогрессиии нулевым номером, мы должны будем вести двойную нумерацию для всех оставшихся членов: положительную для членов, расположенных вправо, и отрицательную для членов, расположенных влево от нулевого.

В общем случае, если разность прогрессии hello_html_5d22f298.gif, нулевой член hello_html_m46366c3d.gif, формула для любого (hello_html_m5bc7406f.gif-го) члена бесконечной арифметической прогрессии представляет вид:

hello_html_5fc63df0.gif


Преобразования формулы для любого члена бесконечной арифметической прогрессии


1. Если к нулевому члену hello_html_m46366c3d.gif прибавить или отнять разность прогрессии hello_html_5d22f298.gif, то от этого прогрессия не изменится, а только переместится нулевой член, т.е. изменится нумерация членов.

2. Если коэффициент при переменной величине hello_html_m5bc7406f.gif умножить на hello_html_6024aa04.gif, то от этого произойдет лишь перестановка правой и левой групп членов.

3. Если hello_html_m6cdf43c.gif последовательных членов бесконечной прогрессии hello_html_m641a909b.gif

например hello_html_m46366c3d.gif, hello_html_mf9556f0.gif, hello_html_m4a3b2ae0.gif, ..., hello_html_480ba63d.gif, сделать центральными членами hello_html_m6cdf43c.gif прогрессий с одинаковой разностью, равной hello_html_18c1cc3d.gif:

hello_html_m32655b3e.gif

то прогрессия Error: Reference source not found и ряд прогрессий Error: Reference source not found выражают собой одни и те же числа.

Пример Ряд hello_html_m5fd0cd61.gif может быть заменен следующими тремя рядами: hello_html_m7d8f490e.gif, hello_html_11927885.gif, hello_html_42e9e944.gif.

4. Если hello_html_m6cdf43c.gif бесконечных прогрессий с одинаковой разностью hello_html_m1aa3db4f.gif имеют центральными членами числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью hello_html_23402b72.gif, то эти hello_html_m6cdf43c.gif рядов могут быть заменены одной прогрессией с разностью hello_html_23402b72.gif, и с центральным членом, равным любому из центральных членов данных прогрессий, т.е. если

hello_html_ed975fa.gif

то эти hello_html_m6cdf43c.gif прогрессий объединяются в одну: hello_html_721f5092.gif


Пример hello_html_m43b7b1e2.gif, hello_html_233af113.gif, hello_html_m2e74859.gif, hello_html_72f96716.gif обе объединяются в одну группу hello_html_26410486.gif, так как hello_html_m3aecb2b.gif.

Для преобразования групп, имеющих общие решения, в группы, общих решений не имеющие данные группы разлагают на группы с общим периодом, а затем стремяться объединить получившиеся группы, исключив повторяющиеся.


Разложение на множители


Метод разложения на множетели заключается в следующем: если

hello_html_6aceb16d.gifто всякое решение уравнения hello_html_4a7f97c7.gif является решение совокупности уравнений hello_html_m21f98929.gif ()

Обратное утверждение, вообще говоря неверно: не всякое решение совокупности является решением уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений могут не входить в область определения функции hello_html_m66d56803.gif.


Пример Решить уравнение hello_html_632a7b45.gif.

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде hello_html_22630585.gif

Ответ. hello_html_53310420.gif; hello_html_12ef5d40.gif.


Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Пример Решить уравнение hello_html_m7ec682b2.gif.

Решение. Применим формулу Error: Reference source not found, получим равносильное уравнение

hello_html_m453bf56d.gif

Ответ. hello_html_m4c2e630.gif.

Пример Решить уравнение hello_html_m40c56deb.gif.

Решение. В данном случае, прежде чем применять формулы суммы тригонометрических функций, следует использовать формулу приведения hello_html_m17450b6a.gif. В итоге получим равносильное уравнение

hello_html_12975f11.gif

Ответ. hello_html_395c70c1.gif, hello_html_m56f5111c.gif.


Решение уравнений приобразованием произведения тригонометрических функций в сумму


При решении ряда уравнений применяются формулы.

Пример Решить уравнение hello_html_2a1cccf3.gif

Решение. Применив формулу Error: Reference source not found, получим равносильное уравнение:

hello_html_52bafa9b.gif


Ответ. hello_html_m44333b8e.gif, hello_html_79726349.gif.

Пример Решить уравнение hello_html_m6b9b2668.gif.


Решение. Применив формулу Error: Reference source not found, получим равносильное уравнение:

hello_html_4f6edc31.gif.

Ответ. hello_html_204869e4.gif.


Решение уравнений с применением формул понижения степени

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы.

Пример Решить уравнение hello_html_215003b2.gif.

Решение. Применяя формулу, получим равносильное уравнение. hello_html_m4ae8f9f4.gif

hello_html_m4df53ec1.gif

hello_html_79fcc634.gif

hello_html_754ca47c.gif.

Ответ. hello_html_m554edc10.gif; hello_html_76c639a4.gif.

Решение уравнений с примененнием формул тройного аргумента


Пример Решить уравнение hello_html_m45466245.gif.

Решение. Применим формулу Error: Reference source not found, получим уравнение

hello_html_4428a6a7.gif

Ответ. hello_html_11d9e0e6.gif; hello_html_796f18d4.gif.


Пример Решить уравнение hello_html_231aee56.gif.

Решение. Применим формулы понижения степени получим: hello_html_m389cbce2.gif. Применяя Error: Reference source not found получаем:

hello_html_m535a1273.gif.

Ответ. hello_html_m2163bee9.gif; hello_html_6957bf13.gif.


Равенство одноименных тригонометрических функций


hello_html_744ed442.gif

hello_html_m785c0ea6.gif

hello_html_m698735cc.gif


Пример Решить уравнение hello_html_6ec9e640.gif.

Решение. hello_html_4e3b43a9.gif

Ответ. hello_html_m2163bee9.gif, hello_html_m43e77325.gif.

Пример Решить уравнение hello_html_6a63a4fc.gif.

Решение. Преобразуем уравнение. hello_html_mcb70130.gif

Ответ. hello_html_3631fe7a.gif.


Пример Известно, что hello_html_m54888717.gif и hello_html_1071fc05.gif удовлетворяют уравнению hello_html_56faf9.gif

Найти сумму hello_html_m1c6dbaff.gif.

Решение. Из уравнения следует, что

hello_html_3763ac48.gif

hello_html_m6b48fefa.gif

Ответ. hello_html_4fc1bbe8.gif.


Домножение на некоторую тригонометрическую функцию


Рассмотрим суммы вида

hello_html_64e0db0b.gif

hello_html_m4c99f465.gif


Данные суммы можно преобразовать в произведение, домножив и разделив их на hello_html_32e1e3ac.gif, тогда получим

hello_html_m6df0e915.gif


Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней. Приведем обобщение данных формул:


hello_html_m6f8c2b1.gif

hello_html_6df7440d.gif

hello_html_m5d431df6.gif


Пример Решить уравнение hello_html_m677ccfc0.gif.

Решение. Видно, что множество hello_html_m39e5b8ec.gif является решением исходного уравнения. Поэтому умножение левой и правой части уравнения на hello_html_513ba745.gif не приведет к появлению лишних корней.

Имеем hello_html_35dee01b.gif.

Ответ. hello_html_m7c72dcf1.gif; hello_html_7fb545db.gif.


Пример Решить уравнение hello_html_m68e2c888.gif.

Решение. Домножим левую и правую части уравнения на hello_html_513ba745.gif и применив формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, пролучим hello_html_30eff12.gif

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений hello_html_1d313267.gif и hello_html_7c64f811.gif, откуда hello_html_6ae06cf2.gif и hello_html_m5cd02ef4.gif.

Так как корни уравнения hello_html_m4c628de.gif не являются корнями уравнения, то из полученных множеств решений следует исключить hello_html_5aca6d8e.gif. Значит во множестве hello_html_6ae06cf2.gif нужно исключить hello_html_5a2703ea.gif.

Ответ. hello_html_6ae06cf2.gif и hello_html_m5cd02ef4.gif, hello_html_m261fe510.gif.

Пример Решить уравнение hello_html_635a0c92.gif.

Решение. Преобразуем выражение hello_html_m1f1677c7.gif:


hello_html_m47e78bcb.gif

Уравнение запишется в виде:

hello_html_m163be582.gif

Принимая hello_html_m60022ac2.gif, получаем hello_html_m49ef632b.gif. hello_html_2742a94b.gif, hello_html_15055bcc.gif. Следовательно

Ответ. hello_html_m62eeda63.gif.

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим


Сводящиеся к квадратным

Если уравнение имеет вид hello_html_704baee6.gif

то замена hello_html_932e978.gif приводит его к квадратному, поскольку hello_html_m57837feb.gif (Error: Reference source not found) и Error: Reference source not found.

Если вместо слагаемого hello_html_m29c7e91c.gif будет hello_html_m5ad924aa.gif, то нужная замена будет hello_html_m76a11124.gif.

Уравнение hello_html_6f366928.gifсводится к квадратному уравнению

hello_html_m15a18d52.gifпредставлением hello_html_m7b945e29.gif как hello_html_368220a9.gif. Легко проверить, что hello_html_m54888717.gif при которых hello_html_45b5d7fa.gif, не являются корнями уравнения, и, сделав замену hello_html_4593554f.gif, уравнение сводится к квадратному.

Пример Решить уравнение hello_html_m66bbeb43.gif.

Решение. Перенесем hello_html_3330b0a0.gif в левую часть, заменим ее на hello_html_m64703177.gif, hello_html_758561d0.gif и hello_html_m5af3d2b.gif выразим через hello_html_m68583bf5.gif и hello_html_7f328cc2.gif.

После упрощений получим: hello_html_m85da92a.gif. Разделим почленно на hello_html_m82a3d3e.gif, сделаем замену hello_html_4593554f.gif: hello_html_m7c8ddbff.gif

Возвращаясь к hello_html_m54888717.gif, найдем hello_html_m29c94f66.gif.

Уравнения, однородные относительно hello_html_m456813e4.gif, hello_html_5202a4d5.gif

Рассмотрим уравнение вида


hello_html_m5d4bfc2a.gif ()

где hello_html_m2daf6af5.gif, hello_html_1afed80f.gif, hello_html_2f20525e.gif, ..., hello_html_4a32eb00.gif, hello_html_13d37a63.gif --- действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения степени одночленов равны hello_html_m5bc7406f.gif, т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна hello_html_m5bc7406f.gif. Такое уравнение называется однородным относительно hello_html_7f328cc2.gif и hello_html_m68583bf5.gif, а число hello_html_m5bc7406f.gif называется показателем однородности.

Ясно, что если hello_html_302198b9.gif, то уравнение примет вид:

hello_html_5b7c01f0.gif

решениями которого являются значения hello_html_m54888717.gif, при которых hello_html_45b5d7fa.gif, т. е. числа hello_html_m4efd854d.gif, hello_html_m248e9dc0.gif. Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.

Если же hello_html_1377cac3.gif, то эти числа не являются корнями уравнения .

При hello_html_m4efd854d.gif получим: hello_html_45b5d7fa.gif, hello_html_m41eced4b.gif и левая часть уравнения (1) принимает значение hello_html_1d05b530.gif.

Итак, при hello_html_1377cac3.gif, hello_html_689911e4.gif и hello_html_m139edb27.gif, поэтому можно разделить обе части уравнения на hello_html_5d924f7c.gif. В результате получаем уравнение:


hello_html_m42c47d34.gif


которое, подстановкой hello_html_5939314f.gif легко сводится к алгебраическому:


hello_html_3e03d573.gif


Однородные уравнения с показателем однородности 1. При hello_html_m7ce61538.gif имеем уравнение hello_html_m2c6b5a35.gif.

Если hello_html_m6a57ae2d.gif, то это уравнение равносильно уравнению hello_html_1a438afa.gif, hello_html_1774963.gif, откуда hello_html_500be921.gif, hello_html_m248e9dc0.gif.


Пример Решите уравнение hello_html_m2b3c828f.gif.

Решение. Это уравнение однородное первой степени hello_html_m139edb27.gif. Разделим обе его части на hello_html_m68583bf5.gif получим: hello_html_m5e053482.gif, hello_html_79129a72.gif, hello_html_8998aa1.gif, hello_html_m248e9dc0.gif.

Ответ. hello_html_m1e5d5c4b.gif.


Пример При hello_html_m5a283ed3.gif получим однородное уравнение вида

hello_html_135de31a.gif

Решение.

Если hello_html_m6a57ae2d.gif, тогда разделим обе части уравнения на hello_html_m82a3d3e.gif, получим уравнение hello_html_1ce06e18.gif, которое подстановкой hello_html_5939314f.gif легко приводится к квадратному: hello_html_7abbf016.gif. Если hello_html_m674ec0b2.gif, то уравнение имеет действительные корни hello_html_1f6f5158.gif, hello_html_m1cb4d4dd.gif. Исходное уравнение будет иметь две группы решений: hello_html_76b0fd24.gif, hello_html_m3ebbe2d8.gif hello_html_3f36671b.gif, hello_html_4cd843a.gif.

Если hello_html_m54da0f73.gif, то уравнение не имеет решений.


Пример Решите уравнение hello_html_1cd6e5a3.gif.

Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на hello_html_m82a3d3e.gif, получим: hello_html_49970d82.gif. Пусть hello_html_5939314f.gif, тогда hello_html_mb903125.gif, hello_html_m55bd4b2d.gif, hello_html_m7f69cfc5.gif. hello_html_53119354.gif, hello_html_m519147af.gif, hello_html_m248e9dc0.gif; hello_html_m638ee574.gif, hello_html_me643d6e.gif, hello_html_4cd843a.gif.

Ответ. hello_html_7bbd616f.gif.

К уравнению вида сводится уравнение

hello_html_m69a1df.gif

Для этого достаточно воспользоваться тождеством hello_html_6557f932.gif

В частности, уравнение hello_html_7cd23635.gif сводится к однородному, если заменить hello_html_m7b945e29.gif на hello_html_m2f755b8f.gif, тогда получим равносильное уравнение: hello_html_m3b3a00f5.gif

hello_html_447c83bd.gif

Пример Решите уравнение hello_html_292d607a.gif.

Решение. Преобразуем уравнение к однородному:

hello_html_16c409df.gif

hello_html_m1c2f0971.gif

Разделим обе части уравнения на hello_html_m4a4fa47.gif, получим уравнение:

hello_html_m5cdf1d74.gifПусть hello_html_5939314f.gif, тогда приходим к квадратному уравнению: hello_html_m6f70fea0.gif, hello_html_2d711255.gif, hello_html_6b2283a3.gif, hello_html_f55a652.gif, hello_html_71aca6cd.gif.

hello_html_2807a992.gif

hello_html_2afc48e5.gif

Ответ. hello_html_m1816fcb6.gif.


Пример Решите уравнение hello_html_1df148fd.gif.


Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: hello_html_m70bae59.gif, hello_html_m7fe58ab7.gif,


hello_html_7e8766da.gif

hello_html_625e7b97.gif

Пусть hello_html_5939314f.gif, тогда получим hello_html_5afe23f9.gif, hello_html_46a18b9f.gif, hello_html_6226a00f.gif.

hello_html_167af7f4.gif

Ответ. hello_html_m22a13814.gif.

Уравнения, решаемые с помощью тождеств hello_html_m21dab670.gif


Полезно знать следующие формулы:

hello_html_6f8c2baf.gif()


Пример Решить уравнение hello_html_2ceb45ba.gif.

Решение. Используя , получаем

hello_html_m71a4b097.gif

hello_html_5739a122.gif

Ответ. hello_html_m424eb7f6.gif

Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода:

hello_html_26cc90ed.gif

следовательно,

hello_html_m5d6eadf7.gif.

Аналогично, hello_html_m14d9bde7.gif.


Пример Решить уравнение hello_html_635a0c92.gif.


Решение. Преобразуем выражение hello_html_m1f1677c7.gif:

hello_html_1cd2edeb.gif.

Уравнение запишется в виде:

hello_html_m163be582.gif

Принимая hello_html_m60022ac2.gif, получаем hello_html_m49ef632b.gif. hello_html_2742a94b.gif, hello_html_15055bcc.gif. Следовательно

Ответ. hello_html_m62eeda63.gif.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Тригонометрическое уравнение вида hello_html_m5af64c05.gif

где hello_html_1696f4d7.gif --- рациональная функция с помощью фомул Error: Reference source not found -- Error: Reference source not found, а так же с помощью формул Error: Reference source not found-- Error: Reference source not found можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов hello_html_7f328cc2.gif, hello_html_m68583bf5.gif, hello_html_m54888717.gif, hello_html_m54888717.gif, после чего уравнение может быть сведено к алгебраическому рациональному уравнению относительно hello_html_2b2d7223.gif с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

hello_html_6fdcc42c.gif ()

hello_html_m45fb80a9.gif ()


Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку hello_html_m67cca35b.gif не определен в точках hello_html_53310420.gif, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы hello_html_53310420.gif, корнями исходного уравнения.


Пример Решить уравнение hello_html_7b4de336.gif.

Решение. По условию задачи hello_html_55067d9e.gif. Применив формулы и сделав замену hello_html_2b2d7223.gif, получим

hello_html_m3e869af3.gif

откуда hello_html_38f424f5.gif и, следовательно, hello_html_4894c1f8.gif.


Уравнения вида hello_html_me60e83e.gif

Уравнения вида hello_html_me60e83e.gif, где hello_html_m3501f73d.gif --- многочлен, решаются с помощью замен неизвестных

hello_html_1618c96d.gif ()


Пример Решить уравнение hello_html_m4aefe863.gif.

Решение. Сделав замену и учитывая, что hello_html_m4a8afd86.gif, получим

hello_html_13fd422b.gif

откуда hello_html_m440d6dad.gif, hello_html_m5ae4f555.gif. hello_html_786687e5.gif --- посторонний корень, т.к. hello_html_43dbc1e4.gif. Корнями уравнения hello_html_m3715c157.gif являются hello_html_m6f3a3cda.gif.

3. НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Использование ограниченности функций

В практике централизованного тестирования не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций hello_html_7f328cc2.gif и hello_html_m68583bf5.gif.


Пример Решить уравнение hello_html_11e19bfd.gif.


Решение. Поскольку hello_html_m1da8c04a.gif, hello_html_mdd233db.gif, то левая часть не превосходит hello_html_m5aba914c.gif и равна hello_html_m5aba914c.gif, если hello_html_59fe15e4.gif

Для нахождения значений hello_html_m54888717.gif, удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них, затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.

Начнем со второго: hello_html_m3b90e725.gif, hello_html_7d21cdf1.gif. Тогда hello_html_m7fecae54.gif, hello_html_m808c635.gif.

Понятно, что лишь для четных hello_html_2909300e.gif будет hello_html_6dc44366.gif.

Ответ. hello_html_5cbe54bb.gif.

Другая идея реализуется при решении следующего уравнения:


Пример Решить уравнение hello_html_m17b94c07.gif.

Решение. Воспользуемся свойством показательной функции: hello_html_5744ce6d.gif, hello_html_m4001190a.gif.

Сложив почленно эти неравенства будем иметь:

hello_html_m29249659.gif

Следовательно левая часть данного уравнения равна hello_html_3330b0a0.gif тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

hello_html_32a1dd03.gif

т. е. hello_html_7f328cc2.gif может принимать значения hello_html_6024aa04.gif, hello_html_m5872f8d7.gif, hello_html_3330b0a0.gif, а hello_html_m68583bf5.gif может принимать значения hello_html_6024aa04.gif, hello_html_m5872f8d7.gif.

Ответ. hello_html_7d21cdf1.gif, hello_html_1778ee8.gif.

Пример Решить уравнение hello_html_m2febbb1f.gif.

Решение. hello_html_m605b9380.gif, hello_html_m6b167500.gif. Следовательно, hello_html_4acbd875.gif.

Ответ. hello_html_3f9d8c2b.gif.


Пример Решить уравнение

hello_html_19763220.gif ()


Решение. Обозначим hello_html_m41c36829.gif, тогда из определения обратной тригонометрической функции hello_html_m307d60b6.gif имеем hello_html_m1fc30880.gif и hello_html_m2dad84f0.gif.

Так как hello_html_69d8296e.gif, то из уравнения следует неравенство hello_html_3a02b3d8.gif, т.е. hello_html_m6edd12e7.gif. Поскольку hello_html_49873e43.gif и hello_html_m6edd12e7.gif, то hello_html_m11bb86d.gif и hello_html_m7439fc3c.gif. Однако hello_html_56ef7ffc.gif и поэтому hello_html_3f9d8c2b.gif.

Если hello_html_49873e43.gif и hello_html_3f9d8c2b.gif, то hello_html_4c0b9121.gif. Так как ранее было установлено, что hello_html_m6edd12e7.gif, то hello_html_25b19574.gif.

Ответ. hello_html_3f9d8c2b.gif, hello_html_25b19574.gif.

Пример Решить уравнение

hello_html_m2dbe3f77.gif()

Решение. Областью допустимых значений уравнения являются hello_html_1bd37a79.gif.

Первоначально покажем, что функция

hello_html_3692de48.gifпри любых hello_html_m54888717.gif может принимать только положительные значения.

Представим функцию hello_html_m5d771d71.gif следующим образом: hello_html_m12503548.gif.

Поскольку hello_html_6ab5f3a1.gif, то имеет место hello_html_1ffb7f54.gif, т.е. hello_html_1cad25bd.gif.

Следовательно, для доказательства неравенства hello_html_m1cdad36c.gif, необходимо показать, что hello_html_2ef904f7.gif. С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда

hello_html_761b859.gif

hello_html_m6fbc7829.gif

hello_html_68381525.gif

Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что hello_html_m1cdad36c.gif. Если при этом еще учесть, что hello_html_m23e97302.gif, то левая часть уравнения неотрицательна.

Рассмотрим теперь правую часть уравнения .

Так как hello_html_115027b0.gif, то

hello_html_m39665d07.gif.

Однако известно, что hello_html_3b802124.gif. Отсюда следует, что hello_html_5295ad35.gif, т.е. правая часть уравнения не превосходит hello_html_m5872f8d7.gif. Ранее было доказано, что левая часть уравнения неотрицательна, поэтому равенство в может быть только в том случае, когда обе его части равны hello_html_m5872f8d7.gif, а это возможно лишь при hello_html_53119354.gif.

Ответ. hello_html_53119354.gif.


Пример Решить уравнение

hello_html_2d079994.gif

Решение. Обозначим hello_html_m478535d9.gif и hello_html_7ee83209.gif. Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем hello_html_m54268317.gif. Отсюда следует, что hello_html_543b3d78.gif. C другой стороны имеет место hello_html_m263a48d6.gif. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ. hello_html_m1e7f047f.gif.

Пример Решить уравнение:

hello_html_m4a7a70f4.gif


Решение. Перепишем уравнение в виде:

hello_html_m2fb6b7b7.gif

Ответ. hello_html_3f9d8c2b.gif.

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

Не всякое уравнение hello_html_61a5bd8d.gif в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций hello_html_m66d56803.gif и hello_html_m761f26c3.gif, как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке hello_html_m3eca4637.gif, то при наличии у уравнения hello_html_61a5bd8d.gif корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если же функция hello_html_m66d56803.gif ограничена сверху, причем hello_html_m6d28d0eb.gif, а функция hello_html_m761f26c3.gif ограничена снизу, причем hello_html_343b6576.gif, то уравнение hello_html_61a5bd8d.gif равносильно системе уравнений hello_html_ma742c4.gif


Пример Решить уравнение

hello_html_565bd10e.gif


Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду

hello_html_1ebedaab.gif

и решим его как квадратное относительно hello_html_m54888717.gif. Тогда получим,

hello_html_5a97bcf9.gif

Решим первое уравнение совокупности. Учтя ограниченность функции hello_html_41953e15.gif, приходим к выводу, что уравнение может иметь корень только на отрезке hello_html_m12addf69.gif. На этом промежутке функция hello_html_4593554f.gif возрастает, а функция hello_html_m57cd38df.gif убывает. Следовательно, если это уравнение имеет корень, то он единственный. Подбором находим hello_html_m73a9d250.gif.

Ответ. hello_html_m77e70f05.gif.

Пример Решить уравнение

hello_html_m616f4991.gif


Решение. Пусть hello_html_530691f.gif, hello_html_m7f938186.gif и hello_html_4de18760.gif, тогда исходное уравнение можно записать в виде функционального уравнения hello_html_5a04fa2c.gif. Поскольку hello_html_530691f.gif функция нечетная, то hello_html_2cf205ba.gif. В таком случае получаем уравнение hello_html_m1668532c.gif.

Так как hello_html_m10629ec7.gif, hello_html_28ebf3f4.gif и hello_html_m66d56803.gif монотонна на hello_html_71b5860b.gif, то уравнение hello_html_m1668532c.gif равносильно уравнению hello_html_70e35e01.gif, т.е. hello_html_m1d64dfe8.gif, которое имеет единственный корень hello_html_53119354.gif.

Ответ. hello_html_53119354.gif.


Пример Решить уравнение hello_html_m9cecaae.gif.


Решение. На основании теоремы о производной сложной функции ясно, что функция hello_html_262a5a5d.gif убывающая (функция hello_html_4bd26b36.gif убывающая, hello_html_31e943da.gif возрастающая, hello_html_m76a11124.gif убывающая). Отсюда понятно, что функция hello_html_4da093f.gif определенная на hello_html_3cd9aac4.gif, убывающая. Поэтому данное уравнение имеет не более одного корня. Так как hello_html_m59b2351f.gif, то

Ответ. hello_html_m73a9d250.gif.


Пример Решить уравнение hello_html_608105fe.gif.


Решение. Рассмотрим уравнение на трех промежутках.

а) Пусть hello_html_m3b1fc371.gif. Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению hello_html_1d9d5f19.gif. Которое на промежутке hello_html_78c16687.gif решений не имеет, т. к. hello_html_m6741da63.gif, hello_html_m3aeb0f8b.gif, а hello_html_m2a7a8cd6.gif. На промежутке hello_html_m1b632586.gif исходное уравнение так же не имеет корней, т. к. hello_html_1d366480.gif, а hello_html_5153f8df.gif.

б) Пусть hello_html_7cf49c54.gif. Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

hello_html_6405c5b8.gif

корнями которого на промежутке hello_html_61fb4074.gif являются числа hello_html_28a6c024.gif, hello_html_48f5c164.gif, hello_html_39e588f3.gif, hello_html_m688a806c.gif.

в) Пусть hello_html_m6ee88748.gif. Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

hello_html_1655f57b.gif

Которое на промежутке hello_html_a95262.gif решений не имеет, т. к. hello_html_mddaed03.gif, а hello_html_38b2c339.gif. На промежутке hello_html_m21651cf0.gif уравнение так же решений не имеет, т. к. hello_html_m6741da63.gif, hello_html_1e230d6f.gif, а hello_html_m2a7a8cd6.gif.

Ответ. hello_html_m794ae267.gif, hello_html_48f5c164.gif, hello_html_39e588f3.gif, hello_html_m688a806c.gif.


Метод симметрии

Метод симметрии удобно применять, когда в формулировке задания присуствует требование единственности решения уравнения, неравенства, системы и т.п. или точное указание числа решений. При этом следует обнаружить какую-либо симметрию заданных выражений.

Нужно также учитывать многообразие различных возможных видов симметрии.

Не менее важным является четкое соблюдение логических этапов в рассуждениях с симметрией.

Обычно симметрия позволяет установить лишь необходимые условия, а затем требуется проверка их достаточности.


Пример Найти все значения параметра hello_html_6abe6292.gif, при которых уравнение hello_html_73af9300.gif имеет единственное решение.


Решение. Заметим, что hello_html_m8928d5b.gif и hello_html_m48b22f3f.gif --- четные функции, поэтому левая часть уравнения есть четная функция.

Значит если hello_html_64242a0f.gif --- решение уравнения, то hello_html_m68278b6b.gif есть также решение уравнения. Если hello_html_64242a0f.gif --- единственное решение уравнения, то, необходимо, hello_html_50e3a602.gif.

Отберем возможные значения hello_html_6abe6292.gif, потребовав, чтобы hello_html_3f9d8c2b.gif было корнем уравнения.

hello_html_38df16cf.gif

Сразу же отметим, что другие значения hello_html_6abe6292.gif не могут удовлетворять условию задачи.

Но пока не известно, все ли отобранные hello_html_6abe6292.gif в действительности удовлетворяют условию задачи.

Достаточность.

1) hello_html_18ad1467.gif, уравнение примет вид hello_html_1be4db0c.gif .

2) hello_html_m28c23bd7.gif, уравнение примет вид:

hello_html_m3dfff0bd.gif

Очевидно, что hello_html_18c98b7f.gif, для всех hello_html_m54888717.gif и hello_html_19e4237a.gif. Следовательно, последнее уравнение равносильно системе:

hello_html_21c57f8b.gif

Тем самым, мы доказали, что при hello_html_m28c23bd7.gif, уравнение имеет единственное решение.

Ответ. hello_html_60aa4056.gif.

Решение с исследованием функции


Пример Докажите, что все решения уравнения

hello_html_m7274185.gif

--- целые числа.

Решение. Основной период исходного уравнения равен hello_html_m58ff3ba2.gif. Поэтому сначала исследуем это уравнение на отрезке hello_html_mffac4be.gif.

Преобразуем уравнение к виду:

hello_html_5f1b99be.gif

При помощи микрокалькулятора получаем:

hello_html_m1aeb4398.gif

Находим:


hello_html_m10a8295e.gif

Если hello_html_m43e6a588.gif, то из предыдущих равенств получаем:

hello_html_72167caf.gif

Решив полученное уравнение, получим: hello_html_m157ecd82.gif.

Выполненные вычисления представляют возможность предположить, что корнями уравнения, принадлежащими отрезку hello_html_mffac4be.gif, являются hello_html_m32b5b181.gif, hello_html_m372a45a2.gif и hello_html_40370f7c.gif.

Непосредственная проверка подтверждает эту гипотезу. Таким образом, доказано, что корнями уравнения являются только целые числа hello_html_m69f21a7f.gif, hello_html_m2e68c8.gif.


4.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

При решении тригонометрических неравенств вида hello_html_m19ca100c.gif, где hello_html_m66d56803.gif --- одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа hello_html_78f778be.gif. Разберём на примере, как решать такие неравенства.

Пример Решите неравенство hello_html_m4fa7106d.gif.

Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит hello_html_m79adb3cb.gif.


Для hello_html_m1fc78784.gif решением данного неравенства будут hello_html_74ed321e.gif. Ясно также, что если некоторое число hello_html_m54888717.gif будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на hello_html_m2ec8f023.gif, то hello_html_7f328cc2.gif также будет не меньше hello_html_m79adb3cb.gif. Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить hello_html_m2ec8f023.gif. Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все hello_html_m434314f3.gif.

Ответ. hello_html_m434314f3.gif.

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые hello_html_m73a9d250.gif и hello_html_7d04828a.gif соответственно (на рисунке (1) и (2)), касающиеся тригонометрической окружности.


Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол hello_html_m4aecefc9.gif с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки hello_html_6f38aa77.gif до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.


Пример Решите неравенство hello_html_1ab0edd4.gif.

Решение. Обозначим hello_html_m4a617def.gif, тогда неравенство примет вид простейшего: hello_html_m2c242e77.gif. Рассмотрим интервал hello_html_194e0bee.gif длиной, равной наименьшему положительному периоду (НПП) тангенса. На этом отрезке с помощью линии тангенсов устанавливаем, что hello_html_53b968a3.gif. Вспоминаем теперь, что необходимо добавить hello_html_m586677b6.gif, поскольку НПП функции hello_html_m54888717.gif hello_html_4bf42984.gif. Итак, hello_html_5c8e2cd.gif. Возвращаясь к переменной hello_html_m54888717.gif, получаем, что hello_html_m56406aec.gif.

Ответ. hello_html_m473b9f4f.gif.

Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере.


Решение тригонометрических неравенств графическим методом


Заметим, что если hello_html_m66d56803.gif --- периодическая функция, то для решения неравенства hello_html_2f9aa0ed.gif hello_html_3dc52d9e.gif необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции hello_html_m66d56803.gif. Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений hello_html_m54888717.gif, а также всех hello_html_m54888717.gif, отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции hello_html_m66d56803.gif.

Рассмотрим решение неравенства hello_html_m6cdb3ac3.gif (hello_html_4f2ff841.gif).

Поскольку hello_html_52b42c69.gif, то при hello_html_m43a56d73.gif неравенство решений не имеет. Если hello_html_m18e60f7f.gif, то множество решений неравенства hello_html_m6cdb3ac3.gif --- множество всех действительных чисел.

Пусть hello_html_66888173.gif. Функция синус имеет наименьший положительный период hello_html_3a9eaeb4.gif, поэтому неравенство hello_html_54dedbc8.gif можно решить сначала на отрезке длиной hello_html_3a9eaeb4.gif, например, на отрезке hello_html_6db96ed4.gif. Строим графики функций hello_html_932e978.gif и hello_html_m5703235d.gif (hello_html_66888173.gif).




На отрезке hello_html_353be7d9.gif функция синус возрастает, и уравнение hello_html_b3fec27.gif, где hello_html_5129c98e.gif, имеет один корень hello_html_613d07f9.gif. На отрезке hello_html_a273a5e.gif функция синус убывает, и уравнение hello_html_66db4141.gif имеет корень hello_html_m2baf10f8.gif. На числовом промежутке hello_html_m57c032ab.gif график функции hello_html_932e978.gif расположен выше графика функции hello_html_m5703235d.gif. Поэтому для всех hello_html_m54888717.gif из промежутка hello_html_2e90287c.gif) неравенство hello_html_54dedbc8.gif выполняется, если hello_html_66888173.gif. В силу периодичности функции синус все решения неравенства hello_html_450db206.gif задаются неравенствами вида: hello_html_63591a8.gif.

Аналогично решаются неравенства hello_html_3e60fe82.gif, hello_html_28907cbe.gif, и т.п.

Пример Решим неравенство hello_html_m1dba9d33.gif.

Решение. Рассмотрим график функции hello_html_932e978.gif


и выберем из промежутка hello_html_m13a7567d.gif на оси hello_html_m145f774a.gif значения аргумента hello_html_m54888717.gif, которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси hello_html_m145f774a.gif. Таким промежутком является интервал hello_html_21bfc346.gif. Учитывая периодичность функции hello_html_932e978.gif все решения неравенства hello_html_m1dba9d33.gif можно записать так: hello_html_341cb38d.gif.

Ответ. hello_html_341cb38d.gif.

Пример Решите неравенство hello_html_10db7643.gif.


Решение. Нарисуем график функции hello_html_4593554f.gif. Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой hello_html_m57a81172.gif.



Это точка с абсциссой hello_html_m4b340d41.gif. По графику видно, что для всех hello_html_m4124dc8f.gif график функции лежит ниже прямой hello_html_m57a81172.gif. Следовательно, эти hello_html_m54888717.gif и составляют:

Ответ. hello_html_m4124dc8f.gif.

5.ОТБОР КОРНЕЙ

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления посторонних корней и методы <<борьбы>> с ними.


Пример Найти ближайший к числу hello_html_m2992b35d.gif корень уравнения

hello_html_m1d1135d4.gif

Решение.

hello_html_m73acdff9.gif

hello_html_m5dc10f85.gif

hello_html_58aea554.gif


hello_html_m5f0ec1b8.gif

Подставляя последовательно в формулу hello_html_m6ccc3df7.gif вместо переменной hello_html_m54888717.gif выписанные выше серии решений уравнений, отыщем для каждой из них hello_html_m3924f050.gif, а затем сравним полученные минимальные hello_html_m1b251a36.gif между собой.

a) hello_html_m7bde6243.gif

Ясно, что hello_html_6ce7cbfc.gif достигается при hello_html_d3b915.gif, то есть hello_html_m4e3526b4.gif.

б)hello_html_m72e5ffe9.gif

hello_html_36d6818e.gif.

в)hello_html_78d539bb.gif.

г)hello_html_18367970.gif.

hello_html_m49b03e57.gif.

Выберем минимальное из чисел hello_html_48ee7e5f.gif, hello_html_276ac8ca.gif. Сразу ясно, что hello_html_m6703b37.gif и что hello_html_3c0cdef2.gif. Оталось сравнить hello_html_m265788b5.gif и hello_html_492e71f4.gif. Предположим, что

hello_html_m7385a4b8.gif

hello_html_m94fe0ab.gif

hello_html_m511a07d6.gif


hello_html_6a3462c6.gif


hello_html_m38166952.gif

Последнее неравенство --- верное, а все сделанные переходы --- равносильные. Поэтому верно исходное неравенство. Обоснуем равносильность переходов (*) и (**) (равносильность остальных переходов следует из общих свойств числовых неравнств). В случае преобраования (*), достаточно заметить, что числа hello_html_2e49fd20.gif и hello_html_6e8d7c37.gif расположен на участке hello_html_9628507.gif монотонного возрастания функции hello_html_7f328cc2.gif. В случае перехода (**) формула hello_html_m719f5bbc.gif справедлива, так как hello_html_6cde9524.gif.

Ответ. hello_html_m260c6ff9.gif.


Пример Найти корни уравнения: hello_html_440a507c.gif.


Решение этого уравнения распадается на два этапа: 1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию hello_html_m7e41c2f0.gif. При этом заботится об условии hello_html_m5d8bef5.gif нет необходимости. Все значения hello_html_2909300e.gif, удовлетворяющие возведенному в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.

Первый шаг нас приводит к уравнению hello_html_m5a0c94c.gif, откуда hello_html_m54e93b55.gif.

Теперь надо определить, при каких hello_html_2909300e.gif будет hello_html_210759fe.gif. Для этого достаточно для hello_html_2909300e.gif рассмотреть значения hello_html_m5872f8d7.gif, hello_html_3330b0a0.gif, hello_html_m1fd47ada.gif, т. е. <<обойти один раз круг>>, поскольку дальше значения косинуса начнут повторяться, получившиеся углы будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную hello_html_3a9eaeb4.gif.

Ответ. hello_html_71d24567.gif, hello_html_m7c33d5b8.gif.

Итак, основная схема отбора корней состоит в следующем. Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций входящих в уравнение. На этом периоде отбираются корни, а затем оставшиеся корни периодически продолжаются.


Пример Решить уравнение:

hello_html_m53dd5760.gif


Решение. Уравнение равносильно смешанной системе:

hello_html_57f801ef.gif


hello_html_m6857c793.gif

Но hello_html_m3b73fbd9.gif --- не годится.

Ответ. hello_html_m71adb170.gif.

Раскрывая знак модуля получаем более громоздное решение. А ответ в этом случае принимает вид:

Ответ. hello_html_m17bb52f7.gif.


6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Тест по теме «Тригонометрические уравнения» в 20 заданиях теста приведены наиболее сложные задания, которые могут встретиться на централизованном тестировании.

1. Объединение каких множеств hello_html_d2a9f42.gif, hello_html_56f9141c.gif, hello_html_m4bafd034.gif, hello_html_7a166495.gif является решением уравнения hello_html_m704487ad.gif

hello_html_m4cd898d2.gif, hello_html_2df9f403.gif, hello_html_m73539165.gif, hello_html_m53223d6.gif.

a) hello_html_d2a9f42.gif, hello_html_56f9141c.gif

б) hello_html_d2a9f42.gif, hello_html_m4bafd034.gif

в) hello_html_56f9141c.gif, hello_html_7a166495.gif

г) hello_html_m4bafd034.gif, hello_html_7a166495.gif


2. Решите уравнение hello_html_63a4bc8c.gif.

a)hello_html_m1e7f047f.gif

б)hello_html_md58b03e.gif

в) hello_html_e730dcc.gif

г) hello_html_mdc99f6f.gif


3. Решите уравнение hello_html_m2ade495d.gif.

a) hello_html_mf26ba0d.gif

б) hello_html_344792c9.gif

в) hello_html_1afd99dd.gif

г) hello_html_35c0eb5a.gif


4. Решите уравнение hello_html_25a3828d.gif.

a) hello_html_602d2ff6.gif

б) hello_html_m2a6335da.gif

в) hello_html_4190d033.gif

г) hello_html_m1e7f047f.gif


5. Решите уравнение hello_html_mf1ee3eb.gif.

a) hello_html_27c0d13a.gif

б) hello_html_m7fc7cfe6.gif

в) hello_html_m204a9453.gif

г) hello_html_4e1ed5fd.gif


6. Среди множеств hello_html_m1b4755bc.gif, hello_html_4212ac21.gif найдите решение уравнения

hello_html_m2f5c45d7.gif

и укажите те, которые не являются подмножествами друг друга.

hello_html_6cfb1e9d.gif, hello_html_4f5223c6.gif, hello_html_m36460449.gif, hello_html_58f8004a.gif, hello_html_639dd04e.gif.

а) hello_html_m1436444f.gif

б) hello_html_4e15a38c.gif

в) hello_html_12350032.gif

г) hello_html_ef79018.gif


7. Среди множеств hello_html_m1b4755bc.gif, hello_html_276ac8ca.gif найдите решение уравнения

hello_html_m41aa53f1.gif

hello_html_4c8d37ea.gif

hello_html_6d95b600.gif

hello_html_m6b468d82.gif

hello_html_m569272cc.gif

а) hello_html_4e15a38c.gif

б) hello_html_m1d9944e1.gif

в) hello_html_m6893b0b6.gif

г)hello_html_m28718322.gif


8. Решите уравнение hello_html_4a4bd1f3.gif.

а) hello_html_6332317d.gif

б) hello_html_3f3c2036.gif

в) hello_html_mb376401.gif

г) hello_html_m41bd9f35.gif


9. Решите уравнение

hello_html_5f238081.gif

а) hello_html_m7b4d5fb2.gif

б) hello_html_m45bb3e8a.gif

в) hello_html_m4225521d.gif

г) hello_html_m6ab8608e.gif


10. Решите уравнение hello_html_m14e030d6.gif.

а) hello_html_1698742d.gif

б) hello_html_7261d0f6.gif

в) hello_html_m41464212.gif

г) hello_html_2d8ef664.gif


11. Сумма корней уравнения hello_html_39d8437e.gif на отрезке hello_html_m26ce5e35.gif равна:

а) hello_html_m20c02605.gif

б) hello_html_3a9eaeb4.gif

в) hello_html_12cd3a7.gif

г) hello_html_m13278925.gif


12. Решите уравнение

hello_html_m48479ce9.gif

В ответе записать количество корней уравнения, принадлежащих отрезку hello_html_ed8d561.gif.

а) hello_html_m1fd47ada.gif б) hello_html_m66d7f728.gif в) hello_html_m21717529.gif г) hello_html_m216acbcf.gif

13. Решить уравнение hello_html_f49ee2f.gif

а) hello_html_655c0cb.gif

б) hello_html_m49f19978.gif

в) hello_html_129bd267.gif

г) hello_html_68d49878.gif


14. Решите уравнение hello_html_m582dadf1.gif.

a) hello_html_m1e7f047f.gif

б) hello_html_m14269365.gif

в) hello_html_m70737223.gif

г) hello_html_m1ad24b5d.gif


15. Решите уравнение

hello_html_7e46b6ff.gif

a) hello_html_m1e7f047f.gif

б) hello_html_m4e6088e9.gif

в) hello_html_97b1657.gif

г) hello_html_m33cbe016.gif


16. Найдите набольший отрицательный корень уравнения:

hello_html_34c6e806.gif

a) hello_html_m600ae613.gif

б) hello_html_54340654.gif

в) hello_html_m1e7f047f.gif

г) hello_html_2df8f4b8.gif


17. Решите уравнение hello_html_711cd6fa.gif на множестве hello_html_m1738ec90.gif.

a) hello_html_m1e7f047f.gif

б) hello_html_6c705a4b.gif

в) hello_html_8356d32.gif

г) hello_html_53bc9aca.gif


18. Решите уравнение hello_html_m406a50fa.gif.

a) hello_html_3dfb6d7c.gif

б) hello_html_m68548f0e.gif

в) hello_html_m306a2f6a.gif

г) hello_html_m53f79455.gif


19. Решить уравнение hello_html_195f3548.gif.

а) hello_html_771806ac.gif

б) hello_html_415ce4e4.gif

в) hello_html_m1e7f047f.gif

г) hello_html_m5872f8d7.gif


20. Решите уравнение hello_html_m120dbc54.gif.

a) hello_html_a56142.gif

б) hello_html_m1fe048a.gif или hello_html_11597a8a.gif

в) hello_html_m63e2a3df.gif или hello_html_11597a8a.gif и hello_html_7badcf29.gif

г) hello_html_m1fe048a.gif или hello_html_11597a8a.gif и hello_html_7badcf29.gif

Ответы 1а 2б 3б 4г 5б 6б 7а 8б 9г 10б 11а 12б 13в или г 14а 15в 16в 17в 18а или б 19г 20в



7.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


[] Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. /Выгодский Я.Я. --- М.: Наука, 1970.

[] Игудисман О., Математика на устном экзамене/ Игудисман О. --- М.: Айрис пресс, Рольф, 2001.

[] Азаров А.И., уравнения/Азаров А.И., Гладун О.М., Федосенко В.С. --- Мн.: Тривиум, 1994.

[] Литвиненко В.Н., Практикум по элементарной математике / Литвиненко В.Н.--- М.: Просвещение, 1991.

[] Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике: решение задач/ Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. --- М.: Просвещение, 1991.

[] Бардушкин В., Тригонометрические уравнения. Отбор корней/В. Бардушкин, А. Прокофьев.// Математика, №12, 2005 с. 23--27.

[] Василевский А.Б., Задания для внеклассной работы по математике/Василевский А.Б. --- Мн.: Народная асвета. 1988. --- 176с.

[]Сапунов П. И., Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений/Сапунов П. И. // Математическое просвещение, выпуск №3, 1935.

[] Бородин П., Тригонометрия. Материалы вступительных экзаменов в МГУ[текст]/П.Бородин, В.Галкин, В.Панфёров, И.Сергеев, В.Тарасов // Математика №1, 2005 с. 36--48.

[] Самусенко А.В., Математика: Типичные ошибки абитуриентов: Справочное пособие/Самусенко А.В., Казаченок В.В.--- Мн.: Вышейшая школа, 1991.

[] Азаров А.И., Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач/Азаров А.И., Барвенов С.А.,--- Мн.: Аверсэв, 2004.

Краткое описание документа:

содержание:

 

                                                     Оглавление

 

 

 

1.ВВЕДЕНИЕ

 

2.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

 

Элементарные тригонометрические уравнения

 

Введение вспомогательного аргумента

 

Схема решения тригонометрических уравнений    

 

Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений

 

Разложение на множители

 

Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

 

Решение уравнений с применением формул понижения степени

 

Решение уравнений с применением формул тройного аргумента

 

Равенство одноименных тригонометрических функций

 

Домножение на некоторую тригонометрическую функцию

 

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим

 

3.НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

 

Использование ограниченности функций

 

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

 

Решение с исследованием функции

 

4.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

 

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

 

Решение тригонометрических неравенств графическим методом

 

5.ОТБОР КОРНЕЙ

 

6.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

Общая информация

К учебнику: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник (базовый уровень) Мордкович А.Г. 14-е изд., стер. - М.: 2013. - 400 с.

К уроку: ГЛАВА 3. тригонометрические уравнения

Показать все
Номер материала: 119444

Похожие материалы