особенности изучения табличного умножения и деления в разных программах обучения математике

Умножение по таблицам впервые ввели ва-вилонские математики. Однако это было не традиционное умножение в десятичной системе счисления, а умножение по гото-вым таблицам шестидесятеричной системе счисления, не получившей широкого рас-пространения среди народов мира.

Привычная форма таблицы умножения использовалась в таблицах Паламеда (до III в. до н.э.), выполненных в виде столби-ков, и таблице Никомаха (I в. н.э.), выпол-ненной в виде квадрата. Современное при-менение табличного умножения ведет свое начало со времени изобретения индийцами десятичной позиционной системы счисле-ния и введения ими нуля, а также изобрете-ния более совершенных способов умноже-ния произвольных чисел (V–VI вв.). При-меняемая сегодня форма записи действия умножения введена Н.Г. Кургановым в его «Универсальной арифметике» (1757) под

влиянием французской математической ли-тературы.

Табличное деление (в том смысле, кото-рое рассматривается в современной началь-ной школе) фактически появляется одно-временно с возникновением табличного умножения у индийцев. Однако на таблицу деления большинство математиков не обра-щали особого внимания, и ни один из авто-ров математических сочинений до конца XIX в. не помещал ее в своих книгах. Впер-вые в русские учебники таблица деления введена П.С. Гурьевым (1832), а необходи-мость ее применения более или менее под-робно обоснована С.И. Шорох-Троцким (1903).

До 70-х годов XIX в. в школах России таблицы умножения и деления не изуча-лись, а механически заучивались (зазубри-вались). Лишь с появлением «Методики арифметики» В.А. Евтушевского они стали

17

именно изучаться, т.е. составляться тем или иным способом и усваиваться учащимися в процессе упражнений.

Вопросы формирования понятия уча-щихся об умножении и делении изложены в «Очерках по методике арифметики» Ф.А. Эрна. Вопросы взаимосвязи между умножением и делением, а также вопросы психологии усвоения учащимися умноже-ния и деления в значительной мере раскры-ты в «Методике арифметики» С.И. Шорох-Троцкого, а также в работе Н.А. Менчин-ской «Психология обучения арифметике».

Методы изучения таблиц умножения и деления были разработаны методистами А.И. Гольденбергом, В.К. Беллюстиным и др. Они широко проверены на опыте массо-вой школы.

Методика введения новых понятий в школе должна базироваться на научной те-ории соответствующего предмета. Так, ши-рокую известность получили три способа введения понятия умножение:

1) с помощью системы аксиом;

2) на основе операций над множествами; 3) на основе сложения одинаковых сла-

гаемых.

Первый способ положен в основу введе-ния понятия действия умножения в школь-ный курс как в ряде английских и немецких учебников, так и в некоторых советских, нап-ример, пособиях К.И.Нешкова и А.М.Пыш-кало.

Деление может вводиться следующими путями:

1) как действие, обратное умножению; 2) на основе операций над предметными

множествами.

Различают две операции: деление на рав-ные части и деление по содержанию (раз-личная роль множимого и множителя по-рождает различные виды деления). Можно познакомить учеников сначала с делением по содержанию, а затем с делением на рав-ные части. Возможен и обратный порядок.

Однако, какой бы путь ни избрал учи-тель, изучение табличного умножения и де-ления — это один из наиболее трудных воп-росов начального курса математики.

В настоящее время существует много различных программ обучения математике, которые различаются по методике обуче-

18

ния умножению и делению. Рассмотрим подробнее, каким образом в различных программах изучается табличное умноже-ние и деление.

В учебниках авторского коллектива под руководством М.И. Моро при изучении табличных случаев на 2 и на 3 (II класс) составляются две таблицы умножения. При введении последующих случаев умноже-ния на 4 – 9 (III класс) составляются две таблицы умножения и две таблицы деле-ния. Из каждого случая умножения, напри-мер 2 ' 5, выводится новый случай путем пе-рестановки множителей 5 ' 2 и два случая деления 10 : 2 = 5 и 10 : 5 = 2. Все результа-ты деления находят из соответствующей таблицы умножения. Сначала рассматрива-ются все табличные случаи умножения и соответствующие случаям деления с числа-ми 2 и 3, затем 4, 5 и т.д.

Табличные случаи умножения и деле-ния с каждым числом изучаются примерно по одному плану. Сначала составляется таблица умножения по постоянному пер-вому множителю (3 ' 3, 3 ' 4, 3 ' 5 и т.д.). В этом случае учащиеся легко находят ре-зультат следующего примера, пользуясь результатом предыдущего (3 ' 5 = 5 ' 3 + 3), но в этом случае в некоторых суммах будет много слагаемых (например, в случае 2 ' 9 будет девять слагаемых). Если составлять таблицу по постоянному второму множи-телю (3 ' 3, 4 ' 3, 5 ' 3 и т.д.), то слагаемых будет меньше. Эта таблица удобнее для за-поминания наизусть, но зато при ее состав-лении труднее находить результат: слагае-мые каждого следующего примера отлича-ются от слагаемых предыдущего примера (3 ' 3 = 3 + 3 + 3, 4 ' 3 = 4 + 4 + 4 и т.д.). Что-бы найти результат следующего примера, пользуясь предыдущим, придется рассуж-дать так: 4 ' 3 = 3 ' 3 + 3, 5 ' 3 = 4 ' 3 + 3.

Для нахождения результата умножения используют различные приемы:

— произведение заменяют суммой (3 ' 4 = = 3 + 3 + 3 + 3 = 12);

— к результату предыдущего примера из таблицы прибавляют соответствующее число (3 ' 4 = 12; 3 ' 5 = 12 + 3 = 15);

— из известного результата вычитают соответствующее число (8 ' 10 = 80, 8 ' 9 = = 80 – 9 = 72).

После того как составлена таблица по постоянному первому множителю, из каж-дого примера на умножение учащиеся сос-тавляют еще один пример на умножение, переставляя множители, и два примера на деление, результат в которых находят на ос-нове связи между компонентами и резуль-татом умножения.

Составление каждой таблицы начина-ется с примера, в котором множители рав-ны, например 3 ' 3, и заканчивается случа-ем умножения на 9, например 3 ' 9. Таким образом, ученики должны запомнить 36 табличных случаев умножения и затем ис-пользовать их для решения либо примеров с переставленными множителями, либо примеров на деление. Число новых случаев в каждой следующей таблице уменьшает-ся. Учащиеся от таблицы к таблице прояв-ляют больше самостоятельности при их состоянии.

В ходе составления и заучивания боль-шое внимание уделяется упражнениям на запоминание табличных результатов, нап-ример:

— составь четыре примера на умноже-ние и деление с одинаковыми числами (4 ' 3 = 12, 3 ' 4 = 12, 12 : 4 = 3, 12 : 3 = 4);

— повтори таблицы по порядку и враз-бивку;

— составь по памяти таблицу умноже-ния двух или на два, трех или на три и т.д.;

— замени число (например, 24) произ-ведением соответствующих множителей (8 ' 3, 6 ' 4);

— отгадай задуманное число (если его умножили на 8 и получили 72).

Заметим, что заучиваются наизусть только результаты умножения, соответству-ющие же случаи деления учащиеся должны уметь быстро находить, пользуясь таблицей умножения. В процессе тренировки учащи-еся должны твердо запомнить тройки чисел, например: 3, 7, 21; 9, 8, 72 и т.д.

В основе построения курса Н.Б. Исто-миной лежит идея организации целенап-равленной и систематической работы по формированию у младших школьников приемов умственной деятельности (анали-за и синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения и т.д.). Направлен-ность процесса обучения математике в на-

чальных классах на формирование основ-ных мыслительных операций позволяет включить интеллектуальную деятельность младшего школьника в различные соотно-шения с другими сторонами его личности, прежде всего с мотивацией и интересами, оказывая тем самым положительное влия-ние на развитие внимания, памяти, эмоций и речи.

В теме «Умножение» большое внимание уделяется разъяснению предметного смыс-ла этого действия, усвоению его определе-ния как суммы одинаковых слагаемых и осознанию новой математической записи. Для этой цели используются различные ви-ды учебных заданий на:

— выделение признаков сходства и раз-личия данных выражений;

— соотнесение рисунка и числового вы-ражения;

— выбор числового выражения, соответ-ствующего данному рисунку;

— запись числового выражения по дан-ному рисунку и др.

Параллельно с усвоением предметного смысла умножения проводится работа по формированию навыков табличного умно-жения.

Важно, что составление и усвоение таб-лиц умножения (деления) органически включается в содержательную линию кур-са. В связи с этим в учебнике нет заголов-ков «Умножение на 2», «Умножение на 3» и т.д. Табличные случаи умножения усваива-ют в процессе изучения смысла умножения (тема «Умножение»), переместительного свойства умножения, понятия увеличить в несколько раз и тем «Площадь фигуры», «Измерение площади», «Сочетательное свойство умножения». Это позволяет пред-ложить ученикам интересные содержатель-ные упражнения, выполнение которых спо-собствует непроизвольному запоминанию таблицы умножения. Результаты работы по формированию табличных навыков умно-жения подводятся в теме «Таблица умно-жения», где учащимся дается задание, при выполнении которого они могут проверить, как каждый из них усвоил таблицу умноже-ния. При этом работа, связанная с составле-нием и усвоением таблицы умножения, распределяется во времени.

19

Составление и усвоение таблицы умно-жения начинается со случаев умножения числа 9. Это позволяет не только поупраж-нять школьников в сложении двузначных и однозначных чисел с переходом через раз-ряд при замене произведения суммой, но и сосредоточить их внимание на более слож-ных для запоминания случаях табличного умножения (9 ' 8, 9 ' 6, 9 ' 7, 8 ' 7, 7 ' 6).

Составление таблицы осуществляется небольшими порциями, каждая из которых сопровождается вариативными упражне-ниями, связанными с такими понятиями, как смысл умножения, переместительное свойство умножения, увеличение в несколько раз. Процесс выполнения каждого упраж-нения требует от учеников активного ис-пользования приемов умственной деятель-ности, что оказывает положительное влия-ние на непроизвольное запоминание таб-личных случаев умножения.

С учетом того, что не все учащиеся мо-гут непроизвольно запомнить табличные случаи умножения в процессе выполне-ния обучающих заданий, в учебнике в оп-ределенной системе даются установки на запоминание 3–4 табличных случаев. Например, первая порция, рекомендуемая для запоминания в таблице умножения числа 9, включает случаи 9 ' 5, 9 ' 6 и 9 ' 7. В качестве опорного здесь выступает слу-чай 9 ' 5, ориентировка на который позво-ляет учащимся быстро найти значение произведений 9 ' 6 и 9 ' 7. Вторая порция, рекомендуемая для запоминания, включа-ет случаи 9 ' 2, 9 ' 3 и 9 ' 4. Здесь внимание школьников акцентируется на случае 9 ' 3. И наконец, последняя порция включает случаи 9 ' 8 и 9 ' 9.

Таким образом, данная методика позво-ляет учесть индивидуальные особенности учащихся, создавая условия как для непро-извольного, так и для произвольного запо-минания таблицы, активизируя при этом смысловую память. Положительную роль играет и тот факт, что таблица умножения числа 9 является самой большой по объему и все случаи этой таблицы включаются в установку на запоминание. Как известно, знакомство с переместительным свойством умножения и его использование при сос-тавлении таблицы умножения сокращает

20

объем последующих таблиц и последняя таблица (умножение числа 2) содержит од-ну строку (2 ' 2 = 4).

Во II классе рассматриваются только табличные случаи умножения с числами 8 и 9. Дальнейшая работа, связанная с усвое-нием таблицы умножения и соответствую-щих случаев деления, продолжается в III классе.

Курс математики Л.Г. Петерсон в це-лом ориентирован на личностное развитие ребенка. Поэтому знания в нем рассматри-ваются не как самоцель, а как средство раз-вития мышления учеников, их чувств и эмоций, творческих способностей и моти-вов деятельности.

Первостепенным по значимости вопро-сом, который рассматривается во II классе, является раскрытие смысла умножения и деления. При введении умножения учи-тель показывает школьникам практиче-скую целесообразность нового арифмети-ческого действия. Оно заключается в том, что решение многих практических задач с помощью известных действий неудобно или даже невозможно. Учитель предлагает задачу: «На одну рубашку пришиваю 9 пу-говиц. Сколько пуговиц надо пришить на 860 рубашек?» Ученики придумывают ва-рианты записи суммы, состоящих из оди-наковых слагаемых. Они фантазируют, высказывают свои предложения. Только после этого учитель показывает им обще-принятый способ записи:

9 + 9 + 9 + ... + 9 = 9 ' 860

860 раз

Открытие, которое должны сделать в данном случае учащиеся, заключается в са-мостоятельном обобщении, переносе полу-ченного равенства на язык букв. Левую часть может записать учитель, а правую часть — ученики, объяснив смысл каждого множителя: первый множитель показывает, какое слагаемое взяли, а второй множитель показывает число слагаемых:

a + a + a + ... + a = a ' b

b раз

Учитель лишь сообщает общепринятую терминологию: умножение, первый множи-тель, второй множитель.

Далее учащиеся составляют таблицу умножения всех однозначных чисел. За-полняя ее, они должны заметить, что в пер-вой строке каждое следующее число на 1 больше предыдущего, во второй строке каждое следующее число на 2 больше пре-дыдущего, в третьей строке увеличиваются на 3, в четвертой — на 4 и т.д. Поскольку кратные однозначных чисел школьники должны уже знать, то остальные строчки заполняются быстро. В результате получа-ется полная таблица умножения. В готовом виде она показана на следующей странице в учебнике. После заполнения таблицы уча-щиеся проверяют по готовой таблице и еще раз проговаривают вслух числа, кратные 2, 3, ..., 9. На этом же уроке учитель знакомит школьников с таблицей умножения на пальцах.

На следующих уроках осваивается таб-лица умножения на 2. Школьники должны научиться решать соответствующие при-меры быстро и в произвольном порядке. Учащиеся заполняют первый столбик по памяти (к этому времени они уже освоили счет через 2), проговаривая вслух. Затем заполнение идет по строкам: 2 ' 3 = 6, зна-чит, 3 ' 2 = 6, так как от перестановки мно-жителей произведение не меняется.

Далее учащиеся встречаются с действи-ем деления и устанавливают его взаимо-связь с умножением. Вначале учащиеся повторяют смысл умножения и составляют произведение по рисунку.

2 ' 4 = 8

Учитель предлагает решить задачу: «Разделите 16 конфет поровну на четве-рых. По сколько конфет надо дать каждо-му?» Затруднение, которое возникает в классе в связи с ответом на вопрос задачи, мотивирует проведение исследования с по-мощью предметных моделей: учащиеся раскладывают заранее подготовленные конфеты на 4 равные по количеству кучки. Выясняется, что в каждой кучке 4 предмета. Учитель показывает общепринятую запись деления: 16 : 4 = 4. Отсюда следует, что раз-делить на равные части — значит найти чис-ло предметов в каждой части.

Затем ученикам предлагается решить аналогичную задачу: «Разделите 8 орехов поровну на 4». Подбором учащиеся опреде-ляют, что при делении 8 орехов на равные части каждый получает по 2 ореха. Равные части обводятся замкнутыми линиями, и рядом записывается соответствующий при-мер на деление.

8 : 4 = 2

Теперь учащиеся замечают, что рисун-ки в задачах одинаковые. Значит, опера-ция деления обратна операции умноже-ния. При делении 8 орехов на 4 получается такое число (2), которое при умножении на 4 дает 8.

На следующем уроке ученики знакомят-ся с делением по содержанию. Им даны две задачи на деление одного и того же множе-ства предметов. Анализируя их, учащиеся приходят к выводу, что задачи на деление могут иметь одинаковое решение, но раз-ный смысл (деление на 4 и деление по 4).

Изучение табличного умножения и де-ления на 3, 4, 5, ..., 9 осуществляется в сле-дующем порядке:

1) повторение ритмичного счета через 3, 4, 5, ..., 9 и хоровое проговаривание чисел, кратных 3, 4, 5, ..., 9;

2) самостоятельное заполнение учащи-мися по памяти первого столбика таблицы; 3) заполнение для каждого равенства соответствующей строки на основании пра-

вил, изученных на предыдущих уроках. Для закрепления знания табличных

случаев умножения и деления на 3, 4, 5, ..., 9 учащиеся:

— выполняют задания с числовым лучом; — играют в «вычислительную машину»; — зачеркивают лишние числа;

— выполняют задания с блок-схемами; — играют в «парашютистов».

Введение частных случаев умножения с 0 и 1, в отличие от традиционной методики, не разнесено во времени и проводится сов-местно. Это сокращение времени становит-ся возможным, прежде всего, за счет ис-пользования деятельностного метода: учи-тель не объясняет, а ставит проблему, кото-рую ученики исследуют и разрешают под

21

его руководством. Кроме того, лучшему за-поминанию полученных выводов способ-ствует подключение образной памяти. Нап-ример, множитель 1 не изменяет число. Значит, его можно представить как своеоб-разное «зеркало». Оно как бы отражает вто-рой множитель, не изменяя его. В отличие от единицы, число 0 — это «страшный зверь», который съедает при умножении любой множитель.

Основой процесса обучения математике в развивающей системе Л.В. Занкова, нап-равленной на общее развитие школьников, являются особые дидактические принципы, которые реализуются в самостоятельном коллективном и индивидуальном добыва-нии знаний учащимися на основе использо-вания опыта, результатов практической де-ятельности, проведенных наблюдений, вы-сказанных предположений, их сравнения и доказательного отбора.

Таким образом, основным в обучении математике по этой системе является индук-тивный путь познания, особенно в начале обучения, что не исключает использования и дедуктивного пути в тех случаях, когда это диктуется особенностями рассматриваемого вопроса и возможностями учеников.

Во II классе начинается изучение действий умножения и деления. Умноже-ние рассматривается как действие, заменя-ющее сложение в случаях равенства слагае-мых. Деление возникает как действие, об-ратное умножению, которое дает возмож-ность по значению произведения и одному множителю найти другой множитель.

В дальнейшем умножение и деление рассматриваются и с других точек зрения, а именно как действия, позволяющие уве-личить или уменьшить число в несколько раз. Деление также рассматривается как действие, при помощи которого можно уз-нать, во сколько раз одно число больше или меньше другого.

Овладение материалом этой темы сос-редоточено вокруг следующих приоритет-ных вопросов: связь умножения со сложе-нием; связь деления с умножением; знаком-ство с законами и свойствами умножения и деления.

Знание переместительного закона умно-жения, как и знание аналогичного закона

22

сложения, помогает значительно сократить количество равенств таблицы умножения, которые необходимо запомнить.

Понимание связи между умножением и делением дает возможность связать каж-дый случай умножения с соответствующи-ми случаями деления, что делает ненуж-ным составление и запоминание табличных случаев деления.

Как и при изучении сложения и вычита-ния, одним из центральных вопросов зна-комства с новыми действиями является составление таблицы умножения. Стре-мясь максимально использовать связи меж-ду сложением и умножением, авторы отка-зались от принципа ее составления, осно-ванного на рассмотрении сумм, содержа-щих разное количество одних и тех же слагаемых (2 + 2, 2 + 2 + 2 и т.д.). В учебни-ке по системе Л.В. Занкова первым шагом в составлении таблицы умножения является рассмотрение таблицы сложения с точки зрения выделения сумм, в которых сложе-ние можно заменить умножением.

Таким образом, первый столбик умно-жения объединяет все случаи умножения однозначных чисел на 2. В дальнейшем вто-рой множитель последовательно увеличи-вается от столбика к столбику, пока не дос-тигнет 9.

Табличное деление выполняется уча-щимися на основе использования таблицы умножения и взаимосвязи между этими действиями.

Анализ учебников и программ по мате-матике для начальной школы в различных системах обучения показал, что:

— табличное умножение и деление изу-чается в течение двух лет в программе автор-ского            коллектива                под        руководством М.И. Моро и программе Н.Б. Истоминой. В соответствии с логикой курса Н.Б. Истоми-ной ученики усваивают смысл умножения и его табличные случаи и только после это-го (в III классе) приступают к изучению де-ления. В программе Л.Г. Петерсон тема «Умножение и деление» изучается в тече-ние одного года;

— в каждой из указанных выше систем есть своеобразные, присущие только дан-ной системе методы и приемы изучения табличного умножения и деления.