Особенности обучения теме «Применение производной» в гуманитарном классе (Образный аспект)

Особенности обучения теме

«Применение производной» в гуманитарном классе

(Образный аспект)

Основное внимание здесь уделяется ознакомлению учащихся с простейшими методами дифференциального исчисления и выработке умения применять их для исследования функций в простейших случаях, а также показу возможности применения их для решения задач прикладного характера. При этом, основной акцент делается на связи математических понятий с областями человеческой деятельности. Так, многие математические теории при формализованном изложении кажутся искусственными, оторванными от жизни, просто непонятными. Если же, например, подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то станет виден их глубокий жизненный смысл, их естественность, необходимость.

Далее же, в процессе изучения темы, следует неоднократно указывать на то, что понятие производной является обобщенным и отражающим многообразные процессы реального мира.

Естественно, что историческая и прикладная информация не должна идти только от учителя. Следуя соответствующим рекомендациям учителя, школьники могут сами найти материал и подготовить интересные сообщения.

Изучая тему “Приложения производной” учащиеся должны увидеть все многообразие применения понятия производной, для чего им надо овладеть простейшими навыками дифференцирования и знаниями некоторых свойств производной.

Вот несколько основных направлений приложения изучаемого понятия, которые позволят учащимся увидеть многообразие применения производной.

1.Решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений. 2.Применение в физике, химии и других науках, рассматривая обобщенную интерпретацию понятия “производная”, а также, приближенные вычисления.

3.Применение метода исследования функции с помощью производной к решению уравнений и неравенств, раскрывая, тем самым, внутрипредметные связи.

Из целей обучения математике в гуманитарных классах следует основное внимание уделить практическим задачам. Но, для того, чтобы учащиеся смогли оценить значение применяемого метода, им необходимо овладеть некоторыми элементарными знаниями и умениями.

Рассмотрим содержание темы, с точки зрения раскрытия его трех основных аспектов. Отметим, что почти все функции, предлагаемые учащимся, непрерывные и дифференцируемые, т.к. наша основная задача - показать приложение производной к решению текстовых задач.

Образный аспект связан, прежде всего, с наглядностью при обучении. Это использование чертежей, схем, рисунков и т.п., а также, различных жизненных ситуаций, модели которых создают образы “в головах” учащихся. И кроме того, это использование задач по готовым чертежам и на построение графиков функций. Средствами наглядности в обучении являются не только рисунки, модели и т.п., но и формы организации. В настоящее время, немалую помощь в этом оказывают современные компьютерные технологи. Использование средств мультимедиа и создание презентаций экономит время на уроке при проверке знаний и повышает наглядность и информативность при изучении новой темы.

рис.3

1. это графические задачи, дающие “образное” представление о производной как о скорости изменения чего-либо.

1) По графику функции вычислите угловые коэффициенты секущихPP1, PP2, PP3.

проходящих через точки, указанные на графике.

рис.4

2) Зависимость пути от времени Задана s=s(t) задана графиком (рис.2) Найдите среднюю скорость движения на следующих отрезках времени: [0;4], [2;4], [3,4], [3,5;4]. Чему равно мгновенная скорость в момент времени t=0?

3).На рисунке 5 изображен график зависимости перемещения xот времениt.

рис.5

а).На каких отрезках средняя скорость движения была наибольшей?

б).В какой точке мгновенная скорость движения была наибольшей?

в).Приведите примеры отрезков времени, на которых средние скорости одинаковы.

г). Приведите примеры моментов времени, на которых мгновенные скорости одинаковы.

рис.6

4).По графику движения (рис.6) определите скорость движения в моменты времени:

t=0; t=1; t=2; t=3.

Постройте график скорости.

5).На каждом из рисунков изображены графики двух функций на одном и том же отрезке. У какой из этих функций:

а) средняя скорость роста на этом отрезке больше?

б) в точке их пересечения значение производной больше? (рис.7)

рис.7

2. задачи на выяснение связи свойств функции и ее производной. Примеры заданий.

2.1.Выяснение связей свойств функции, заданной графически, и ее производной.

рис.8

1).Сравните, не прибегая к вычислениям, значения производной функции, график которой изображен на рис.8, в точках:

а) x₁=-2 и x₂=1;

б) x₁=2 и x₂=3;

в) x₁=-1 и x₂=2.

рис.9

2).На рис.9 изображены графики функции f(x) (сплошной линией) и график ее производной f(x)(пунктиром). Объясните, как вид графика f(x) сказался на графике f(x).Опишите связь между поведением функции и ее производной на различных промежутках и в характерных точках графика.

рис.10

3).Укажите по графику производной f(x) точки, где функция f(x) имеет максимума и минимума?

2.2.Задачи на чтение графиков функций и их производных с целью сопоставления их свойств. Задания предлагаются в виде тестов.

а). Карточки с заданием представлены в виде таблиц с двумя входами, которые надо заполнить;

Карточка 1. Каждой из данных функций сопоставьте график ее производной

Карточка 2

Карточка3.

б). Задачи связаны с выбором ответа, выдаваемого в кодах. Их мы использовал11 изображены шесть графиков. Объедините их в пары “функция и ее производная.

рис.11

2).Какие промежутки возрастания имеет функция f(x), если график ее производной выглядит так, как изображен на рис. 12

рис.12

3.Задачи на восстановление (построение) графиков функций.

Это наиболее трудный тип задач, но необходимый для овладения учебным материалом. Такая деятельность формирует навыки самоконтроля. Предлагаем два типа заданий:

а). Построить схематически график функции, исследуя график ее производной.

рис.12

б) Построить график функции по заданным условиям.

1).Изобразите схематически графики функции f(x), у которой:

а) f(x)=1; б) f(x)=-1; в) f(x)=0 на всей области определения.

2). Изобразите схематически графики функции f(x), у которой:

а) f(x)>0; б) f(x)<0 на всей области определения.

3). Изобразите схематически графики функции f(x), у которой:

а) f(x)>0 при x<2 и f(x)<0 при x>2; б) f(x)<0 при x<2 и f(x)>0 при

x>2.

4) Изобразите схематически графики функции f(x), производная которой: меняет знак слева направо по схеме: - + - + - .

5) Изобразите схематически графики функции f(x), у которой:

а) f(x)=0 на все области определения, причем f(0)=2;

б). f(x)=c, c>0 на все области определения, причем f(0)=-1;

в) f(x)=с, c<0 на все области определения, причем f(0)=1.

Серебряная Т.В. Особенности обучения теме «Применение производной» в гуманитарном классе (Образный аспект)