Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для студентов СПО 1,2 курса

Олимпиада по математике в рамках проведения «Недели науки» в Инзенском Государственном техникуме отраслевых технологий , экономики и права.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ТРЕБОВАНИЯ

Группы, для которых проводится внутритехникумовский этап Олимпиады – ПрИ-9-11, ЗИО-9-11, ДОУ-9-23, Ю-9-23

1. . Цель проведения Олимпиады — воспитание в будущих специалистах таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон. Некоторые задачи можно решить несколькими разными методами или комбинацией методов. Характерная особенность олимпиадных задач в том, что решение с виду несложной проблемы может потребовать применения методов, использующихся в серьёзных математических исследованиях.

2. Продолжительность Олимпиады – 3 астрономических часа.

3. Требования к проверке работ:

1) Олимпиада не является контрольной работой и недопустимо снижение оценок по задачам за неаккуратно записанные решения, исправления в работе. В то же время обязательным является снижение оценок за математические, особенно логические ошибки;

2) для объективности проведения Олимпиады обязательной является шифровка работ, проводимая членами оргкомитета олимпиады;

3) решение каждой задачи оценивается Жюри в соответствии с критериями и методикой оценки, разработанной  предметно-методической комиссией:

Баллы	Правильность (ошибочность) решения.
7	Полное верное решение.
6-7	Верное решение, но имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
5-6	Решение в целом верное. Однако решение содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений.
3-4	Верно рассмотрен один из существенных случаев.
2	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1	Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии правильного решения.
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует.

Дополнение: максимальная оценка за каждую задачу – 7 баллов, независимо от количества пунктов в ней (таким образом, общая максимальная оценка участника за 5 задач может быть 35 баллов). Если в задаче два пункта, то максимальная оценка за решение лишь одного пункта – 4 балла.

4) Жюри рассматривает записи решений, приведенные в чистовике. Черновик рассматривается только в случае ошибочного переноса записей из черновика в чистовик;

5) каждая работа должна быть оценена двумя членами Жюри. В случае расхождения их оценок вопрос об окончательном определении баллов, выставляемых за решение указанной задачи, определяется председателем Жюри;

6) результаты проверки всех работ участников Олимпиады члены Жюри заносят в итоговую таблицу.

   4. Требования к порядку проведения Олимпиады:

1) задания каждой возрастной параллели составляются в одном варианте, поэтому участники должны сидеть по одному;

2) участники выполняют задания в тетрадях в клетку, каждый лист имеет угловой штамп техникума;

3) во время туров участникам запрещается пользоваться справочной литературой, электронными вычислительными средствами или средствами связи;

4) задания Олимпиады тиражируются в количестве, соответствующем количеству участников Олимпиады;

5) перед началом тура участник заполняет титульный лист угловой штамп, указывая на нём свои данные. Категорически запрещается делать какие-либо записи, указывающие на авторство работы, во внутренней части работы.

6) участники выполняют работы ручками с синими или фиолетовыми чернилами. Запрещается использование для записи решений ручек с красными или зелеными чернилами.

Задачи отборочного тура олимпиады по математике

СПО 1 КУРС: ПрИ-9-11, ЗИО-9-11, ДОУ-9-23, Ю-9-23 .

1.Число a является корнем уравнения  . Найдите значение .

2.Дан треугольник ABC , точка M лежит на стороне BC. Известно, что AB =BM и AM = MC, угол B равен 100°. Найдите остальные углы треугольника ABC.

3.Имеется 6 палочек длины 11, 12, 13, 14, 15, 16. Можно ли из них сложить равнобедренный тупоугольный треугольник? (Палочки нельзя ломать, их можно прикладывать концами друг к другу; требуется использовать все палочки.)

4.Какое наибольшее число ладей можно разместить на шахматной доске так, чтобы для каждой ладьи либо её горизонталь, либо её вертикаль (либо и та, и другая) были свободны от других ладей?

5.Квадрат простого числа р увеличили на 160 и получили квадрат натурального числа. Найдите р.

Решение:

1.Ответ.  10100. 

Указание.  Возводя в квадрат выражение , получим . Отсюда получаем ответ задачи.

2.Ответ.  угол А=60°, угол В= 20°. 

Указание.  Треугольники ABM и AMC – равнобедренные, поэтому углы при их основаниях равны. Обозначим эти углы x и y соответственно. Тогда по свойству внешнего угла AMB для треугольника AMC,   имеем x=2y. Отсюда сумма углов A и C равна 4y=180°–100°, значит у=20°.

3.Ответ.  Нельзя.

Указание. Если бы такой треугольник можно было сложить, то в его основании должно было быть две палочки (в основании не могут быть три или четыре палочки: дело в том, что тогда оставшиеся три или две палочки нельзя разложить на две группы с одинаковой суммой, т.к. 16<11+12). Но даже если в основании будут две самые длинные палочки, (т.е.15+16), равнобедренный треугольник со сторонами 31, 25, 25 будет остроугольным, т.к. (31) 2 (25).

4.Ответ.  14.. 

Указание. Ладью на шахматной доске назовём вертикальной, если на её вертикали нет других ладей. Аналогично, определим горизонтальные ладьи (в принципе, ладья может оказаться одновременно  горизонтальной и вертикальной). Если имеется 8 вертикальных ладей, то больше на доске ладей нет (иначе новая ладья попала бы на чью-нибудь вертикаль из данных восьми ладей). Аналогично, если есть 8 горизонтальных ладей, то больше ладей нет. Покажем, что можно поставить 7 горизонтальных и 7 вертикальных ладей, что даст максимальное количество – 14 ладей. Действительно, их можно расположить на первой горизонтали и первой вертикали, кроме угловой клетки a1 (т.е. ладьи занимают клетки a2, a3,…,a8, b1, c1,…, h1).

5.Ответ.  p=3. 

Указание. Случай p=2 сразу после проверки исключаем. Имеем уравнение . Значит, произведение множителей (n+p) и   (n–p) равно 160=2×5.  Разность этих множителей равна 2p и поэтому делится на 2, но не на 4. Тогда получаем два возможных варианта разложения 160 на два множителя с общим делителем, кратным 2, но не 4: это разложения  80×2  и  16×10. Первое разложение даёт p=39, но это не простое число, а второе разложение даёт p=3.

Задачи финального тура олимпиады по математике

СПО 1 КУРС: ПрИ-9-11, ЗИО-9-11, ДОУ-9-23, Ю-9-23 .

1.Число a является корнем уравнения  . Найдите значение .

2.Дан треугольник АВС. На сторонах АВ, ВС и АС взяты точки С, А и В соответственно, так что   Обязательно ли все три точки А, В₁, С₁  являются серединами сторон, если известно, что серединами сторон являются по меньшей мере: а) две из них?  б) одна из них?

3.Можно ли из 25 натуральных чисел 1, 2, …, 25  выбрать 9 различных чисел и расположить их по кругу так, чтобы сумма квадратов любых трех подряд идущих чисел делилась на 10 ?

4.Квадрат простого числа р увеличили на 160 и получили квадрат натурального числа. Найдите р.

5.У квадратного трехчлена  известна сумма коэффициентов  Чему равна сумма коэффициентов а) многочлена 4-й степени (P(х))² (после возведения в квадрат и приведения подобных членов)? б) многочлена 20-й степени (P(х))¹⁰?

Решение:

 1.Ответ.  10100. 

Указание.  Возводя в квадрат выражение , получим . Отсюда получаем ответ задачи.

2. Ответ.  а) да б) нет.

Указание. а) Возьмём неравнобедренный треугольник АВС и рассмотрим геометрическое место точек, из которых отрезок А₁С₁ виден под углом, равным углу B. Известно (по свойству вписанных углов), что это – две дуги окружностей с общей хордой А₁С₁  Та дуга, которая лежит «ниже» А₁С₁ (т.е. по ту же сторону от А₁С₁,что и AC) пересекает AC не только в середине, но и ещё в одной точке (симметричной этой середине относительно серединного перпендикуляра к А₁С₁ ). Можно привести и более конкретный пример: пусть ABC – прямоугольный неравнобедренный треугольник с прямым углом B;  в качестве точки  В возьмём основание перпендикуляра из точки B. Нетрудно доказать, что этот пример удовлетворяет условию задачи. В приведенном указании в случае неравнобедренного треугольника для второй точки пересечения окружности с отрезком АС получится симметричный «малый» треугольник, для которого углы при вершинах в серединах АВ и ВС равны углу А и углу С, соответственно, т.е. углы поменялись местами. В равнобедренном треугольнике указанная окружность касается АС, т.е. пересекает АС в единственной точке – середине АС.

б) Конечно, отрицательный ответ следует из пункта а), но можно получить независимое решение, рассмотрев такой пример: ABC – прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом B. Из точки В₁ (середины гипотенузы) проведём две взаимно перпендикулярные прямые (чтобы они не составляли с гипотенузой угол 45°). Тогда точки А₁ и С₁ (точки пересечения с катетами) не будут их серединами, а треугольник прямоугольный и равнобедренный.     

3.Ответ.   можно.

Указание.  Пример  расположения чисел: 1, 2, 5, 11, 12, 15, 21, 22, 25 . См. также указание к задаче 11.5, которое поясняет подобный пример.

4.Ответ.  p=3. 

Указание. Случай p=2 сразу после проверки исключаем. Имеем уравнение . Значит, произведение множителей (n+p) и   (n–p) равно 160=2

 5.Ответ.  а) 4, б) 1024 

Указание.  Пункт а) нетрудно решить непосредственно, преобразовав искомое выражение к виду (a+b+c) = 4. Однако оба пункта задачи проще решить, если заметить, что сумма коэффициентов любого многочлена равна значению этого многочлена при x=1. Поэтому сумма коэффициентов многочлена (P(х))ⁿ равна (P(1))ⁿ = sⁿ, где s – сумма коэффициентов многочлена P(х). Подставляя в последнюю формулу значения из условия задачи, получаем ответ.