Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Открытый урок на тему "Решение тригонометрических уравнений"

Открытый урок на тему "Решение тригонометрических уравнений"



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:







Открытый урок



«Решение

тригонометрических уравнений»









Преподаватель математики

Григорьева Д.В.
















2015









Тема урока:

«Решение тригонометрических уравнений»



Тип урока: урок-консультация.

Цели и задачи урока:

1) образовательные – отработать умения систематизировать, обобщать знания, полученные в процессе изучения темы, применять их к решению задач; решать тригонометрические уравнения, используя различные приемы и способы; отработать умение применять справочные материалы;

2) развивающие – развивать логическое мышление, грамотную математическую речь, умение делать выводы и обобщения;

3) воспитательные – воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности, умение видеть и достигать цель.

Оборудование урока: магнитная доска, карточки; компьютер для демонстрации презентаций; тетради; таблицы по тригонометрии:

а) таблица значений тригонометрических функций некоторых углов;

б) формулы решения простейших тригонометрических уравнений (в том числе частные простейшие тригонометрические уравнения);

в) основные формулы тригонометрии.



Содержание урока.



Деятельность учителя


Деятельность ученика

  1. Организационный этап.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания.




Готовятся к уроку.

  1. Исторические сведения.

Задача: поддержать интерес к изучаемому предмету.

Слово тригонометрия происходит от двух греческих слов: тригонон – треугольник и метрейн – измерять и в буквальном переводе означает измерение треугольников.

Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне (в середине II тысячелетия до нашей эры). Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее применяли и сохранили математики Древней Греции и Рима (Гиппарх, Птолемей, Пифагор).

Принятая сегодня система обозначения величин углов получила широкое распространение на рубеже XVIXVII веков; ею уже пользовались известные астрономы Николай Коперник и Тихо Браге.

Синус – латинское слово и означает изгиб, кривизна; косинус – «дополнительный синус» или синус дополнительной дуги hello_html_7de41572.gif. Термины «тангенс» (в буквальном переводе – «касающийся») и «котангенс» произошли от латинского языка и появились в Европе значительно позднее. Среднеазиатские ученые называли соответствующие линии «тенями»: котангенс – «первой тенью», тангенс – «второй тенью».

Современный вид тригонометрия получила благодаря крупнейшему математику XVIII столетия Леонарду Эйлеру (1707 – 1783), швейцарцу по происхождению. Долгие годы он работал в России и являлся членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер впервые ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения.

В настоящее время тригонометрия является одним их основных разделов современной математической науки.


  1. Актуализация опорных знаний и умений.

Задачи: повторить основные понятия, связанные с решением тригонометрических уравнений; совершенствовать знания, умения и навыки учащихся в области решения тригонометрических уравнений.


  1. А теперь мы проведем небольшую устную разминку. Послушайте предысторию: «Ученик решил отправить на автобусе за город в лес. Прибыв на место он пустился на поиски грибов. Вечерело. Стало темнеть, и он стал плутать». У вас на столе лежит карта местности, по которой бродил ученик. Ваша задача состоит в том, чтобы решая пример за примером и двигаясь в том направлении, угол который вы найдете, выяснить, куда же вышел горе-путешественник.


  1. Обратим свое внимание на опорный конспект. С помощью этого конспекта определите, какие из предложенных вам уравнений не имеют корней и почему?

1) sin x = 0; 2) cos x = hello_html_m507f6966.gif; 3) tg x = 2; 4) sin x = 1,5; 5) cos x = -2.

3. Давайте обратим внимание на решения уравнений, которые вам предложены. Правильно ли решено это уравнение?


Пример 1. hello_html_6f9b28d6.gif.

Разделим обе части уравнения на 4.

hello_html_50f2d0f0.gif,

hello_html_m3611bc24.gif.

Пример 2. hello_html_m67dbbd82.gif.

Разделим обе части уравнения наhello_html_79904186.gif.

hello_html_62153240.gif,

hello_html_3ce18095.gif,

уравнение не имеет корней, так как hello_html_2ebf3970.gif.


Учитель предлагает найти ошибку при решении этих уравнений и исправить ее, выясняет в каком случае можно производить деление на hello_html_79904186.gifбез потери корней.







Учащиеся работают в парах.




Учащиеся поднимают руки и дают ответы с комментариями.








Ошибка заключена в делении на 4.





Ошибка заключена в делении на выражение, содержащее переменную.


  1. Постановка учебной задачи.

Задача: повторить методы решения тригонометрических уравнений.

Обращает внимание учащихся на магнитную доску, где расположены карточки с записью тригонометрических уравнений, и предлагает учащимся назвать способы решения уравнений.

По способу решения тригонометрические уравнения можно классифицировать следующим образом:

- уравнения, сводящиеся к квадратным;

- уравнения, решаемые путем разложения на множители;

- однородные тригонометрические уравнения;

- уравнения, решаемые с помощью тождественных преобразований.




Учащиеся перечисляют способы решения тригонометрических уравнений.

  1. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой.

Задача: проверить умение учащихся решать тригонометрические уравнения, выбирая оптимальный способ решения.


Решите уравнение:

I ряд. hello_html_m7adef315.gif (МГУ, геологический ф-т, 2004 г.)

II ряд. hello_html_3733aa73.gif (ЕГЭ, 2002 г.)

III ряд. hello_html_m129b979d.gif(учебно-тренировочные материалы к ЕГЭ, 2004 г.)

IV ряд. hello_html_5e4851f3.gif (ЕГЭ, 2003 г.)


Решение уравнений проверяются с помощью компьютера.






Учащиеся решают самостоятельно, затем выполняется проверка с помощью компьютера.

  1. Изложение нового материала.

Задачи: показать учащимся нетрадиционный способ решения тригонометрических уравнений.


Пример 1.

Предлагаю решить вам следующее уравнение hello_html_6b5d9134.gif.

Использование тригонометрических формул не упростит уравнение.

Решение некоторых тригонометрических уравнений может быть основано на неравенствах hello_html_m70b5c286.gif, hello_html_38b309a8.gif.

Так как наибольшее значение, которое могут принять функции hello_html_439e1e25.gif и hello_html_7f8b28ea.gif равно 1, то уравнение равносильно системе уравнений hello_html_md00e9ba.gif

Решим каждое уравнение.

hello_html_1e838441.gif, hello_html_30b5e501.gif,

hello_html_8815b45.gif. hello_html_m368ef615.gif.

Все корни первого уравнения являются корнями второго (hello_html_342007c7.gif).

hello_html_42bf5c9f.gif,

hello_html_373cbc6c.gif,

hello_html_m6a616c7.gif,

hello_html_342007c7.gif.

Следовательно, решением исходного уравнения является множество hello_html_8815b45.gif.

Ответ: hello_html_8815b45.gif.

Таким образом, тригонометрические уравнения можно решать с помощью оценки их левой и правой частей.


Пример 2.

Решим уравнение hello_html_m699b37bc.gif.

Решение. О.Д.З.: hello_html_6da2cf16.gif,

hello_html_m33b4ee8e.gif.

Упростим исходное уравнение, применив тригонометрические формулы.

hello_html_4b53f8d7.gif,

hello_html_471dcebe.gif,

hello_html_38ef6361.gif,

hello_html_m49047f30.gif,

hello_html_45da4a7.gif.

Это уравнение может иметь решение только в том случае, когда

hello_html_m655fdcd6.gif.

  1. Если hello_html_3f60b81b.gif, то hello_html_m6b57a0a0.gif, тогда hello_html_m4201a8d.gif.

  2. Если hello_html_12f4ca1e.gif, то hello_html_a4f5895.gif, тогда hello_html_m592b61dc.gif, а hello_html_2b045641.gif.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

hello_html_3f60b81b.gifи hello_html_12f4ca1e.gif.

Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа hello_html_4f337c61.gif.

Ответ: hello_html_4e2a3574.gif.


Пример 3.

Решите уравнение hello_html_m7ecb1d0f.gif.

Решение. Заметим, что hello_html_459825c5.gif.

Поэтому, если hello_html_m5a93ed84.gif, то hello_html_m71adf06e.gif.

Тогда исходное уравнение примет вид:

hello_html_6a90b7d4.gif,

hello_html_28872fa1.gif,

hello_html_m22e1a8e6.gif,

hello_html_m28246cad.gif, hello_html_m27ada93d.gif.

  1. Если hello_html_m16225c53.gif, то hello_html_m541d8f4b.gif.

hello_html_253638df.gif,

hello_html_169f43dc.gif,

hello_html_66fe59ea.gif,

hello_html_259fa9b3.gif.

  1. Если hello_html_484ad932.gif, то hello_html_m13e4102a.gif.

hello_html_m72093419.gif.

Аналогично: hello_html_3e694272.gif,

hello_html_m1da568ad.gif,

hello_html_47bb23e3.gif.

Ответ: hello_html_m70e7e056.gif; hello_html_5c0a0a80.gif.

Таким образом, при решении тригонометрических уравнений иногда используют такую замену переменной, как hello_html_5e3f9ac0.gif или hello_html_m42104c33.gif.






Изложение учителя.

Учащиеся отвечают на текущие вопросы.

  1. Закрепления нового материала.

Задачи: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

Предлагает учащимся назвать вид уравнения и способ решения уравнений:

а) hello_html_m3f177be3.gif; – однородное уравнение (hello_html_m2ea688fe.gif).

б) hello_html_1bb1c0c1.gif; – ур-е, решаемое путем разложения на множ.

в) hello_html_113eb9e.gif; – ур-е, сводящееся к квадратным (замена пер.).

г) hello_html_790fad59.gif; – ур-е, решаемое с пом. триг. преобразований

д) hello_html_b62e834.gif. – однородное уравнение (hello_html_m5429a3de.gif).



Учащиеся называют вид уравнения и способ решения.

VII. Постановка домашнего задания.

Задача: закрепить умение решать тригонометрические уравнения, выбирая подходящий способ решения.

Решите уравнения:

1. hello_html_m7c51cfeb.gif.

2. hello_html_51e72eaa.gif.

3. Подберите уравнение, которое имеет нестандартный способ решения и решите его.






57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 24.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров593
Номер материала ДВ-007043
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх