Открытый урок на тему "Решение тригонометрических уравнений"

Открытый урок

«Решение

тригонометрических уравнений»

Преподаватель математики

Григорьева Д.В.

2015

Тема урока:

«Решение тригонометрических уравнений»

Тип урока: урок-консультация.

Цели и задачи урока:

            1) образовательные – отработать умения систематизировать, обобщать знания, полученные в процессе изучения темы, применять их к решению задач; решать тригонометрические уравнения, используя различные приемы и способы; отработать умение применять справочные материалы;

            2) развивающие – развивать логическое мышление, грамотную математическую речь, умение делать выводы и обобщения;

            3) воспитательные – воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности, умение видеть и достигать цель.

Оборудование урока: магнитная доска, карточки; компьютер для демонстрации презентаций; тетради; таблицы по тригонометрии:

а) таблица значений тригонометрических функций некоторых углов;

б) формулы решения простейших тригонометрических уравнений (в том числе частные простейшие тригонометрические уравнения);

в) основные формулы тригонометрии.

Содержание урока.

Деятельность учителя	Деятельность ученика
I.                   Организационный этап. Задача: подготовить учащихся к работе на уроке. Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания.	Готовятся к уроку.
II.                Исторические сведения. Задача: поддержать интерес к изучаемому предмету.           Слово тригонометрия происходит от двух греческих слов: тригонон – треугольник и метрейн – измерять и в буквальном переводе означает измерение треугольников.           Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне (в середине II тысячелетия до нашей эры). Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее применяли и сохранили математики Древней Греции и Рима (Гиппарх, Птолемей, Пифагор).           Принятая сегодня система обозначения величин углов получила широкое распространение на рубеже XVI–XVII веков; ею уже пользовались известные астрономы Николай Коперник и Тихо Браге.           Синус – латинское слово и означает изгиб, кривизна; косинус – «дополнительный синус» или синус дополнительной дуги . Термины «тангенс» (в буквальном переводе – «касающийся») и «котангенс» произошли от латинского языка и появились в Европе значительно позднее. Среднеазиатские ученые называли соответствующие линии «тенями»: котангенс – «первой тенью», тангенс – «второй тенью».           Современный вид тригонометрия получила благодаря крупнейшему математику XVIII столетия Леонарду Эйлеру (1707 – 1783), швейцарцу по происхождению. Долгие годы он работал в России и являлся членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер впервые ввел  известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения.           В настоящее время тригонометрия является одним их основных разделов современной математической науки.
III.             Актуализация опорных знаний и умений. Задачи: повторить основные понятия, связанные с решением тригонометрических уравнений; совершенствовать знания, умения и навыки учащихся в области решения тригонометрических уравнений. 1.       А теперь мы проведем небольшую устную разминку. Послушайте предысторию: «Ученик решил отправить на автобусе за город в лес. Прибыв на место он пустился на поиски грибов. Вечерело. Стало темнеть, и он стал плутать». У вас на столе лежит карта местности, по которой бродил ученик. Ваша задача состоит в том, чтобы решая пример за примером и двигаясь в том направлении, угол который вы найдете, выяснить, куда же вышел горе-путешественник. 2.       Обратим свое внимание на опорный конспект. С помощью этого конспекта определите, какие из предложенных вам уравнений не имеют корней и почему?       1) sin x = 0;    2) cos x = ;    3) tg x = 2;    4) sin x = 1,5;    5) cos x = -2. 3. Давайте обратим внимание на решения уравнений, которые вам предложены. Правильно ли решено это уравнение? Пример 1.   . Разделим обе части уравнения на 4. , . Пример 2.  . Разделим обе части уравнения на. , , уравнение не имеет корней, так как . Учитель предлагает найти ошибку при решении этих уравнений и исправить ее, выясняет в каком случае можно производить деление на без потери корней.	Учащиеся работают в парах. Учащиеся поднимают руки и дают ответы с комментариями. Ошибка заключена в делении на 4. Ошибка заключена в делении на выражение, содержащее переменную.
IV.             Постановка учебной задачи. Задача: повторить методы решения тригонометрических уравнений. Обращает внимание учащихся на магнитную доску, где расположены карточки с записью тригонометрических уравнений, и предлагает учащимся назвать способы решения уравнений.             По способу решения тригонометрические уравнения можно классифицировать следующим образом: - уравнения, сводящиеся к квадратным; - уравнения, решаемые путем разложения на множители; - однородные тригонометрические уравнения; - уравнения, решаемые с помощью тождественных преобразований.	Учащиеся перечисляют способы решения тригонометрических уравнений.
V.                Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой. Задача: проверить умение учащихся решать тригонометрические уравнения, выбирая оптимальный способ решения.                Решите уравнение: I ряд.      (МГУ, геологический ф-т, 2004 г.) II ряд.     (ЕГЭ, 2002 г.) III ряд.   (учебно-тренировочные материалы к ЕГЭ, 2004 г.) IV ряд.    (ЕГЭ, 2003 г.) Решение уравнений проверяются с помощью компьютера.	Учащиеся решают самостоятельно, затем выполняется проверка с помощью компьютера.
VI.             Изложение нового материала. Задачи: показать учащимся нетрадиционный способ решения тригонометрических уравнений. Пример 1. Предлагаю решить вам следующее уравнение . Использование тригонометрических формул не упростит уравнение. Решение некоторых тригонометрических уравнений может быть основано на неравенствах , . Так как наибольшее значение, которое могут принять функции  и  равно 1, то уравнение равносильно системе уравнений Решим каждое уравнение. ,                                 , .               . Все корни первого уравнения являются корнями второго (). , , , . Следовательно, решением исходного уравнения является множество . Ответ: . Таким образом, тригонометрические уравнения можно решать с помощью оценки их левой и правой частей. Пример 2. Решим уравнение . Решение. О.Д.З.: ,                               . Упростим исходное уравнение, применив тригонометрические формулы.                                ,                                ,                                 ,                                 ,                                  . Это уравнение может иметь решение только в том случае, когда                                   . 1)       Если , то , тогда . 2)       Если , то , тогда , а . Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений                                    и . Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа . Ответ: . Пример 3. Решите уравнение . Решение. Заметим, что . Поэтому, если , то . Тогда исходное уравнение примет вид:                            ,                            ,                             ,                              ,          . 1)       Если , то .                                     ,                                     ,                                     ,                                      . 2)       Если , то .                                        . Аналогично:                 ,                                        ,                                         . Ответ: ; . Таким образом, при решении тригонометрических уравнений иногда используют такую замену переменной, как  или .	Изложение учителя. Учащиеся отвечают на текущие вопросы.
VI.             Закрепления нового материала. Задачи: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке. Предлагает учащимся назвать вид уравнения и способ решения уравнений: а) ;                                 – однородное уравнение (). б) ;                                  – ур-е, решаемое путем разложения на множ. в) ;                                 – ур-е, сводящееся к квадратным (замена пер.). г) ;   – ур-е, решаемое с пом. триг. преобразований д) .            – однородное уравнение ().	Учащиеся называют вид уравнения и способ решения.
VII. Постановка домашнего задания. Задача: закрепить умение решать тригонометрические уравнения, выбирая подходящий способ решения. Решите уравнения: 1. . 2.  . 3. Подберите уравнение, которое имеет нестандартный способ решения и решите его.