Открытый урок по геометрии в 8 классе "Учитесь доказывать теоремы"

                   Открытый урок по геометрии в 8 классе коррекционной школы для учащихся

                                                   с ограниченными возможностями здоровья

                                                    Тема урока: « Учитесь доказывать теоремы»

Цель урока

образовательная :     Познакомить учащихся с методами доказательств теорем

коррекционная:    Уметь делать словесные, логические обобщения, выделять из общего частное, развивать образную память

воспитательная:       Воспитывать трудолюбие,  настойчивость в достижении цели

Задачи:                       Научить некоторым методам доказательства теорем

Метод обучения:     словестный, иллюстрация

Форма контроля:     устный опрос

Оборудование:        таблицы

Тип урока:                 беседа

                                           Ход урока

1.Организационный момент

     Я приветствую вас на уроке геометрии. Желаю вам за ограниченное время нашего урока с помощью вашего ума достичь желаемого. То есть решить все задачи стоящие перед нами на уроке по теме «Учитесь доказывать теоремы».

2. Актуализация знаний.

Учитель. Ребята, как вы думаете, что важнее в геометрии: теория или практика?

Учитель. У древнегреческого учёного Фалеса спросили: что есть больше всего на свете?

- Пространство.

-Что быстрее всего?

- Ум.

- Что мудрее всего?

- Время.

- Что приятнее всего?

-Достичь желаемого.

3.Новый материал в форме беседы

      Усвоить содержание теорем (правил, формул, тождеств  пр.) нетрудно. Значительно труднее научиться доказывать теоремы. При этом речь идет не о запоминании доказательства той или другой теоремы. Специально запоминать не нужно, нужно научиться самому  доказывать теоремы.

  Что значит доказать теорему? Доказательство в широком смысле –это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений. Поэтому, когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, то вы по существе проводите доказательство( умело или неумело – это другой вопрос). В жизни каждодневно приходится доказывать те или иные мысли, приходиться убеждать в чем-то.

   Доказательство математических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательств в житейских условиях, что совершается по возможности чисто дедуктивным способом, т.е.  выведением новой доказываемой мысли из ранее доказанных или принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо ссылок на примеры или опыт. В других науках, в житейских обстоятельствах часто прибегаем к опыту и примерам. Мы говорим: «Смотри» и это может служить доказательством. В математике такой способ доказательства недопустим. Математическое доказательство должно представлять цепочку логических следствий из исходных аксиом., определений, условий теорем.

   Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь к другим ит.д. Очевидно, этот процесс должен быть конечным. Аксиомы служат в качестве оснований для доказательства всех теорем математики.

   Всякий шаг доказательства состоит из трех частей:1. Предложение (аксиома, теорема, определение), на основе которого производится шаг доказательства, этот шаг доказательства называется посылкой или аргументом 2. Логическое  рассуждение, в процессе которого посылка применяется к условиям теоремы или ранее полученным следствиям 3. Логическое следствие применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям. В последнем шаге доказательства теоремы в качестве следствия получаем утверждение, которое необходимо было доказать.

       Покажем процесс доказательства на примере теоремы: »Диагонали прямоугольника равны» В этой теореме нам дан произвольный прямоугольник. Для того, чтобы было легче рассуждать в процессе доказательства, поступают следующим образом. Начертим прямоугольник ABCD

 A                                                                             B

D                                                                              C

    При доказательстве не будем какие либо частные особенности. Например, одна из сторон в 2 раза больше другой. Поэтому наши рассуждения верны и для любого другого прямоугольника, т.е. будут иметь общий характер. Проведем диагонали  AC и BD. Рассмотрим полученные треугольники ABC и ABD. У этих треугольников углы ABC и ABD  равны как прямые, катет АB – общий, а катеты DC и AD равны как противоположные стороны прямоугольника. Следовательно эти треугольники равны. Отсюда следует, что сторона AC и BDтакже равны, что и требовалось доказать.

Все доказательства этой теоремы можно изобразить в виде схемы. Схему перенести в тетради.

№	Посылка (аргумент)	Условие	Следствие
1 2. 3. 4. 5.	Определение: Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые Теорема: Прямые углы равны Теорема: противоположные стороны прямоугольника равны Первый признак равенства треугольников Определение: равенства треугольников	ABCD – прямоугольник ∟A – прямой ∟B -  прямой ABCD – прямоугольник BС= AD,  AB =AB ∟ B =∟A Δ ABC = Δ BAD,  AС и BD соответственный стороны	∟А – прямой ∟В -  прямой ∟А=∟В BC=AD Δ ABC= Δ BAD , AC= BD

    Самое трудное в доказательстве – это найти последовательность посылок (аксиом, теорем, определений), применяя которые в конечном счете можно получить доказываемое положение. Какими правилами нужно пользоваться при поиске этой последовательности? Вот некоторые из них :

1.       Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме, их определениями и признаками.  Например: В рассматриваемой выше теореме речь шла о прямоугольнике, и мы для доказательства использовали определение прямоугольника.

2.       Если можно, то нужное доказываемое положение раздробить на части и каждую часть доказывать отдельно. Так например в теореме: » Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм» - можно разделить на две части: сначала доказать, что одна пара противоположных сторон параллельна, а затем доказать,  что и вторая пара противоположных сторон параллельна.

3.       В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремык заключению и от заключения к условиям. Надо стараться сблизить условие и заключение теоремы

Приведем пример.

Теорема: Две прямые, каждая из которых параллельна третьей, параллельны между собой.

с

              в                                                                                         М

              а                                                                                 

               Дано: а ǁ  с,  в ǁ  с

              Доказать: а ǁ в

             Прямого доказательства этой теоремы мы не знаем. Тогда докажем ее методом РТ противного. Допустим, что заключение теоремы неверно, т.е а не параллельна в. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. А так как по условию каждая из этих прямых параллельна прямой с, то через точку М проведены две прямые а и в параллельные одной и той же прямой с. А мы знаем по аксиоме параллельности, что через точку вне прямой можно провести не более одной прямой параллельной данной. Пришли к противоречию с аксиомой. Это показывает, что наше предположение о непараллельности прямых а и в неверно, следовательно а ǁ в, что и требовалось доказать.

4.Физкультминутка на общее развитие организма детей /конечностей и туловища/ 
v «Петрушка». Исходное положение: руки опущены, расслаблены. Одновременно хаотичным встряхиванием рук и ног достичь расслабления мышц до чувств тепла и покраснение ладоней. 
v «Потягивание кошечки». Исходное положение: сидя на стуле парты, прогнуться в пояснице, кисти к плечам. Вдох – потянуться, руки вверх, кисти расслабленв. Выдох – кисти к плечам, локти свести вперед.

5.Практическое применение усвоенных знаний:

Задача 1: Составьте схему шагов еоремы указывая посылки, условия и следствия

Вариант 1) в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой

Вариант 2) Середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Задача 2: Докажите методом от противного теорему: «Во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона»

Задача 3: В чем ошибка следующих рассуждений?

4:4=5:5      Вынесем за скобки общий множитель.

4(1:1)=5(1:1), а так как 1:1=1   и  2х2=4, то получается

(2х2)Х1=5х1   или  2х2= 5

6.Физкультминутка. Упражнения для глаз

7. Домашнее задание: №212 Вопросы для повторения стр 68 №13-15  Оформить доказательства в виде схемы по образцу

8.Подведение итогов. Выставление оценок за активность

.