Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Открытый урок по математике 9 класс по теме "Целое уравнение и его корни"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Открытый урок по математике 9 класс по теме "Целое уравнение и его корни"

Выбранный для просмотра документ Домино.docx

библиотека
материалов

Домино

ответ


ах4 + вх2 + с = 0, а ≠ 0


вопрос

  1. Уравнение называется целым, если…


ответ

Обе части уравнения являются целыми выражениями.

вопрос

Выражение называется целым, если…

ответ

Выражение не содержит деления на переменную.

вопрос

Назовите общий вид целого уравнения…


ответ

Р(х) = 0,

где Р(х) – многочлен.

вопрос

Что называется степенью целого уравнения?


ответ

Степень многочлена стандартного вида Р(х) в уравнении Р(х) =0.

вопрос

Сколько корней может иметь уравнение 4 –ой степени?

ответ

Не более 4 – х.

вопрос

Назовите общий вид биквадратного уравнения…



Выбранный для просмотра документ Маршрутный лист.docx

библиотека
материалов

Лист успешности


Фамилия и имя учащегося:

Ваше настроение на начало урока.

hello_html_m6169237.png

Выполнение домашнего задания.


Игра «Домино», устная работа.

(правильный ответ «+»,

Неправильный ответ «-«.)


Математический диктант.

(Каждый правильный ответ – 1балл)


Самостоятельная работа

(1 уравнение – «3»,

2 уравнения – «4»,

3 уравнения – «5»).


Индивидуальное задание (сообщение, работа у доски)


Знаете ли вы методы решения целых уравнений?


Умеете ли вы применять эти методы?


Сможете ли вы решать уравнения самостоятельно?


Чувствовали вы себя комфортно на уроке?


Ваше настроение на конец урока.

hello_html_m6169237.png

ИТОГОВАЯ ОЦЕНКА:



Выбранный для просмотра документ Нильс Хенрик Абель.docx

библиотека
материалов

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Малополпинская средняя общеобразовательная школа»

Брянского района









СООБЩЕНИЕ

по математике на тему:

Нильс Хенрик Абель

 

hello_html_58bd9b69.jpg

1802–1829

 

«Абель оставил математикам столь богатое наследие,

 что им будет чем заниматься в ближайшие 150 лет.»

Шарль Эрмит



Подготовил

Ученик 9 класса

Гафыкин Игорь



2016-2017 учебный год



Нильс Хенрик Абель (5 августа 1802, Фингё — 6 апреля 1829, Фроланд близ Арендаля) — выдающийся норвежский математик.

Родился в семье пастора. Детство Абеля было омрачено слабым здоровьем, а также пьянством и постоянными раздорами его родителей. 

В школе, благодаря учителю Берту Михаэлю Хольмбоэ, увлёкся математикой. В своём служебном отчёте 1819 года Хольмбоэ так писал о своём 17-летнем ученике:

С превосходнейшим гением он сочетает ненасытный интерес и тяготение к математике, поэтому, если он будет жить, он, вероятно, станет великим математиком.

1820: умер отец Абеля. Семья (шестеро детей) на грани нищеты. У старшего брата, Ханса-Матиаса, обнаружилось душевное расстройство. Ответственность за семью теперь на плечах 18-летнего Нильса Хенрика. 

В 1821 году Абель поступил в университет Христиании (ныне Осло), где преподаватели, ознакомившись с его ранними работами, решили установить ему стипендию из личных средств, «дабы сохранить для науки это редкое дарование». Чтобы облегчить жизнь матери, Нильс Хенрик взял одного из братьев к себе и стал подрабатывать репетиторством. 

1822: Абель получает степень «кандидата философии». 

Зимой 1822—1823 годов он представил университету первую значительную научную работу, посвящённую интегрируемости дифференциальных уравнений. Рукопись не была опубликована и впоследствии затерялась, но за неё Абелю наконец назначена государственная стипендия. 

1823: Абель закончил блестящее исследование древней проблемы: доказал невозможность решить в общем виде (в радикалах) уравнение 5-й степени. Во время поездки в Копенгаген встречает Кристину («Крелли») Кемп и строит планы совместной жизни, для которой надо занять хорошо оплачиваемую должность. Крелли бедна, как и он сам, зарабатывает на жизнь репетиторством. 

1824: университет разрешил Абелю оплачиваемую поездку за границу для продолжения образования. На Рождество Абель и Крелли празднуют своё обручение. 

Сначала Абель поехал в Берлин, где жил с сентября 1825 года по февраль 1826 года. Там он познакомился с Августом Крелле, который устроил Нильса сотрудником журнала «Journal für die reine und angewandte Mathematik». Работы Абеля в этот период касались в основном теории эллиптических функций, которую он значительно продвинул одновременно с Карлом Густавом Якоби. Соревнование в течение нескольких лет этих двух выдающихся математиков принесло существенную пользу науке. 

Публикует также расширенный вариант своей первой работы об уравнениях: любые уравнения степени выше 4-й, вообще говоря, неразрешимы в радикалах. Причём он привёл конкретные примеры неразрешимых уравнений. На эту работу опирался Галуа. 

В феврале 1826 года Абель поехал в Италию и провёл несколько месяцев в Венеции. В июле переехал в Париж, где оставался до конца года. Знакомится с Лежандром и Коши. Пытается опубликовать знаменитый мемуар об абелевых функциях. Труд этот сначала затерялся, потом его отыскали и — уже посмертно — отметили Большой премией Парижской Академии. 

В начале 1827 года деньги заканчиваются, Абелю приходится ограничивать себя в еде. Он возвращается в Берлин, потом в Христианию. Бедствует, подрабатывая частными уроками. После письма видных французских математиков норвежскому королю получает место временного преподавателя в университете и инженерной школе. Большая часть жалованья уходит на выплату накопившихся долгов семьи. 

1828: Абель избран членом Королевского научного общества Норвегии. Продолжает активно развивать теорию эллиптических функций. Ждёт обещанного приглашения на работу в Берлин. 

1829: умирает от туберкулёза. Приглашение опоздало. 

В его честь был назван кратер Абель на Луне. 

В 2002 году, в честь 200-летнего юбилея Абеля, правительство Норвегии учредило абелевскую премию по математике. Ему поставлен памятник в Осло. 

В алгебре Абель нашёл необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался «в радикалах» через коэффициенты этого уравнения. Достаточное условие вскоре открыл Галуа, чьи достижения вдохновляли труды Абеля. Абель привёл конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах, и тем самым в значительной степени закрыл древнюю проблему. 

Абель тщательно исследовал тему сходимости рядов, причём на высшем уровне строгости. Его критерии строгости были более жёсткими, чем даже у Коши. Он, например, доказывал, что сумма степенного ряда внутри круга сходимости непрерывна, в то время как Гаусс и Коши считали этот факт самоочевидным. Коши, правда, опубликовал (1821) доказательство даже более общей теоремы: «Сумма любого сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна», однако Абель в 1826 году привёл контрпример, показывающий, что эта теорема неверна (Коши не располагал понятием равномерной сходимости). К доказательствам Абеля чаще всего невозможно придраться и современному математику. 

В теории рядов имя Абеля носят несколько важных теорем. 

В теории специальных, особенно эллиптических и абелевых функций, Абель был признанным лидером-основателем наряду с Якоби. Он первый определил эллиптические функции как функции, обратные эллиптическим интегралам, распространил их определения на общий комплексный случай и глубоко исследовал их свойства.

Самая важная теорема Абеля об интегралах от алгебраических функций была опубликована лишь посмертно. Лежандр назвал это открытие «нерукотворным памятником» Абелю. 

Абелю поставлены памятники в Осло и Ерстаде.

hello_html_7a14b004.jpg



Его портрет помещался на норвежскую банкноту 500 крон (1978–2002)

hello_html_m155ca37f.jpg

Имя Абеля носят следующие математические объекты:

  • абелев интеграл

  • абелева группа

  • абелево многообразие

  • биномиальная теорема Абеля

  • дискретное преобразование Абеля

  • интегральное преобразование Абеля

  • признак Абеля

  • теорема Абеля – Руффини

  • тождество Абеля. 



Выбранный для просмотра документ Сообщения о Абеле и Галуа.docx

библиотека
материалов

Нильс Хенрик Абель родился 5 августа 1802 года— выдающийся норвежский математик.

Родился в семье пастора. Детство Абеля было омрачено слабым здоровьем, а также нищетой его семьи. 

В школе, благодаря учителю, увлёкся математикой. В 1819 году он так писал о своём 17-летнем ученике:

«С превосходнейшим гением он сочетает ненасытный интерес и тяготение к математике, поэтому, если он будет жить, он, вероятно, станет великим математиком».

Так и случилось. За свои неполные 27 лет, которые он прожил,

«Абель оставил математикам столь богатое наследие,

 что им будет чем заниматься в ближайшие 150 лет»

сказал Шарль Эрмит.

Абель привёл конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах.

В 1829 году умирает от туберкулёза.  

В его честь был назван кратер Абель на Луне. 

В 2002 году, в честь 200-летнего юбилея Абеля, правительство Норвегии учредило абелевскую премию по математике. Ему поставлен памятник в Осло. 



Эварист Галуа родился 26 октября 1811  – выдающийся французский математик, основатель современной высшей алгебры. 

Родился в обеспеченной семье директора пансионата. Учился в Парижском королевском колледже. Получил прекрасное образование.

Летом 1830 года Июльская революция устраняет во Франции власть короля Карла X. Эварист со всем пылом своей натуры принимает сторону революционеров. В результате политических разборок была спровоцирована дуэль, на которой юный Эварист Галуа получил смертельное ранение. Было ему 20 с половиной лет.

Шестьдесят страниц, написанных Эваристом Галуа накануне роковой дуэли, явились одним из истоков современной теории групп – основного и  наиболее  развитого  раздела  алгебры,  изучающего  в  общем  виде глубокую закономерность реального мира – симметрию.

Настоящий триумф идеи Галуа получили в наше время. Теперь уже тысячами исчисляется число работ, посвященных «группам» и «полям» Галуа, «когомологии Галуа», методам теории групп и их многочисленным применениям, в частности, к раскрытию тайн  строения кристаллов и атомов.

Выбранный для просмотра документ Эварист Галуа.docx

библиотека
материалов

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Малополпинская средняя общеобразовательная школа»

Брянского района







СООБЩЕНИЕ

по математике на тему:

Эварист Галуа

hello_html_m261a39bc.jpg

1811–1832 

Nitens lux, horrenda procella, tenebris aeternis involuta.

Из письма Эвариста Галуа

 

Юный Эварист Галуа, двадцати одного года, хороший математик, кроме того, известный своим пылким воображением, умер от острого перитонита, вызванного пулей, выпущенной с 25 шагов.

Gazette des Hôpitaux от 7 июня 1832 года





Подготовил

Ученик 9 класса

Геращенков Иван



2016-2017 учебный год

 

Эварист Галуа (26 октября 1811 – 31 мая 1832) – выдающийся французский математик, основатель современной высшей алгебры. 

Эварист Галуа родился в семье директора пансиона Никола-Габриэля Галуа, позже ставшего мэром  небольшого городка Франции Бур-ля-Рен.  Первоначально мама Эвариста, Аделаиды-Мари Демант, сама заботилась о его образовании, имевшем преимущественно гуманитарное направление. Читая Плутарха, Корнеля, Расина, мальчик жадно впитывает свободолюбивые идеи  классиков. Когда Эваристу исполнилось 12 лет, родители определили его в Королевский колледж в Париже (ныне лицей Луи-ле-Гран).

Хорошо подготовленный, он становится  одним из наиболее успевающих воспитанников лицея. Но довольно скоро литература, история, риторика перестают удовлетворять природный пытливый ум Эвариста. Увлеченность гуманитарными  предметами гаснет, поведение его характеризуется учителями как  «рассеянное», ум – «недозревшим» и Галуа оставляют на второй год в классе риторики.

Сделавшись второгодником,  Эварист решает параллельно посещать и математический класс. Там-то сразу же и обнаружились его исключительные математические  способности. С интересом и страстью штудируя серьезные учебники и даже исследовательские труды по алгебре и математическому анализу, Эварист особенно увлекся работой Лагранжа – великого французского математика-аналитика XVIII века, в которой исследовалась проблема  разрешимости в радикалах  алгебраических уравнений общего вида

а0хn+ а1хn–1+…+ аn–1х+аn=0.

Суть проблемы – выразить решения такого уравнения формулой, составленной из коэффициентов уравнения, знаков арифметических действий и радикалов.  Соответствующие формулы для решения  уравнений квадратных, третьей и четвертой степеней известны. Последние две были получены еще в XVI веке итальянскими математиками Тарталья и Феррари, но все попытки получения формулы для решения уравнений пятой степени общего вида

а0х51х42х33х2+ а4х+ а5=0

были безуспешными в течение более чем двух веков.

Только в 1824 году  двадцатидвухлетний норвежский математик Нильс Хенрик Абель, найдя  совершенно новый подход к этой проблеме, доказал, что уравнение пятой и более высоких степеней общего вида неразрешимо в радикалах, т. е. невозможно сконструировать из коэффициентов такого уравнения с помощью арифметических действий и извлечения корней формулу, выражающую его решения.

Юный Галуа – он на 9 лет моложе Абеля – избрал иное  направление для своих исканий в теории алгебраических уравнений п-го порядка. Открытие Абеля и исследования Лагранжа относились к уравнениям с буквенными коэффициентами. Однако же корни некоторых уравнений пятой и более высоких степеней с числовыми коэффициентами удается выразить в радикалах. Значит,  должен быть какой-то признак, позволяющий установить, решается данное уравнение в радикалах или нет. Полное исследование этого вопроса и поиск научного ответа стали целью жизни юного Эвариста Галуа.

Юноша твердо и бесповоротно вступил на тропу самостоятельных математических исследований. Ближайшее его стремление – поступить в Ecole Polytechnique – Политехническую школу, где математику преподают ученики Лагранжа.

Не будучи натаскан на решении изощренных задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах, Галуа провалился. Этот провал, замечает историк математики Дюпюи, «явился первой из несправедливостей, которые в конце концов отравили ему жизнь». Пришлось вернуться в колледж, но теперь, к счастью, в класс другого учителя математики –  Ришара. Учитель Ришар сразу оценил  незаурядность натуры и математическое дарование шестнадцатилетнего юноши. Проходит год, Галуа 17 лет, и вот в одном математическом журнале опубликовывается его первое  научное сообщение: «Доказательство  одной теоремы о периодических непрерывных дробях». Вскоре Галуа сделал новые, еще более значительные открытия, относящиеся к теории решения уравнений, и направил несколько своих научных статей в Академию наук. Оценить его работу и представить совету академии взялся самый знаменитый из  французских математиков того времени – Огюстен Луи Коши. Но, как  утверждается в статьях и книгах о Галуа, маститый академик якобы умышленно «зажал» его работу,  сомневаясь в том, что юный лицеист смог одолеть веками неподдававшуюся проблему, или, быть может, Коши, загруженный делами, просто забыл о рукописях Галуа. Так или не так, но эти рукописи с тех пор считаются утерянными. Тень непорядочности или, скажем, высокомерной пренебрежительности, наброшенной на Коши летописцами жизни Галуа, удалось значительно осветлить лишь в 1971 году. В архивах Французской академии наук было обнаружено письмо Коши, из которого следует, что он внимательно читал все манускрипты Галуа и, убедившись в их важности и ценности, планировал представить его работы совету Академии наук в январе 1830 года.

Учитель математики Ришар обратился к дирекции Политехнической школы с рекомендацией зачислить Галуа без вступительных экзаменов как юношу, талантливо работающего, по выражению  Ришара, «в высших областях математики». Рекомендацию отклонили, и Эваристу пришлось вновь  предстать перед экзаменаторами. И вновь неудача.

Так или иначе, но в Политехническую школу Галуа не попал.

Почему экзаменаторы задают поступающим только запутанные вопросы? – записывает он позже. – Может показаться, что они боятся быть понятыми теми, кого  спрашивают. Откуда взялась эта злосчастная манера нагромождать в вопросах искусственные трудности? Неужели кто-нибудь думает, что наука слишком проста? А что из этого получается? Ученик заботится не о том, чтобы получить  образование, а о том, чтобы выдержать экзамены.

Через несколько дней после  неудачного экзамена новая беда: покончил с собой отец Эвариста – мэр городка Бур-ля-Рен в течение семнадцати лет, уважаемый  простыми горожанами, но затравленный его политическими противниками – клерикалами и иезуитами. Несчастья и неудачи не угасили в Галуа жажду знаний и творчества. С февраля 1830 года он посещает лекции профессоров другой высшей школы, известной под названием «Ecole Normale» («Нормальная»). В том же году Эварист  представляет на конкурс в Академию наук новые три манускрипта. Казалось бы, теперь все хорошо. Рукопись Эвариста начал читать сам Фурье – великий математик, не ретроград. Он-то уж оценит новизну и  своеобразие математических открытий  Галуа!

Так и было бы, если бы  жестокая фортуна не подставила  очередную подножку восемнадцатилетнему Галуа: Фурье стар и вскоре  умирает. А рукопись Галуа куда-то таинственно исчезает, как в прошлый раз из рук Коши.

Летом 1830 года Июльская революция устраняет во Франции власть короля Карла X. Эварист со всем пылом своей натуры принимает сторону революционеров, вступает в Общество друзей народа и в артиллерию национальной гвардии. Активно участвует во всех волнениях, потрясавших Париж на протяжении 1831 года, и негодует по поводу возведения на престол нового короля Луи-Филиппа вместо установления республики, считая это изменой  идеалам, за которые сражались на  баррикадах. Его лишают права посещать лекции. Галуа бедствует, но не  сдает свои гражданские и научные  позиций.

14 июля 1831 года зачинщиков беспорядков, в их числе Галуа, арестовывают.

Гений, непонятый и  непризнанный при жизни даже крупнейшими математиками, для полиций тем более всего лишь политический смутьян, «неистовый республиканец» (по характеристике самого  префекта полиции). Вот полиция и приступает к осуществлению своих излюбленных трюков: сначала в камеру – последнее обиталище Галуа – влетает якобы шальная пуля, пущенная с чердака соседнего дома, расплющиваясь о стену в нескольких сантиметрах от его головы. Затем подстраивается знакомство Галуа с некоей особой женского пола, оказавшейся вместе с ним в тюремной больнице, куда в марте 1832 года поместили Галуа в связи с ухудшением его здоровья. Суть подлого замысла его политических врагов состояла в том, чтобы  спровоцировать ревность и как следствие – дуэль. В эту сеть,  расставленную полицией, и попал честный, принципиальный, гордый Галуа.

И вот последняя в его жизни майская ночь 1832 года.  Предчувствуя трагичный для себя исход дуэли, он всю ночь лихорадочно дорабатывает свои рукописи сотворенной им новой, оказавшейся впоследствии очень актуальной,  математической науки – «теории групп», полностью раскрывшей тайны существования решений алгебраических уравнений. Делает на полях рукописи редакционные пометки и горестные замечания:

...Осталось немного для завершения этих  доказательств, но у меня мало времени...

Пишет письмо единственному своему другу, в котором кратко излагает содержание своих исследований и просит его обратиться к крупнейшим математикам для  оценки важности этих результатов – в их истинности он не сомневался.

Наступившим утром 30 мая 1832 года случайный прохожий  заметил на лужайке тяжело раненного в живот молодого человека. Это был Галуа. Раненого отвезли в  больницу.

Галуа еще накануне питал слишком мало иллюзий,  чтобы сохранить их после ранения. Он смотрел смерти в лицо.  Его юный брат,  единственный из всей семьи, был извещен: он поспешил к нему весь в слезах. Эварист попытался успокоить его своим стоицизмом.

Не плачь, — сказал он ему, — я нуждаюсь во всем моем мужестве, чтобы умереть в 20 лет.

В полном сознании он отказался от присутствия священника.  К вечеру обнаружилось неизбежное воспаление брюшины и унесло его через 12 часов – в 10 утра 31 мая он испустил последний вздох.

Похоронили его в  общей могиле на кладбище Монпарнас. Ныне от этого погребения не сохранилось и следа.

В ночь перед дуэлью Эварист написал, адресуясь ко «всем  республиканцам»:

Жизнь моя угасла в жалкой лужице клеветы...  Прощайте! Я отдал свою жизнь на благо народа!

Одно из его писем  оканчивается латинской фразой:

Nitens lux, horrenda procella, tenebris aeternis involuta – Ослепительный свет, страшная буря, вечным мраком окутанная.

Только 14 лет спустя все сохранившиеся работы Галуа (60  страниц рукописи) были разобраны, опубликованы и прокомментированы Лиувиллем. «Теория групп»,  созданная могучим напряжением ума и воли Галуа, вошла в мир математики. Работы Галуа, немногочисленные и написанные сжато, поначалу остались не поняты современниками. И полное признание пришло еще позже – в семидесятых годах  ХIХ столетия. Открытия Галуа произвели огромное впечатление и положили начало новому направлению — теории абстрактных алгебраических структур. Следующие 20 лет лучшие алгебраисты мира – Кэли и Жордан – развивали и обобщали идеи Галуа, которые совершенно преобразили облик всей математики.

Главная ценность трудов Галуа состоит даже не в конкретных полученных им  результатах, а в разработанном для их получения  математическом аппарате,  центральное место в котором занимает понятие  группы. Непреходящее  значение  работ  Галуа состоит  в осознании того, что идея симметрии, связывавшаяся ранее исключительно с  геометрией, на самом деле играет фундаментальную роль во всей математике и вообще в естествознании. Строго  говоря,  теория  разрешимости  уравнений в радикалах  важна  не  столько сама по себе и уж во всяком случае не для практического решения алгебраических уравнений; тут гораздо уместнее и надежнее приближенные методы, – она  важна главным образом как конкретное воплощение общей идеи симметрии. По-видимому, сам Галуа достаточно  хорошо  понимал  это  и,  выдвигая  на  первый  план  критерий разрешимости уравнений в радикалах, просто надеялся, что современникам будет легче оценить силу его общих идей на примере конкретной задачи, в течение многих веков не поддававшейся решению. Позднее,  по  мере  все  более  глубокого  понимания  работ  Галуа  о группах  симметрии  алгебраических  уравнений,  в  науку  были  введены  и детально  исследованы «группы  симметрии»  многих  других  важных математических  объектов,  в  том  числе  дифференциальных  уравнений  и даже физических законов (в работах Анри Пуанкаре), с этой точки зрения «группой  Галуа»  классической  механики  является  группа  Галилея,  а механики теории относительности группа Лоренца.

Шестьдесят страниц, написанных Эваристом Галуа накануне роковой дуэли, явились одним из истоков современной теории групп – основного и  наиболее  развитого  раздела  алгебры,  изучающего  в  общем  виде глубокую закономерность реального мира – симметрию.

Настоящий триумф идеи Галуа получили в наше время. Теперь уже тысячами исчисляется число работ, посвященных «группам» и «полям» Галуа, «когомологии Галуа», методам теории групп и их многочисленным применениям, в частности, к раскрытию тайн  строения кристаллов и атомов.

Имя Галуа носят следующие математические объекты:

  • группа Галуа

  • поле Галуа

  • соответствие Галуа

  • теория Галуа

  • когомология Галуа

  • дифференциальная теория Галуа



Выбранный для просмотра документ Квадратное уравнение.doc

библиотека
материалов

Квадратное уравнение


Определение : Квадратным уравнением называются уравнение вида ax2+bx+c=0 , где x – переменная , a , b и c – некоторые числа, a hello_html_m88d8014.gif0.

Примеры . 5x2-3x+1=0 ; y2-5y+6=0; -hello_html_2b2ed72.gifz2-2z+10=0.

Определение : Уравнение называется неполным квадратным, если b=0 или c=0.

Виды неполных квадратных уравнений:


1). ax2+bx=0 (c=0)

х*(ax+b)=0hello_html_m53d4ecad.gif

x1=0 или aх+b =0

x2=-hello_html_320bf66f.gif

Ответ : 2 корня : 0 и -hello_html_320bf66f.gif


2). ax2+c=0 (b=0)

ax2=-c

x2=-hello_html_md2fd618.gif

x1,2=hello_html_478e24e9.gifhello_html_m466a2308.gif

Ответ : 2 корня , hello_html_478e24e9.gifhello_html_m466a2308.gif


3). ax2=0, (b=0 и c=0)

x=0.

Ответ : 1 корень , 0



Решение квадратного уравнения по формуле :


I . ax2+bx+c=0

D=b2-4aс - дискриминант.

Если D>0 , то уравнение имеет 2 корня : x1=hello_html_m41d2f550.gif; x2=hello_html_m6e8f29e3.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Если D=0 , то уравнение имеет 1 корень: x = -hello_html_ecd17cf.gif ;

Если D<0 , то уравнение корней не имеет.


II . ax2+2kx+c=0 (если b - четное число, b=2k)

D1=k2-ac – дискриминант.

Если D1>0 , то уравнение имеет 2 корня : х1 = hello_html_4b217ee1.gif; х2 = hello_html_m204a75bb.gif.
Если
D=0, то уравнение имеет 1 корень : х = -hello_html_6725b050.gif .
Если
D1<0 , то уравнение корней не имеет.

Выбранный для просмотра документ Кубическое уравнение.docx

библиотека
материалов

Кубическое уравнение

Определение: Кубическим уравнением называется уравнение вида
ах3+ bх2+сх+d=0 , где х – переменная, а, b, с, и d – некоторые числа , аhello_html_75ede65a.png0.
Примеры : 2х3-7х2+0,5х-1=0; х3-2х2=0, х3-2х+1=0.

Методы решения кубических уравнений
1. Формула Кардано для решения уравнений вида: х3+рх+q=0.

hello_html_m24511204.jpg
2.
Вынесение общего множителя за скобки.
Пример: х
3- 2х2=0;
х
2(х – 2) =0;
х
1=0 или х2= 2. Ответ: 0 и 2.
3.
Применение способа группировки для разложения левой части уравнения на множители.

Пример. x3-8x2-x+8=0;

(x3 -8x2) –(x-8)=0;

x2 *(x-8) –(x-8)=0;

(x-8)*(x2-1)=0;

(x-8)*(x-1)*(x+1)=0;

x-8=0 или x-1=0 или x+1=0;

x1= 8, x2= 1, x3= -1. Ответ: -1, 1, 8

4. Графический способ hello_html_4d12d11e.png

Пример.

х3+x-2=0

х3= -x+2

у=x3 –кубическая парабола

у= -x+2 –прямая

Ответ: 1





Выбранный для просмотра документ Линейное уравнение.docx

библиотека
материалов

Линейное уравнение

Определение. Линейным уравнением называется уравнение вида ax=b, где x-переменная, a и b - некоторые числа.

Примеры. -5x=6; 0,01у=; 1z=0.

Сколько корней может иметь линейное уравнение?

1). Если a≠0 и b≠0, то x= - 1 корень.

2).Если a≠0 и b=0, то ax=0; x=0 -1 корень.

3). Если a=0 иb≠0, 0х =b; - уравнение не имеет корней.

4). Если a=0 иb=0, 0х = 0; - уравнение имеет множество корней.

АЛГОРИТМ

решения уравнения, приводимого к линейному.

  1. Раскрыть скобки (применить правила: распределительное свойство, умножение многочлена на многочлен, перед скобками знаки «+» и «- «; формулы сокращенного умножения).

  2. Перенести слагаемые с неизвестным в левую часть уравнения, слагаемые – числа – в правую часть уравнения, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

  3. Привести подобные слагаемые.

  4. Решить полученное линейное уравнение ах = в.

  5. Записать ответ.

Пример. 5 ( х – 3) = 10 + ( 5х – 25);

5х – 15 = 10 + 5х – 25;

5х – 5х = 10 – 25 + 15;

0х = 0.

Ответ: х – любое число.



Выбранный для просмотра документ Уравнение четвертой степени.doc

библиотека
материалов


Уравнение четвертой степени.

Определение: Уравнением четвертой степени называется уравнение вида ax4+bx3+cx2+dx+e=0, где x-переменная; a,b,c,d, и e-некоторые числа, а0.

Примеры: 4x4-3x3-x2+7x-1=0, x4+5x2-6=0, 2x4-x2=0.

Методы решения уравнений четвертой степени.

  1. Формулы Феррари ( сложны и громоздки!)

  2. Биквадратное уравнение- уравнение вида ax4­­­­­+bx2+c=0. Решается методом введения новой переменной: y=x2.

Пример: 9x4-10x2+1=0.

a=9; b=10; c=1.

Решая его, находим y1=hello_html_m31b3d020.gif y2=1

Делаем обратную замену:

x2=hello_html_37370ea.gif или x2=1.

x1=hello_html_m137b52a5.gif; x3=1;

x2=hello_html_m3cdaa4be.gif x4=-1;

Ответ: -1;-hello_html_m137b52a5.gif; hello_html_m5780d968.gif1.

3. Вынесение общего множителя за скобки :

Пример. 6x4 + 3,6x2 .

2 * (х2 + 0, 6)= 0.

2=0 или х2 + 0,6=0

х=0 х2= - 0,6

корней нет

Ответ: 0

  1. Разложение левой части уравнения способом группировки.

Пример: х43-16х2+16х=0.

43)-(16х2-16х)=0.

х3*(х-1)-16х*(х-1)=0.

(х-1)*(х3-16х)=0.

(х-1)*х*(х2-16х)=0.

х*(х-1)*(х-4)*(х+4)=0

х1=0 или х-1=0 или х-4=0 или х+4=0

х2=1 х3=4 х4=-4

Ответ: -4; 0; 1; 4.









СПРАВОЧНИК

по теме:

«Целые уравнения»


Выполнили

учащиеся 9 класса





11 ноября 2016 года

Выбранный для просмотра документ урок Целое уравнение и его корни в 9 классе.docx

библиотека
материалов

Урок математики 9 класс.11 ноября 2016 года

(Районный семинар учителей математики)

ТЕМА: «Целое уравнение и его корни».

ЦЕЛИ:

Обучающие:

  • организовать деятельность учащихся на повторение и обобщение материала, связанного с понятием целого уравнения. Учащиеся повторяют теоретические основы этой темы (определение целого уравнения и его степени, виды целых уравнений (линейное, квадратное, кубическое, биквадратное).

  • организовать деятельность учащихся на обобщение и систематизацию знаний по методам решения различных уравнений. Учащиеся знают алгоритмы решения линейных, квадратных уравнений, умеют применять общие методы решения целых уравнений ( разложение на множители левой части уравнения, введение новой переменной).

  • организовать деятельность учащихся на проверку знаний учащихся по данной теме в ходе выполнения различных видов работы (устная работа, диктант, самостоятельная работа).

  • организовать деятельность учащихся на подготовку учащихся к ОГЭ.

  • организовать деятельность учащихся на расширение знаний по истории математики. Учащиеся готовят сообщения о Галуа и Абеле.

  • Развивающие;

  • развитие логического мыщления;

  • развитие умений анализировать, систематизировать, сопоставлять,

  • развитие навыков самоуправления, самоконтроля, самокоррекции. Воспитательные:

  • воспитание чувства товарищества, коллективизма, ответственности, чувства долга, ответственного выполнения заданий, самостоятельности.

ТИП УРОКА: урок отработки умений и рефлексии.

МЕТОДЫ: репродуктивный, частично-поисковый, проблемный.

ФОРМА УРОКА: индивидуальная, фронтальная, в парах.

ПЛАН УРОКА:

  1. Оргмомент.

  2. Проверка ДЗ. Постановка целей урока. 5 мин

  3. «Посещение НИИ «Целые выражения»:

служебная пятиминутка, игра «Домино»- проверка теории, устный счет. 7 мин

лаборатория теории, систематизация знаний по решению целых 3 мин уравнений,

лаборатория практики: математический диктант - 5, самостоятельная работа-11, производственная гимнастика-1, работа у доски -5, 22 мин

лаборатория научных открытий: сообщения учащихся. 3 мин

  1. Подведение итогов урока. Синквейн. 2 мин

  2. Домашнее задание, оценки за урок. 3 мин

ХОД УРОКА:

1. Оргмомент. Настрой на урок.

Сегодня на каждом этапе урока вы будете оценивать свою деятельность сами или с помощью своих товарищей или меня. Для этого у вас на парте «Лист успешности». Как справились с домашним заданием? Какие были проблемы и как вы с ними справились?





Проверяющий докладывает

3. ПОСТАНОВКА ЦЕЛЕЙ УРОКА.

Тема нашего урока «Целое уравнение и его корни». На этом уроке мы с вами завершаем изучение этой темы. Попробуйте сами поставить цели урока.

  • повторить,

  • обобщить,

  • отработать навыки,

  • проверить знания.

3. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ УРОКА.

Представьте себе, что сегодня наш класс - научно - исследовательский институт, а вы - сотрудники этого института и занимаетесь проблемами математики. Слоган нашего сегодняшнего дня - «Дорогу осилит идущий, а математику - мыслящий».


Давайте начнем трудовой день служебной пятиминуткой и повторим основные теоретические вопросы в ходе игры «Домино».

ИТОГ ИГРЫ

Задают и отвечают на вопросы по цепочке. Ставят + или - в карточке.

Продолжаем пятиминутку - Устная работа (задания на определение степени уравнения, решение простейших уравнений (линейных и неполных квадратных) из оптимального банка заданий ОГЭ.

  1. Назовите степень уравнения:

4 – 3х2 + 1 = х.

5 – 5х3 + 2 = 7х5 – х

( 7 – х) ( х+ 7) + 2(х – 14) = 49.

(2х – 1)2 – (2х – 1) – 12 =0.

( х2 + 4х + 3)( х2 + 4х + 1) = 48.

  1. Какое из уравнений не имеет корней?

  1. х = х2, 2) х2 – 1=0, 3) х2 = -2, 4) х2 = -х.

  1. Решите уравнение:

-8х = 2,

- 4 – 6х = 4х – 4,

(10 – х)( х + 3) =0,

ИТОГ УСТНОЙ РАБОТЫ

Ставят + или – в карточку





4

3

2

2

4


3


-0,25

0

10, -3

Сейчас мы посетим лабораторию теории.

Домашнее задание к уроку было нетрадиционным – вы создавали страницу справочника по теме «Целые уравнения». Вот такой справочник получился у вас для подготовки к экзамену и находится у вас на столе. Оценку за домашнее задание я вам поставила в карточку. Кому «5», «4»?

Повторим некоторые моменты теории.

1.Какие типы целых уравнений вы знаете?



2. Какие способы решения линейных и квадратных уравнений вы знаете?



3. Назовите общие методы решения уравнений степени больше 2.

4. Способы разложения на множители многочлена.










Линейные, квадратные. Кубические, 4-й степени и тд.

Алгоритм для линейного,

Формулы для квадратного,

Графический, выделение квадрата двучлена.

Разложение на множители и введение новой переменной

1-вынесение общего множителя за скобки,

2-способ группировки,

3-ФСУ.

А сейчас мы отправляемся в лабораторию практики. И выполним практические задания, применяя теорию, которую мы сейчас повторили.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ.

Решение линейных и полных квадратных уравнений (из материалов ОГЭ)

  1. 10 (х + 2) = -7,

  2. (-5х – 3)( 2х – 1) =0,

  3. 2 + 20х = 0,

  4. 2 – 8 = 0.

  5. х2 – 5х =14.

ИТОГ ДИКТАНТА

Взаимопроверка по образцу на экране.

Ставят отметки в карточку.

  1. -2,7

  2. -0,6; 0,5

  3. 0; -4

  4. -2;2

  5. -2;7

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

Решение уравнений общими методами:

  1. разложение на множители,

  2. биквадратное уравнение,

  3. введение новой переменной

  1. у3 – 9у = 0,

  2. х4 – 5х2 + 4 = 0,

  3. ( х2 + х )( х2 + х – 5) = 84.

ИТОГ САМ.РАБОТЫ

Самопроверка по образцу на экране.




  1. -3,0,3

  2. -2,-1,1,2

  3. -4,3

ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ГИМНАСТИКА


РАБОТА У ДОСКИ (задания из учебника №283 а – решение уравнения 5-й степени)


4. СООБЩЕНИЯ УЧАЩИХСЯ. (об Абеле и Галуа)

6. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.

1.

Чем занимались сегодня на уроке? Давайте подведем итог урока с помощью синквейна





2.

Что узнали нового?





3.

Этот материал имеет важное значение, так



как входит в задания экзамена по математике за



курс основной школы в 9 классе.


7. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.

1- пунк 12 учебника,

2- №283 (б)

3- решить уравнения

(материалы ОГЭ): (х – 1)(х2 + 6х + 9) = 5(х + 3),

2 – 25)2 + (х2 + 3х – 10)2 = 0.

8. ОЦЕНКИ ЗА УРОК.


Выбранный для просмотра документ целое уравнение.pptx

библиотека
материалов
Тема урока «ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ» 11 ноября 2016 года Урок математики...
Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий! НИИ «ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ»
«Служебная пятиминутка» (игра «Домино»)
Устная работа 6 х4 – 3х2 + 1 = х. 7х5 – 5х3 + 2 = 7х5 – х. ( 7 – х) ( х+ 7) +...
Устная работа х = х2, 2) х2 – 1=0, 3) х2 = -2, 4) х2 = -х. Какое из уравнений...
Устная работа 1) -8х = 2, 2) - 4 – 6х = 4х – 4, 3) (10 – х)( х + 3) =0, Решит...
Лаборатория теории
Лаборатория практики
Математический диктант Решите уравнения: 1) 10 (х + 2) = -7, 2) (-5х – 3)( 2х...
Ответы на задания математического диктанта 1) -2,7 2) -0,6; 0,5 3) 0; -4 4) -...
Самостоятельная работа Решите уравнения: у3 – 9у = 0, х4 – 5х2 + 4 = 0, ( х2...
Ответы на задания самостоятельной работы 1) -3;0;3 2) -2;-1;1;2 3) -4;3
Производственная гимнастика
Работа у доски №283 (а)
: Результаты исследования Нильс Хенрик Абель 1802–1829 Абель оставил математ...
Результаты исследования Эварист Галуа 1811–1832  Юный Эварист Галуа, двадцати...
Итог урока
Домашнее задание 1- пункт 12 учебника, 2- №283 (б) 3- решить уравнения (матер...
 СПАСИБО ЗА УРОК!
19 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Тема урока «ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ» 11 ноября 2016 года Урок математики
Описание слайда:

Тема урока «ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ» 11 ноября 2016 года Урок математики 9 класс

№ слайда 2 Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий! НИИ «ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ»
Описание слайда:

Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий! НИИ «ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ»

№ слайда 3 «Служебная пятиминутка» (игра «Домино»)
Описание слайда:

«Служебная пятиминутка» (игра «Домино»)

№ слайда 4 Устная работа 6 х4 – 3х2 + 1 = х. 7х5 – 5х3 + 2 = 7х5 – х. ( 7 – х) ( х+ 7) +
Описание слайда:

Устная работа 6 х4 – 3х2 + 1 = х. 7х5 – 5х3 + 2 = 7х5 – х. ( 7 – х) ( х+ 7) + 2(х – 14) = 49. 4. (2х – 1)2 – (2х – 1) – 12 =0. 5. ( х2 + 4х + 3)( х2 + 4х + 1) = 48. Назовите степень целого уравнения

№ слайда 5 Устная работа х = х2, 2) х2 – 1=0, 3) х2 = -2, 4) х2 = -х. Какое из уравнений
Описание слайда:

Устная работа х = х2, 2) х2 – 1=0, 3) х2 = -2, 4) х2 = -х. Какое из уравнений не имеет корней?

№ слайда 6 Устная работа 1) -8х = 2, 2) - 4 – 6х = 4х – 4, 3) (10 – х)( х + 3) =0, Решит
Описание слайда:

Устная работа 1) -8х = 2, 2) - 4 – 6х = 4х – 4, 3) (10 – х)( х + 3) =0, Решите уравнение:

№ слайда 7 Лаборатория теории
Описание слайда:

Лаборатория теории

№ слайда 8 Лаборатория практики
Описание слайда:

Лаборатория практики

№ слайда 9 Математический диктант Решите уравнения: 1) 10 (х + 2) = -7, 2) (-5х – 3)( 2х
Описание слайда:

Математический диктант Решите уравнения: 1) 10 (х + 2) = -7, 2) (-5х – 3)( 2х – 1) =0, 3) 5х2 + 20х = 0, 4) 2х2 – 8 = 0, 5) х2 – 5х =14.

№ слайда 10 Ответы на задания математического диктанта 1) -2,7 2) -0,6; 0,5 3) 0; -4 4) -
Описание слайда:

Ответы на задания математического диктанта 1) -2,7 2) -0,6; 0,5 3) 0; -4 4) -2;2 5) -2;7

№ слайда 11 Самостоятельная работа Решите уравнения: у3 – 9у = 0, х4 – 5х2 + 4 = 0, ( х2
Описание слайда:

Самостоятельная работа Решите уравнения: у3 – 9у = 0, х4 – 5х2 + 4 = 0, ( х2 + х )( х2 + х – 5) = 84.

№ слайда 12 Ответы на задания самостоятельной работы 1) -3;0;3 2) -2;-1;1;2 3) -4;3
Описание слайда:

Ответы на задания самостоятельной работы 1) -3;0;3 2) -2;-1;1;2 3) -4;3

№ слайда 13 Производственная гимнастика
Описание слайда:

Производственная гимнастика

№ слайда 14 Работа у доски №283 (а)
Описание слайда:

Работа у доски №283 (а)

№ слайда 15 : Результаты исследования Нильс Хенрик Абель 1802–1829 Абель оставил математ
Описание слайда:

: Результаты исследования Нильс Хенрик Абель 1802–1829 Абель оставил математикам столь богатое наследие,  что им будет чем заниматься в ближайшие 150 лет. Шарль Эрмит

№ слайда 16 Результаты исследования Эварист Галуа 1811–1832  Юный Эварист Галуа, двадцати
Описание слайда:

Результаты исследования Эварист Галуа 1811–1832  Юный Эварист Галуа, двадцати одного года, хороший математик, кроме того, известный своим пылким воображением, умер от острого перитонита, вызванного пулей, выпущенной с 25 шагов. Из газеты «Gazette des Hôpitaux» от 7 июня 1832 года

№ слайда 17 Итог урока
Описание слайда:

Итог урока

№ слайда 18 Домашнее задание 1- пункт 12 учебника, 2- №283 (б) 3- решить уравнения (матер
Описание слайда:

Домашнее задание 1- пункт 12 учебника, 2- №283 (б) 3- решить уравнения (материалы ОГЭ): (х – 1)(х2 + 6х + 9) = 5(х + 3), (х2 – 25)2 + (х2 + 3х – 10)2 = 0.

№ слайда 19  СПАСИБО ЗА УРОК!
Описание слайда:

СПАСИБО ЗА УРОК!


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Материалы урока включают: план-конспект урока математики в 9 классе по теме "Целое уравнение и его корни" (по учебнику Макарычева, тип урока - урок отработки умений и рефлексии), компьютерную презентацию к уроку, сообщения учащихся об ученых - Эваристе Галуа и Нильсе Абеле, лист успешности, задания теоретического опроса "Домино".

Автор
Дата добавления 13.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров164
Номер материала ДБ-348698
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх