Открытый урок по математике на тему "Тела вращения" СПО 2 курс

Открытый урок по геометрии в 11 классе на тему

 «Объемы тел вращения»

Цели урока :

Образовательная : учить решать задачи практического содержания,  используя формулы объёмов тел вращения.

Развивающая : организовать деятельность учащихся, направляя её на получение знаний, не сковывая их мысль, инициативу, творчество, развитие на уроке интеллекта, воли, эмоций.

Воспитательная : воспитание внимания, взаимопомощи.

Форма проведения: работа в группах.

Технические средства обучения: модели конусов, цилиндров, усечённых конусов, карточки с заданиями, бланки ответов.

План урока.

1. Организационный момент
2. Теоретический опрос
3. Математический диктант
4. Работа в группах.
5. Домашнее задание.
6. Итоги урока.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Ученики вместе с учителей расставляют парты так, чтобы класс мог работать четырьмя группами. Учитель проверяет готовность класса к уроку.

2. Теоретический опрос. ( по одному вопросу каждой группе)

а)  Какие тела вращения вам известны?

б)  Как можно получить цилиндр?

в) Как можно получить конус?

г) Как можно получить усечённый конус?

3.Математический диктант.

Каждая группа на листах формата А-4 создают в результате этого математического диктанта памятку с формулами.

1) Написать формулу для вычисления объёма цилиндра.

2).Написать формулу для вычисления объёма конуса.

3) Написать формулу для вычисления объёма усечённого конуса.

4) Написать формулу для вычисления площади круга.

5) Написать формулу для вычисления длины окружности.

Взаимопроверка математического диктанта.

4.Практическая работа в группах по вычислению объёмов тел .

Работа в группах. Каждая группа коллективно выполняют задания. В конце урока каждая группа сдает решение заданий преполавателю. Оценки выставляются всей группе.

1 группа.

1. 1.Найдите объем цилиндра с высотой, равной 3см и диаметром основания – 6см.

а)27п см3;                 б)9п см3 ;               в)36п см3;           г)18п см3;              д)54п см3.

2. 2. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 600. Найдите объем цилиндра , если площадь осевого сечения равна 16   см3.

а)16п см3 ;        б)16   см3;               в)32п см3        г)8п  см3;    д)16п  см3.

3. 3.Площадь осевого сечения цилиндра равна 21см3, площадь основания  - 18п см2  Найдите объем цилиндра.

А)9п см3;        б)31,5  см3,         в)21п см3,             г)63п см3,           д)31,5п   см3.

4. 4. Найдите объем конуса , осевое сечение которого представляет собой равнобедренный   прямоугольный треугольник с гипотенузой , равной 6  см.

а) 18п  см3,     б)18п см3,      в)6п см3,       г)54п  см3,     д)6п  см3.

5. 5.Найдите объем конуса , полученного в результате вращения вокруг большего катета прямоугольного треугольника с гипотенузой , равной 2  см, и углом 300.

А)18п  см3,      б)18п см3,       в)6п  см3,       г)2п  см3,             д)6п см3.

2 группа.

1.       Какие поверхности получаются при вращении трапеции вокруг большого основания?

(Боковые поверхности двух конусов и цилиндра.)

2. Вы руководитель предприятия. Поставщик, указывая на кучу угля, имеющую коническую форму, предлагает вам вывезти ее, утверждая, что в ней такое- то количество тонн. Какие измерения вы можете выполнить, чтобы узнать объем этой кучи и убедиться, что вас не вводят в заблуждение?

3. Две банки. Которая из двух банок вместительнее – правая  широкая или левая, втрое более высокая, но вдвое более узкая?

4. На склад в мастерской по пошиву одежды поступил рулон драповой ткани в форме цилиндра. При транспортировке был утерян товарный ярлык с  указанием длины ткани в рулоне. Необходимо определить длину ткани в рулоне. Произвели необходимые измерения, определили высоту и диаметр рулона: 90см  и 30см, толщина ткани 0,2см.

3 группа.

1. Сосуд цилиндрической формы наполнен молоком. Можно ли вылить ровно половину молока, не используя измерительные приборы?

(Нужно выливать, пока не появится дно)

2.                      Из прямоугольного листа бумаги размером a·b можно свернуть две различные поверхности кругового цилиндра. Чему равны радиусы каждого из этих цилиндров? Равны ли объемы полученных цилиндров?

( R₁ = ;  R₂ = ;   V₁ ≠ V₂).

3.       Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см³) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если ее длина равна 25 м?

ρ = 11,4 г/см³

R₁ = 6,5мм + 4мм = 10,5мм = 1,05см (наружный)

R₂ = 6,5мм = 0,65см

V = V₁ – V₂ = π· (1,05)²·2500 - π· 0,65² ·2500 =1700π ≈ 5338 (см³)

M = ρ·V = 11,4·5338 ≈ 61кг.

4. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см³. Определить массу стога сена.

 R = 2,5м

ОО₁ = 4м

О₁О₂ = 2,2м

Ρ = 0,03г/см³

m = ρ·V; V _ц = π·2,5² ·2,2 = 13,75 м³ =  13750000см³

V_к = 1/3 π· 2,5² ·1,8 = 3,75м³ = 3750000 π см³

M = 0,03 · 17500000π = 0,525 π т ≈ 1,6 т

4. группа.

1. Какие поверхности получаются при вращении трапеции вокруг большого основания?

(Боковые поверхности двух конусов и цилиндра.)

2. Два тела получены в результате вращения одной и той же равнобедренной трапеции вокруг каждого из оснований. Равны ли поверхности получившихся тел вращения?

(Нет.)

3.                 Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см  и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

OA = 12 см

        BC = d = 5 см

В                С        Переполнит ли мороженое стаканчик?

V _ш = 4/3R³ (5/2)³ = 125/6≈ 20 

        V_к = 1/3 R² H =1/3 (5/2)²·12 =  = 25

Ответ: нет.

4.            Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметра 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна 0,85 г/см³?

1.                       H = 7м; d = 1м; ρ_нефти = 0,85 г/см³ 

m =?

V _ц = πR²H = π·9²·7 = 567π (м³)

m = V·ρ ≈ 1513 т

5.. Домашнее задание.

1. «….Читал я где – то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,

И гордый холм возвысился, -и царь

Мог с вышины с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами ,

И море , где бежали корабли.»

(А.С. Пушкин «Скупой рыцарь»)

1. Предположив, что численность войска составляет 100 000 человек, объем горсти равен 0,2дм3,а угол при основании холма 450, найдите объем и высоту конуса.

2. Вычислить, сколько метров тесьмы намотано на бабину  в форме цилиндра, если внешний диаметр равен  44см ,  внутренний диаметр  6см , высота 30см , толщина тесьмы 0,3см.

6. Итог урока. Рефлексия.

Учитель вместе с учениками подводит итоги урока, выставляет оценки. Учащиеся высказывают свое мнение о работе в группах, о решение практических задач на вычисление объемов тел вращения с интересным содержанием, об оригинальном домашнем задании.

 Литература:

1. А.В.Погорелов Геометрия 10-11 . Москва « Просвещение» 2004.
2. С. Б. Веселовская, В. Д. Рябчинская Дидактические материалы по Г-11. М «Просвещение» 2000 г.
3. П. И. Алтынов. Тесты Г-10 -11классы. М. «Дрофа», 1998 г.
4. И. Ф. Шарыгин, В. И. Голубев. Факультативный курс по математике. Решение задач 11 класс. М. «Просвещение», 1991 г.

План-конспект  урока

Дата проведения -7 февраля 2018 г.

                                                              Тема: «Тела вращения»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Триединая цель урока:

1.Обучающая:

организовать деятельность учащихся по обобщению, закреплению и систематизации знаний учащихся по изученной теме, по применению теоретических  знаний  для решения задач вычислительного и практического характера.
2.Развивающая:

развитие логического мышления учащихся, умения анализировать, синтезировать и сравнивать, обобщать изученные факты и понятия.
3.Воспитательная:

развитие познавательного интереса учащихся, навыков работы в группах, формирование навыков

продуктивного делового взаимодействия и принятия групповых решений, формирование информационной, коммуникативной компетенций и компетенции решения проблем.

Форма занятия : работа в группах.

Межпредметная связь : физика, химия , литература, спецпредметы.

Методическое обеспечение занятия :модели конусов, цилиндров, усечённых конусов, карточки с заданиями, бланки ответов,презентация урока.

 Технические средства обучения:телевизор,ПК.

Ход урока

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность ученика	Время
1. Орг. момент	Приветствие учащихся, отметка отсутствующих.	Приветствие	2 мин
2.Целеполагание и  мотивация	1. «Считай несчастным тот день и тот час, в который ты не усвоил ничего, и ничего не прибавил к своему образованию» Я.А.Коменский Последуем совету педагога, будем поглощать знания с большим желанием, ведь ближайшая цель: успешное написание контрольной работы, а затем успешная сдача государственного экзамена. Перед нами стоит задача еще раз подчеркнуть важность сведений о телах вращения для практики, рассмотреть историю некоторых вопросов, показать, связь данного раздела с другими направлениями математики, с вашей профессией На предыдущих уроках учащимся было дано задание : повторить пройденный материал, подготовить сообщение о телах вращения и принести на урок предметы, имеющие формы тел вращения. На кухне большинство видов посуды имеет цилиндрическую форму. А, вы видели квадратные кастрюли?! В них медленнее прогревается вода, их труднее мыть. Картофельное пюре делают с помощью цилиндрической толкушки, тесто раскатывают скалкой той же формы. Многие мясные полуфабрикаты в виде различных тел вращения. А, торты чаще всего делают в виде цилиндра или конуса. Просеянная мука распределяется на столе в виде конуса. На кухне повсюду нас окружают тела вращения. 2. Деление учащихся на команды «Конус», «Шар», «Цилиндр».		5 мин
3.Актуализация опорных знаний	а) конкурс капитанов. Дайте определение тел вращения, назовите и покажите на моделях их вспомогательные элементы б) разминка команд: каждый член команд получает карточку: Ф.И. уч-ся Название тела Чертеж Вращением какой фигуры получена Формула площади поверхности Формула объема Цилиндр Конус Шар Критерии  оценки задания: в строке верны все результаты –4 балла верны 3 результата – 3 балла; верны 2 результата –2балла; верен 1 результат – 1 балл.	Капитаны дают определения тел вращения и показывают их элементы на вспомогательных моделях. Студенты сверяют  ответы с данными, приводимыми на доске, проставляют себе количество баллов и сдают карточки.	8 мин
4.Обобщение и систематизация знаний. Подготовка студентов  к обобщенной деятельности. Решение задач	Вопросы команде Цилидр. 1.Сосуд цилиндрической формы наполнен молоком. Можно ли вылить ровно половину молока, не используя измерительные приборы? 2.Из прямоугольного листа бумаги размером a·b можно свернуть две различные поверхности кругового цилиндра. Чему равны радиусы каждого из этих цилиндров? Равны ли объемы полученных цилиндров? 3.Прямоугольник  стороны которого 6 м и 4 м вращается около меньшей стороны. Найдите площадь поверхности вращения. 4. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 10 см и диаметр верхней части    6 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 6 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает? 5.  Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметра 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна 0,85 г/см3? 5.На склад в мастерской по пошиву одежды поступил рулон драповой ткани в форме цилиндра. При транспортировке был утерян товарный ярлык с  указанием длины ткани в рулоне. Необходимо определить длину ткани в рулоне. Произвели необходимые измерения, определили высоту и диаметр рулона: 90см  и 30см, толщина ткани 0,2см. 2. Вопросы команде Конус 1.Вы руководитель предприятия. Поставщик, указывая на кучу песка, имеющую коническую форму, предлагает вам вывезти ее, утверждая, что в ней такое- то количество тонн. Какие измерения вы можете выполнить, чтобы узнать объем этой кучи и убедиться, что вас не вводят в заблуждение 2. Основания конуса 3 м , высота 4 м. Найти образующую. 3. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см3. Определить массу стога сена. 4.Сколько потребуется краски , чтобы покрасить полуферическую крышу павильона  радиусом  в 3 м ,если на  1 расходуется 200 гр.? 5. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если ее длина равна 25 м? Вопросы команде  Шар.   1.Вычислите объем арбуза с помощью нитки и измерительной линейки. 2.Радиус сферы увеличился  в 3 раза. Во сколько увеличится площадь сферы? 3.Сколько в связке электродов  для электросварки , если их общая  масса 10 кг , а каждый кусок стальной проволоки длинной 45 см и диаметром 6мм? Плотность стали 7600 4. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если ее длина равна 25 м? ρ = 11,4 г/см3 R1 = 6,5мм + 4мм = 10,5мм = 1,05см (наружный) R2 = 6,5мм = 0,65см V = V1 – V2 = π· (1,05)2·2500 - π· 0,652 ·2500 =1700π ≈ 5338 (см3) M = ρ·V = 11,4·5338 ≈ 61кг 5.На склад в мастерской по пошиву одежды поступил рулон драповой ткани в форме цилиндра. При транспортировке был утерян товарный ярлык с  указанием длины ткани в рулоне. Необходимо определить длину ткани в рулоне. Произвели необходимые измерения, определили высоту и диаметр рулона: 90см  и 30см, толщина ткани 0,2см.	Команды оформляют решение задач у себя в тетрадях, а затем один представитель из каждой команды оформляет задачи  на доске. Представители других команд записывают решение задач других команд и предлагают, возможно, свои пути решения данных задач.	20 мин
5.Применение  знаний и умений  в новой ситуации.	Человечество давно оценило красоту и практичность точных геометрических форм: древние гончарные круги, глиняные сосуды, которые находят археологи, древняя и современная архитектура, домашняя и церковная утварь-это не только предметы обихода, но и бесценная красота, созданная человеческими руками.      .	На уроке студентами устанавливалась  связь с выбранной профессией: продавец, сварщик , мастер общестроительных работ, ,необходимость приобретенных знаний.Создается  атмосфера творчества и доверия.	2 мин
6 Контроль усвоения . обсуждение допущенных ошибок и их коррекции .	Преподаватель вместе со студентами  подводит итоги урока, выставляет оценки		3 мин.
7.Формирование выводов по изученному материалу.		.Студенты высказывают свое мнение о работе в группах, о решение практических задач на вычисление объемов тел вращения с интересным содержанием	3 мин.
8.Рефлексия. Информация о домашнем задании.	1. «….Читал я где – то, Что царь однажды воинам своим Велел снести земли по горсти в кучу, И гордый холм возвысился, -и царь Мог с вышины с весельем озирать И дол, покрытый белыми шатрами , И море , где бежали корабли.» (А.С. Пушкин «Скупой рыцарь») 1. Предположив, что численность войска составляет 100 000 человек, объем горсти равен 0,2,а угол при основании холма, найдите объем и высоту конуса. 2. Вычислить, сколько метров тесьмы намотано на бабину  в форме цилиндра, если внешний диаметр равен  44см ,  внутренний диаметр  6см , высота 30см , толщина тесьмы 0,3см.	Студенты высказывают свое мнение об оригинальном домашнем задании.	2 мин.

,

 Литература:

1. М.И. Башмаков  учебное пособие  Математика Сборник задач профильной направленности  .
2. И. Ф. Шарыгин, В. И. Голубев. Факультативный курс по математике. Решение задач 11 класс. М. «Просвещение», 1991 г

Приложение  к уроку. Эталоны ответов.

Команда Цилиндр

Задача №3

Дано: АВСД – прямоугольник

АВ = 6 см ; ВС = 4см; ВС - ось вращения

Решение.

𝙎_Бок. = 2π6*4 = 48π (   𝙎_полн. = 𝙎_{бок. +}  2𝙎_осн. = 48π + 2*36π = 120π (

𝙎_{осн. =} 36π(

Ответ: 120π(

Задача №4

 Дано: Н = 10 см;    𝘙 = 3 см

Найти: 𝑽_кон.  и  𝑽_шар. - ?

Решение

𝑽_{кон =} π*Н =  30π(       𝑽_шар.= 36π(

𝑽_шар.𝑽_кон.

Ответ: Да переполнить

Задача№5

1. H = 7м; d = 1м; ρ_нефти = 0,85 г/см³ 

m =?

V _ц = πR²H = π·9²·7 = 567π (м³)

m = V·ρ ≈ 1513 т

ρ = 11,4 г/см³

R₁ = 6,5мм + 4мм = 10,5мм = 1,05см (наружный)

R₂ = 6,5мм = 0,65см

V = V₁ – V₂ = π· (1,05)²·2500 - π· 0,65² ·2500 =1700π ≈ 5338 (см³)

M = ρ·V = 11,4·5338 ≈ 61кг.

 Команда Конус

Задача №3.

Дано: Конус

𝘙= 3 м ,Н = 4 м.

Найти образующую 𝙇.

По т.Пифагора  𝙇 = = 5 м Ответ: 5 м

Задача№4

 R = 2,5м

ОО₁ = 4мО₁О₂ = 2,2м

Ρ = 0,03г/см³

М-? 

m = ρ·V; V _ц = π·2,5² ·2,2 = 13,75 м³ =  13750000см³

V_к = 1/3 π· 2,5² ·1,8 = 3,75м³ = 3750000 π см³

M = 0,03 · 17500000π = 0,525 π т ≈ 1,6 т

Ответ: 1,6 т

Задача №5

Дано: Сфера  𝘙 =3м

на 1- 200г

Найти 𝘮

Решение

.𝙎 = 4π        = 2*3,14*9 =56,52  𝘮= 56,52 * 200 = 11 300г = 11кг 300г

Ответ: 11 кг300г

Команда Шар

Задача №2.

Дано: 𝘙 – радиус новой сферы

             𝘳- радиус исходной сферы   𝘙= 3𝘳

Найти :  - ?

 _{=  =   = 9    :} Ответ : в 9 раз

Залача  № 3

Дано: цилиндр                 Решение. 1) 𝑽 = π     𝘙 – 3мм = 0,3см , Н = 45см   𝑽 = 3,14 * 45 12,7   2) 𝘮 = 𝑽𝖕 , 𝑽 = 12,7

Н = 45 см

𝘥 = 6мм

𝖕 = 7000                                                                                                                                                                                       𝘮= 00000127* 7000 =009652 кг

Сколько штук

            Ответ: 100

Задача №4                               ρ = 11,4 г/см³

R₁ = 6,5мм + 4мм = 10,5мм = 1,05см (наружный)     V = V₁ – V₂ = π· (1,05)²·2500 - π· 0,65² ·2500 =1700π ≈ 5338 (см³)

                                             R₂ = 6,5мм = 0,65см

                                            M = ρ·V = 11,4·5338 ≈ 61кг   

V = V₁ – V₂ = π· (1,05)²·2500 - π· 0,65² ·2500 =1700π ≈ 5338 (см³

Ф.И.  № группы	Название тела	чертеж	Вращением  какой фигуры получена	Формула площади поверхности	Формула  объема
	Цилиндр
	Конус
	Шар