Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Открытый урок по теме: "Раскрытие модуля в тригонометрических уравнениях"

Открытый урок по теме: "Раскрытие модуля в тригонометрических уравнениях"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Открытый урок по теме:

«Раскрытие модуля по определению в тригонометрических уравнениях»

Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0, и число -а, если а < 0.

Согласно этому определению, в уравнениях модуль можно раскрывать следующим образом:

hello_html_m5c2d7118.png

1. Решить уравнение.

hello_html_146fcd49.png

2. Решить уравнение.

hello_html_47763a63.png

Решаем уравнение первой системы:

2sin2x-sinx=0

sinx(2sinx-1)=0

sinx=0 или sinx=hello_html_765654fe.png (оба уравнения удовлетворяют условию sinx≥0)

hello_html_732451cf.png

Решаем уравнение второй системы, и выбирая те, которые удовлетворяют условию sinx<0,

получаем х =hello_html_m32570904.png

Серии ответов hello_html_7ac8f27f.pngможно записать объединяя

hello_html_5da24909.png

3. Решить уравнение.

hello_html_33642d92.png

Решение. Раскрывая знак модуля, получаем системы:

hello_html_7f8ac306.png

Решая уравнение первой системы, получим hello_html_m5cfa07c7.pngИз значений hello_html_m5379573f.pngнужно выбрать те, которые удовлетворяют неравенству системы х ≥ -3. Это hello_html_m30959b04.pngпри n=0, 1, 2, 3…

Решая уравнение второй системы, получим hello_html_657aca89.pngИз этого множества значений нужно выбрать те, которые удовлетворяют неравенству х < -3. Это значения hello_html_m675c4d60.pngпри m= -1, -2, -3…

Ответ: hello_html_m5379573f.pngпри n=0, 1, 2, 3…; hello_html_m675c4d60.pngпри m = -1, -2, -3…и х = -3

4 Решить уравнение.

hello_html_7e5af934.png

Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, поэтому, раскрывая знак модуля, получим только одну систему hello_html_5c7daf23.png

Решаем уравнение системы:

соsx=cosx(x+1,5)2

cosx(1-(x+1,5)2)=0

cosx=0 или x+1,5=1 или x-1,5 = -1

hello_html_184ad256.pngх= -0,5 х = -2,5

Условию cosx≥0 не удовлетворяет х = -2,5 (3 четверть)

Ответ: hello_html_662f8048.png

5. Найти все решения уравнения hello_html_22f29ccf.pngна отрезке [0;4].

Решение. Перепишем уравнение в виде hello_html_235cdde4.png

Раскрывая знак модуля, получаем системы:

hello_html_m7fd71975.png

Решая первую систему, получим hello_html_b8b53b7.pnghello_html_m2caa8c99.png

 Из серии hello_html_6f91a0eb.pngв нужном промежутке [0;4] лежат точки 0 и hello_html_m26fda5c7.png; , а из серии hello_html_m7aa05ffb.png

Решая вторую систему, получим систему hello_html_m37dfb031.png, которая не имеет решений.

Ответ: hello_html_7027bf73.png

6 Решить уравнение.

hello_html_142ecc70.png

Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, тогда 2х-4≥0, 2(х-2)≥0 , х-2≥0. Если х-2≥0. то при раскрытия правого модуля по определению рассматривается только один случай: hello_html_mafb20a6.png

hello_html_7b92114a.png

х=2     hello_html_6c129e4e.png

Выберем те корни, которые удовлетворяют условию: х-2≥0;     х≥2

hello_html_m4e1f9029.png

7. Решить уравнение.

hello_html_78acdfe6.png

Решение. ОДЗ: hello_html_1d819f46.png

Раскрывая знак модуля, получаем системы: hello_html_m108a60a4.png

Решая первую систему, получим cos2x=0, и из решений hello_html_m5d373b82.pngнадо выбрать те, при которых sinx>0. На круге видно, что это точки вида hello_html_7ce3ce0d.png

Решая вторую систему, получим уравнение соs2x=2,не имеющее решений.

Ответ:hello_html_1a0e1351.png

8. Решить уравнение.

hello_html_43166fde.png

Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:

hello_html_m6e15a6d.png

Обратная замена:

hello_html_6091b026.png

Ответ: hello_html_m30def6e3.png

9. Решить уравнение.

hello_html_5a76d3ce.png

Решение. Выражение под первым модулем всегда неотрицательно, и его можно сразу отбросить. Второй модуль раскрываем по определению.

hello_html_3aa3ad5c.png

Решить уравнение первой система аналитически невозможно, исследуем поведение левой и правой частей на данных промежутках. Функция f(x) =-x2+15x-45=(-x2+15x-44)-1≤-1

приhello_html_m9d89453.png причем, f(х)= -1 в точках 4 и 11.Левая часть coshello_html_m26fda5c7.pnghello_html_3f456a1b.png при любых х, причем, в точках 4 и 11 не равна -1, значит, система решений не имеет.

При решении уравнения второй системы получается:

hello_html_9e2a7c8.pngВ промежутке hello_html_77c0b654.pngтолько одно целое нечетное число 3, т.е hello_html_571a1063.png

Ответ: 9

Другие способы раскрытия модулей.

Уравнения вида hello_html_7020e3bf.pngможно решать и следующим способом:

hello_html_6ee8e7e3.png

10. Решить уравнение.

hello_html_55bb882a.png

Решение. Левая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и правая часть, тогда cosx <0, тогда уравнение равносильно системе hello_html_m36d44d75.png

Рассмотрим две системы: hello_html_4326fce2.png

Решая уравнение первой системы получим: cosx-2sinx=0

hello_html_25c2c053.png

Учитывая, что cosx≤0, x = arctghello_html_a34aebd.png Вторая система решений не имеет.

Ответ: x = arctg.hello_html_m29dcdf96.png

11. Решить уравнение.

cosxhello_html_631009a1.png

Решение.

hello_html_m1533fb26.png

12. Решить уравнение.

hello_html_m46a656a1.png

Решение. Уравнение равносильно sinx = ± cosx hello_html_3e325169.png

Ответ:hello_html_m29984628.png

Задачи для самостоятельного решения:

hello_html_m1c6a4b9f.png

hello_html_6b8cc18a.png

hello_html_m7a4d9cc8.png


Автор
Дата добавления 06.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров200
Номер материала ДВ-127493
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх