Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Открытый урок по теме: "Решение тригонометрических уравнений".

Открытый урок по теме: "Решение тригонометрических уравнений".

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

"Решение тригонометрических уравнений".

Алгебра 10-м классе

Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений.

Работа учащихся состоит из нескольких этапов. Чтобы получить оценку “3”, необходимо пройти 4 этапа, чтобы получить оценку “4” - 5 этапов, чтобы получить оценку “5” - 6 этапов. На каждом этапе ученик встретится с указаниями учителя о том, что нужно знать и уметь, или краткими пояснениями к выполнению заданий.

Прочитав указания учителя, ученик выполняет самостоятельные работы данного этапа, проверяет ответы, сверяя с ответами, которые предоставляет учитель. Если допущены ошибки, то ученик их исправляет и решает задания другого варианта, аналогичные тем, где он допустил ошибки. После этого можно переходить к следующему этапу.

1 этап.

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Указания учителя.

Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений.

 Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант

2 вариант

1) cos x = 1/2

1) sin x = -1/2

2) sin x = -hello_html_7c082e96.png/2

2) cos x = hello_html_7c082e96.png/2

3) tg x = 1

3) ctg x = -1

4) cos (x+hello_html_m23f89679.png) = 0

4) sin (x – hello_html_m23f89679.png/3) = 0

5) 2 cos x = 1

5) 4 sin x = 2

6) 3 tg x = 0

6) 5 tg x = 0

7) sin 4x = 1

7) cos 4x = 0

2 этап.

Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

Указания учителя.

Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.

Пример. 4 – cos2 x = 4 sin x

Так как cos2 x = 1 – sin2 x, то

4 – (1 – sin2 x) = 4 sin x,

3 + sin2 x = 4 sin x,

sin2 x - 4 sin x + 3 = 0,

Пусть y = sin x, получим уравнение

y 2 - 4 y +3 = 0

у1=1; у2=3.

sin x =1 или sin x = 3,

x = hello_html_m23f89679.png/2 + 2 hello_html_m23f89679.pngn, n= Z, решений нет.

Ответ: x = hello_html_m23f89679.png/2 + 2 hello_html_m23f89679.pngn, n= Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант

2 вариант

1) tg2 x - 3 tg x + 2 = 0;

1) 2 + cos2 x - 3 cos x = 0;

2) 2 cos2 x + 5 sin x – 4 = 0;

2) 4 - 5 cos x - 2 sin2 x =0;

3) (1 - cos 2x)/2 + 2 sin x = 3;

3) (1 - cos 2x)/2 + 2 sin x = 3.

3 этап.

Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Указания учителя.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Пример. 2 sin3 x - cos 2x - sin x = 0

Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos2 x - sin2 x.

(2sin3 x - sin x) – (cos2 x - sin x) = 0,

Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos2 x = 1 - sin x.

sin x (2sin2 x – 1) – (1 - 2 sin2 x) = 0,

sin x (2sin2 x – 1) + (2 sin2 x - 1) = 0,

(2 sin2 x - 1) • ( sin x + 1) = 0.

2 sin2 x – 1 = 0

или

sin x + 1 = 0

sin2 x = 1/2,


sin x = - 1

sin x = ±1/v2



Ответ: x1 = ± hello_html_m23f89679.png/4 + hello_html_m23f89679.pngn, n = Z, x2 = - hello_html_m23f89679.png/2 +2hello_html_m23f89679.pngk, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант

2 вариант

1) sin2 x - sin x = 0,

1) ctg2 x - 4 ctg x = 0,

2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0,

2) 5 sin 2x - 2 sin x = 0.

4 этап.

Цель: закрепить навык решения однородных уравнений

Указания учителя.

Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos x = 0,

a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, и т.д., где a, b, c – числа.

Пример 1. 5 sin x - 2 cos x = 0

Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x). Предварительно докажем,

что cos x hello_html_m516ccb1.png0 (или sin x hello_html_m516ccb1.png0). (Пусть cos x = 0, тогда 5 sin x - 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может быть, так как sin2 x + cos2 x = 1).

Значит, можно делить на cos x:

5 sin x /cos x - 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение

5 tg x – 2 = 0

tg x = 2/5,

x = arctg 2/5 + hello_html_m23f89679.pngn, n = Z.

Ответ: x = arctg 2/5 + hello_html_m23f89679.pngn, n = Z.

Аналогично решаются однородные уравнения вида a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos2 x (или на sin2 x).

Пример 2. 12 sin2 x + 3 sin 2x - 2 cos2 x = 2.

Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin2 x + 2cos2 x.

Приведя подобные члены, получим уравнение

10sin2 x + 6sin x cos x - 4 cos2 x = 0.

(Пусть cos x = 0, тогда 10sin2 x = 0, чего не может быть, т.к. sin2 x + cos2 x = 1, значит, cos x hello_html_m516ccb1.png0).

Разделим обе части уравнения на cos2 x.

10 tg2 x +6 tg x - 4 = 0,

tg x = -1 или tg x = 2/5,

x = - hello_html_m23f89679.png/4 + hello_html_m23f89679.pngn, n = Z, x = arctg 2/5 + hello_html_m23f89679.pngk, k = Z.

Ответ: x1 = - hello_html_m23f89679.png/4 + hello_html_m23f89679.pngn, n = Z, x2 = arctg 2/5 + hello_html_m23f89679.pngk, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант

2 вариант

1) sin x - cos x = 0,

1) 5sin x +6cos x = 0,

2) sin2 x - sin 2x = 3 cos2 x,

2) 3sin2 x - 2sin 2x +5cos2 x = 2.

5 этап.

Указания учителя.

Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.

(Учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 7 - 9)

Выполните письменно самостоятельную работу (20 минут)

Решите уравнения:

1 вариант

2 вариант

1) cos 2x -5 sin x – 3 = 0,

1) cos 2x + 3 sin x = 2,

2) sin 2x + cos 2x = 0,

2) sin 2x - cos 2x = 0,

3) cos2 x - cos 2x = sin x,

3) 6 - 10cos2 x + 4cos 2x = sin 2x,

4) sin 4x - cos 2x = 0,

4) cos x cos 2x = 1,

5) 5 - 5 cos (hello_html_m23f89679.png/2 - x ) = 2 cos2 (hello_html_m23f89679.png – x),

5) cos2 (hello_html_m23f89679.png/2 + x ) - cos2 (2hello_html_m23f89679.png + x) = hello_html_7c082e96.png/2.

6 этап.

Указания учителя.

Молодцы! Вы прошли 5 этапов. Целью вашей дальнейшей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Выполните письменно самостоятельную работу

(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу, определяется учителем (ситуацией на уроке)).

Решите уравнения:

sin 6x + cos 6x = 1 - sin 3x,

29 - 36 sin2 (x – 2) - 36 cos (x – 2) = 0,

2sin x cos x + hello_html_7c082e96.png– 2 cos x - v3 sin x = 0,

sin 4x = 2 cos2 x – 1,

sin x (sin x + cos x ) = 1,

1/(1 + cos2 x) + 1/(1 + sin2 x) =16/11.

Подсказки:  

  1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x, cos 6x.

  2. Обозначьте x – 2 = y, решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы sin2 y = 1 - cos2 y.

  3. Сгруппируйте первое и третье слагаемое, примените разложение на множители.

  4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x, cos 4x, формулой понижения степени 2cos2 x – 1 = cos 2x.

  5. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.

  6. Приведите дроби к общему знаменателю, затем используйте основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1, сведите уравнение к квадратному.

Оцените свои работы самостоятельно.

Домашнее задание:

Если вы выполнили задания всех этапов, то дома № 163-165 – любое уравнение

Если вы выполнили задания 5 этапов, то дома задания 6 этапа.

Если вы выполнили задания 4 этапов, то дома задания 5 этапа, и т.д.












Автор
Дата добавления 01.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров101
Номер материала ДВ-400692
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх