Открытый урок по Алгебре в 10 классе на тему «Степенная функция, ее свойства и график»

Открытый урок по Алгебре в 10 классе  на тему

 «Степенная функция, ее свойства и график»

Составил: учитель математики Елисеев Алексей Дмитриевич

МБОУ Каринская средняя общеобразовательная школа

МО, Одинцовский городской округ,  село Каринское, сентябрь 2020 г.

Тема урока: степенная функция, ее свойства и график.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

Ø обобщить понятие степенной функции, ее свойств путем знакомства со свойствами и графиками различных (в зависимости от показателя степени) видов степенной функции;

Ø обозначить перспективу практического применения знаний о степенной функции.

Ø Образовательная цель: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию знаний о степенной функции: виды, свойства и график.

Ø Воспитательная цель: создать условия для применения на уроке математики знаний, полученных в других предметных областях; развивать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, а так же коммуникативные способности учащихся.

Ø Развивающая цель: продолжить развитие культуры умственной деятельности (анализ, синтез, классификация, планирование), математическая речь

Оборудование: компьютер, интернет ресурс DESMOS.COM, проектор с экраном, доска, учебник для ОО «Алгебра и начала математического анализа» Ш.А. Алимов.

План урока:

1. Организационный момент (приветствие, сообщение темы урока, постановка задач урока)
2. Актуализация знаний: повторение понятий функции, графика функции, свойства степени и корня, визуализация известных графиков функций:  y=x², y=x³,  y=1/x  ,y=√x или y=x½    с указанием области определения функции, множества значения функции, промежутков убывания/возрастания функции, наибольшее/наименьшее значение функции.
3. Изучение нового материала: определение степенной функции, свойства функции для всех показателей. Знакомство с графическим и математическим онлайн калькулятором DESMOS.COM.
4. Закрепление учебного материала: решение задач. Практическое применения степенных функций.
5. Домашнее задание.
6. Рефлексия: итог урока, оценивает деятельность класса и отдельных учащихся, выделяет удавшиеся моменты, выясняет, что вызвало наибольшую трудность.

 

Ход урока:

1. Организационный момент.

Здравствуйте. Садитесь. Отложим все лишнее и настроимся на рабочий лад. Сегодня у нас урок по теме “ Степенная функция “.

Целью нашего урока является показать роль свойств степенной функции в процессе решения ряда математических, физических и экономических задач, а, следовательно, и роль этой функции и ее свойств в процессе сдачи ЕГЭ.  

2. Актуализация знаний учащихся

Для начала вспомним определение функции:

Вопрос 1: Что такое функция?  

Ответ: Функция (отображение, оператор, преобразование) — соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Вопрос 2: Какие функции Вы знаете?  

Ответ:

Ø  Прямая пропорциональность.

Ø  Линейная функция.

Ø  Обратная пропорциональность.

Ø  Квадратичная функция.

Ø  Степенная функция.

Ø  Показательная функция.

Ø  Логарифмическая функция.

Ø  Тригонометрические функции.

Ø  Обратные тригонометрические функции.

Все выше перечисленные функции относятся к элементарным функциям.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Вопрос 3: Что называется графиком функции?  

Ответ:

Ø  Это геометрическое понятие в математике, дающее представление о геометрическом образе функции.

Ø  В случае использования прямоугольной системы координат, график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y), которые связаны отображаемой функцией или проще множество точек координатной плоскости, абсциссы которых составляют область определения функции, а ординаты соответствующие значения функции.

Ø  Изучение любой функции завершается построением графика этой функции.

Задание: Обратите внимание, на эскизе представлен некий пейзаж. Постарайтесь среди данных линий найти графики функций.

Вопрос 3: Так любое ли множество точек на координатной плоскости задает график функции?

Ответ:

Нет, только такое множество, где каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции

Посмотрите, насколько значимо изучение функции! Как мы видим на эскизе, графики функций встречаются не только в математике, но и в природе (горы, леса, деревья) – все, что нас окружает, состоит из графиков функций.

Вопрос: А какие из этих линий относятся к графикам степенных функций?

Теперь давайте вспомним следующие функции, их графики и свойства:

y=x², y=x³,  y=1/x  ,y=√x или y=x^½  , y=x

На рисунке изображены графики ряда степенных функций, обозначенные цифрами от 1 до 5). Давайте вспомним:

Ø  названия графиков и их соответствие  алгебраической записи функции;

Ø  свойства изображенных функций (область определения, область значений, четность/нечетность).

Будем называть функцию, а вы же должны указать соответствующий ей график функции (или наоборот).

3. Степенная функция.

И так, мы вплотную приблизились к пониманию степенной функции.

3.1 Степенная функция — это функция вида y = x^p , где p — заданное действительное число (показатель степени).

Ø  К степенным функциям часто относят и функцию вида y=kx^p , где k — некоторый (ненулевой) коэффициент.

Ø  На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Ø  Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля).

Ø  Графики степенной функции при натуральном показателе p (=n, принадлежит множеству N – натуральных чисел) называются параболами порядка n.

Ø  При p=1 получается y=kx, называемая прямой пропорциональной зависимостью.

Ø  Графики функций вида y=xⁿ  где n — натуральное число, называются гиперболами порядка n.

Ø  При p=-1 получается функция y=x^-1  или y=1/x называемая обратной пропорциональной зависимостью.

Ø  Если p=1/n ,то функция есть арифметический корень степени n.

С помощью интернет ресурса DESMOS.COM (известный графический и математический калькулятор) наглядно демонстрируем графическое отображения степенных функций, которые будем рассматривать ниже.

Ø  Ссылка на графический калькулятор: https://www.desmos.com/calculator?lang=ru

Ø  Ссылка на руководство пользователя редактором DESMOS на русском языке:

https://desmos.s3.amazonaws.com/Desmos_User_Guide_RU.pdf

3.2 Свойства степенной функции:

1.    Если показатель p = 2n — четное натуральное число:

1.1.   область определения — все действительные числа, т. е. множество R;

1.2.   множество значений — неотрицательные числа, т. е. y ≥ 0;

1.3.   функция четная;

1.4.   функция является убывающей на промежутке x ≤ 0 и возрастающей на промежутке x ≥ 0.

1.4.1.                 Пример функции с показателем p = 2n: y = x⁴, y =x¹⁶

2.    Если показатель p = 2n - 1 — нечетное натуральное число:

2.1.   область определения — множество R;

2.2.   множество значений — множество R;

2.3.   функция нечетная;

2.4.   функция является возрастающей на всей действительной оси.

2.4.1.                 Пример функции с показателем p = 2n - 1: y = x⁵ и y=x¹⁷

3.    Если показатель p = -2n, где n — натуральное число:

3.1.   область определения — множество R, кроме x = 0;

3.2.   множество значений — положительные числа y > 0;

3.3.   функция четная;

3.4.   функция является возрастающей на промежутке x < 0 и убывающей на промежутке x > 0.

3.4.1.                 Пример функции с показателем p = -2n: y = 1/x² и y = 1/x¹⁶   

4.    Если показатель p = -(2n - 1), где n — натуральное число:

4.1.   область определения — множество R, кроме x = 0;

4.2.   множество значений — множество R, кроме y = 0;

4.3.   функция нечетная;

4.4.   функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0.

4.4.1.                 Пример функции с показателем p = -(2n - 1): y = 1/x³ и y = 1/x¹⁷   

5.    Если показатель p — положительное действительное нецелое число:

5.1.   область определения зависит от четности знаменателя;

5.2.   множество значений зависит от четности знаменателя;

5.3.   функция является возрастающей/убывающей в зависимости от четности знаменателя;

5.3.1.                 Пример функции с показателем p, где p — положительное действительное нецелое число:  y =x^1/3 и y= x^4/3.

6.    Если показатель p — отрицательное действительное нецелое число:

6.1.   область определения — зависит от четности знаменателя и числителя, но x≠0;

6.2.   множество значений — зависит от четности знаменателя и числителя, но y≠0;

6.3.   функция является убывающей на промежутке x > 0.

6.3.1.              Пример функции с показателем p, где p — отрицательное действительное нецелое число: y =x^-4/3  и y= x ^-1/3.

4. Решение задач. Практика

4.1 Задача 1.

Рассмотрим задачу из физики (пример практического применения степенных функций):

На учебном полигоне произведён выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении. Требуется определить наибольшую высоту подъёма снаряда h, время подъёма t₁ и время падения t₂, если начальная скорость снаряда V₀ = 400 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь. 

Решение: (проводится совместно с учениками на доске).

Вопрос	Ответ	На доске
Что дано в задаче?	Начальная скорость снаряда V0 = 400 м/с, указано направление выстрела.	Дано: V0 = 400 м/с.
Что нужно найти?	Наибольшую высоту подъёма снаряда, время подъёма и время падения.	Найти h, t1,t2.
Записываем решение.		Решение.
Какой функцией выражается закон движения снаряда?	Квадратичной функцией , где g – ускорение свободного падения, g = 9.8 м/с.	g = 9.8 м/с.
А что будет графиком данной функции?	Графиком данной функции является парабола.	Рисунок
Куда будут направлены её ветви?	Ветви параболы направлены вниз.
Где, следовательно, будет наибольшая высота подъёма снаряда?	Наибольшая высота подъёма снаряда будет в вершине параболы.
Что необходимо знать для нахождения наибольшей высоты?	Необходимо найти координаты вершины параболы.
Что мы получим, подставив данные?	;
Как найти время падения снаряда?	Время подъёма снаряда соответствует интервалу возрастания функции и равно 41с. Время падения снаряды соответствует интервалу убывания функции и равно времени подъёма, так как график функции симметричен относительно прямой, проходящей через вершину параболы.
Ответ:	Ответ: h = 8.16 км; t1 = t2 ≈ 41c.

4.2 Задача 2.

Рассмотрим задачу из экономики с использованием степенной функции:

Вкладчик поместил в банк 1000р. Банк ежегодно выплачивает вкладчику 3% от суммы вклада. Какую сумму денег s получит вкладчик через  2 года?

Решение: (проводится совместно с учениками на доске).

Вопрос	Ответ	На доске
Что нам дано?	Первоначальная сумма денег (s0), Число процентов, начисляемых банком в год (r), Число лет, в течении которых деньги находились в банке (T)	Дано:                    s0=1000 r=3% T=2 года
Что нужно найти?	Сумму денег (S)	Найти:    S-?
Вычислим сумму по формуле сложных процентов (степенная функция)	Подставим данные и найдем S	Решение: T   S= 1000 (1+0.03)2= =1000*(1.03)2=   =1000*1.6=1060 р.
Записываем ответ		Ответ: S=1060 р.

5. Домашнее задание

Подобрать задачи из жизни и других наук, в которых встречается степенная функция.

Глава II Степенная функция §6 №124 (четные номера), №176, 177

6. Рефлексия

Сегодня на уроке мы еще раз показали, насколько многогранно, изысканно и красиво используются свойства степенной функции в процессе решения математических задач, а также задач из разделов физики, экономики, в природе, в технике и т.д. Подводим итог урока, оцениваем деятельность класса и отдельных учащихся, просим учащихся  выделить удавшиеся моменты, выясняем, что вызвало наибольшую трудность.