ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ
АДМИНИСТРАЦИИ ВЛАДИМИРСКОЙ ОБЛАСТИ
Совет
директоров средних профессиональных учебных заведений
Владимирской
области
Региональный
конкурс методических разработок
«Фестиваль
педагогических идей» преподавателей дисциплин
математического
цикла профессиональных образовательных организаций,
расположенных
на территории Владимирской области
Номинация:
«Лучшая разработка учебного занятия»
Методическая
разработка урока на тему:
«Применение
производной в экономике»
Разработал:
Румянцева Нина
Владимировна
преподаватель
дисциплин
математического
цикла
ГБПОУ ВО
«Владимирский экономико – технологический колледж»
г.Владимир
2017
Рассмотрено на ЦМК математических
и естественно - научных
дисциплин
Протокол № 5 от
18.11.2016 г.
Председатель ЦМК
______Н.В.Румянцева
Аннотация.
Данное
занятие закрепляет знания, полученные на предшествующих занятиях,
демонстрирует применение производной на практике к решению задач по экономики.
Проведение занятия сопровождается презентацией. Данное методическая разработка
будет полезна для преподавателей математике при подготовке к занятию
«Применение производной».
Содержание:
Аннотация………………………………………………………………………4
Введение………………………………………………………………………..5
Основная
часть…………………………………………………………………6
Заключение……………………………………………………………………14
Список
литературы…………………………………………………………..15
Приложение…………………………………………………………………..16
Введение.
Современное образование состоит в постоянном поиске методов и приемов,
созвучных времени, которые так организуют жизнь обучающегося, что в дальнейшем
он сможет спокойно, самостоятельно строить свою жизнь. Чем бы наши студенты ни
занимались в будущем, хотелось бы видеть их свободными и интеллектуальными
личностями. В соответствии с этим построена работа на уроке, с использованием
математических способностей и достижений студентов при изучении математики.
Студенту должно быть интересно на уроке, интерес – это синоним мотивации.
Многие студенты спрашивают, где нам пригодится производная в нашей
профессии. На занятие по теме «Применение производной в экономике»
преподаватель отвечает на вопрос, заданный бухгалтерами, где они смогут
применять свои знания по данной теме.
Использование
современных педагогических технологий позволяют каждому обучающемуся раскрыть
свой творческий потенциал, пробуждая в них познавательную активность, проявлять
инициативу и самостоятельность, усовершенствовать умения ясно, логично и точно
излагать свою точку зрения. На уроке преподаватель развивает
критическое мышление через чтение и письмо на всех этапах урока: этап мотивация
происходит через заполнение таблицы столбцов «знаю» и «хочу знать»; этап
изучение нового материала происходит составление кластера; на этапе рефлексия обучающийся
возвращается к табличке и заполняет столбец «узнал».
Данная
методическая разработка отражает, как преподаватель проводит урок и какие
применяет педагогические технологии для решения поставленной цели.
Дисциплина:
Математика: алгебра, начала анализа и геометрия.
Преподаватель:
Румянцева Нина Владимировна
Группа:
Б1-13
Тема
занятия: Применение производной в экономике.
Цель
учебного занятия: Организация деятельности обучающегося по изучению темы
Применение производной в экономике.
Задачи:
Образовательная: создать условия для
развития положительного отношения к учебной деятельности; способствовать
формированию мотивации учебной деятельности студентов.
Развивающая: способствовать
развитию умения выдвигать гипотезы при решении учебных задач; прививать умение
слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем,
интегрироваться в группу и строить продуктивное взаимодействие.
Воспитательная: Познакомить студентов с
возможностями использования математического аппарата дифференциального
исчисления в экономических расчётах. Закрепить, углубить и обобщить знания в
области производной с помощью решения различных задач с экономическим и
практическим содержанием.
Тип
учебного занятия:Урок методологической направленности.
Формы
работы:индивидуальная, групповая и фронтальный.
ЭОР:
сайт для создания
кроссвордов:
http://biouroki.ru/workshop/crossgen.html
Необходимое
техническое оборудование: компьютер, проектор и презентация.
Современный экономист должен хорошо владеть
количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с
самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания
традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра,
теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической
экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая
статистика, теория игр, эконометрика и др.).
Математика является не только орудием количественного
расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно
четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.
Ф.Энгельс
в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт
естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и
процессы: движение".
Базовой задачей экономического
анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде
функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов
или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при
повышении цены на ее продукцию? Для решения подобных задач должны быть
построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с
помощью методов дифференциального исчисления.
В экономике часто требуется найти
наилучшее или оптимальное значение показателей: наивысшую производительность
труда, максимальную прибыль, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель
представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом,
нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума
функции.
Рассмотрим производственнуюфункцию
т.е. экономика – математическое уравнение, связывающие переменные величины
затрат с величинами продукции. Мы знаем, что производство продукции зависит от
многих факторов, рассмотрим только один, когда количество продукции
Q зависит только от рабочего
времени.
Q=
f(t)-
производственная функция.
Q – Объём производимой
функции
T – Время которое тратится
на производство данной продукции.
Для
эффективности производства часто используют производительность труда P(t)
P(t)
= dQ/dt=(f’(t))=Q’
Экономический смысл
производительности труда: производительность труда равна изменению объёма
выпускаемой продукции при изменении времени.
Для исследования экономических
процессов и решения других прикладных задач, часто используется понятие
эластичности функции.
Эластичность
функции Ex(Y) называется предел отношения
относительного приращения функции, кприращении переменной х при ∆х→0.
Ex(Y)
= lim (∆y/y : ∆x/x)=x/y*y’(*)
Эластичность функции
применяется при анализе спроса и предложения.
Пример:
Эластичность спроса d относительно цены p – коэффициент, определяемый по
формуле (*) и показывающей приближенно, на сколько процентов изменится спрос
при изменении цены на 1% .
│Ex(Y)│>
1 – то спрос эластичен
│Ex(Y)│<
1 – то спрос неэластичен
Информация
о эластичности или неэластичности спроса на товар очень важна для
предпринимателей, целью которых является увеличение дохода, или выручки от
продажи товара, которую можно подсчитать, умножив цену одной единицы товара на
количество реализованных товаров: Y = P*Q .
Где
Y - доход, или выручка от продажи товаров, P - цена единицы товара, Q -
количество проданного товара.
Пример1: Объём
продукции q в течениерабочего дня
представлен функцией
Q(t)=
-t³+5t²+75t+425.
Найдите производительность труда через 2, 4, 6 часов после начала работы и
сделайте вывод.
Решение:
Pt=q’(t)=
-3t²+10t+75
Вывод: Производительность
труда к концу рабочего дня начинает снижаться.
Пример2:
Функция спроса d
от цены p
и функция предложения S от цены p
выражается уравнением D=7-p S=p+1
Найдите: а) равновесную
цену, т.е. цену при которой спрос и предложение уравновешиваются; б)
Эластичность спроса и предложения для этой цены; в) выручку при равновесной
цене.
Решение:
D=S
условие равновесной цены.
7-p=p+1
p=3 ден.ед.
Ep(D) = p / (7-p) * (7-p)’
= - p / (7-p)
Ep(S) = p / (p+1) * (p+1)’
= - p / (p+1)
Ep(D)
= -0.75 Ep(S)
= 0.75
Так
полученные значения эластичности по модулю <1, то и спрос, и предложение
данного товара при равновесной цене неэластичен относительно цены. Это
означает, что изменение цены не приводит к резкому изменению спроса и
предложения. Так при увеличения цены на 1% спрос уменьшится на 0,75%, а
предложение увеличатся на 0,75%.
Если продавцы обладают
достаточным запасом товара, то D=D(p)
– это не только количество спрашиваемого товара, но количество проданного
товара.
Общая выручка R=p*D
R=3*(7-p)
= 21 - 3p
= 18
Заключение
В настоящей методической разработке урока представлены материалы в
компактном изложении и на доступном уровне для студентов среднего
профессионального обучения специальности Экономика и бухгалтерский учет. Данный
открытый урок был разработан для студентов 1 курса, учитывая основные положения
коллективного способа обучения, используя технология развития критического
мышления. На уроке студенты повторяют, обобщают основные теоретические
положения, закрепляют и систематизируют основные методы и приёмы нахождения
производной функции, учатся применять знания при решении конкретных
практических задач. Ход занятия сопровождается демонстрацией слайдов по каждому
этапному моменту урока.
Литература:
1. Алимов
Ш.А. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс.-М.,2015.
2. Богомолов
Н.В. Самойленко П.И. Математика. М.Дрофа, 2015.
3. Подольский
В.А. Сборник задач по математике. М, Высшая школа, 2010.
Приложение:
Задача
1: Объём продукции q,
производственной бригадой рабочих может быть описан уравнением q(t)=
-5/3t³+15/2t²+100t+50
1<t<7.
Вычислить производительность труда за каждый час работы, заполните таблицу и
сделайте вывод. Найдите, в какое время количество производимого товара максимально?
Решение:
Pt=q’(t)=
-5/2t²+15t+100
t1=
-4 t2= 7
Tmax=
10 Qmax=4550
T
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
Pt
|
112.5
|
120
|
122.5
|
120
|
112.5
|
100
|
82.5
|
Вывод:
Производительность труда к концу рабочего дня снижается.
Задача
2: Дана производственная функция Q=300√L-4L.
Необходимо выяснить, что произойдёт с производительностью труда с ростом
численности персонала. Заполните таблицу и сделайте вывод. Определите, при
какой численности персонала количество производимого товара достигает
наибольшего значения.
Решение:
PL=300*0.5*L-½-4
L
|
1
|
9
|
100
|
2500
|
PL
|
146
|
46
|
11
|
-1
|
300*0.5*L-½-4=0
L=1406
Q(1)
= 296
Q(1406)
= 5626
Q(2500)
= -75000
Qmax=
5626 при L = 1406
Задача
3: Объём продукции q,
произведенной бригадой рабочих может быть описан уравнением q(t)=-5t³+15t²+100
1<t<8.
Вычислить производительность труда через час и за час до конца работы.
Решение:
Pt=q’(t)=
-15t²+30t
P1
(1)=15 Pt (7) = -285
Задача4: Объём
продукции и, выпускаемой рабочим в течение рабочего дня, выражается
функцией , где t –
время, ч; причём . Необходимо вычислить
производительность труда и скорость её изменения через 1 ч после начала и за 1
ч до окончания рабочего дня.
Решение:
Производительность труда выражается
формулой . Тогда
Производительность труда через 1 ч после начала работы
(у.е.)
Производительность труда за 1 ч до окончания работы
(у.е.)
Скорость изменения производительности труда
Значит, ,
Задача5:
Для
функции спроса и предложения найти эластичность спроса и предложения при p
= 2,5
D=
40-2pS= 5p+10
Решение:
Ep(D)
= p / (40-2p) * (40-2p)’ = -2p / (40-2p)
Ep(S)
= p / (5p+10) * (5p+10)’ = - 5p / (5p+10)
Ep=2(D)
= -0.125 Ep=2(S) = 0.5
Ep=5(D)
= -0.33 Ep=5(S) = 0.7
Задача
6:Функция спроса D
от цены p
и функция предложения S от цены p
выражается уравнением D= 400-5pS=5p+100
Найдите:
а) равновесную цену, т.е. цену при которой спрос и предложение
уравновешиваются; б) Эластичность спроса и предложения для этой цены; в) Цену
при которой выручка максимальна; г) Саму максимальную выручку.
Решение:
D=S
условие разновесной цены
P=30
Ep(D)
= p / (400-5p) * (400-5p)’ = - 5p / (400-5p)
Ep(S)
= p / (5p+100) * (5p+100)’ = - 5p / (5p+100)
Ep(D)
= -0.6 Ep(S) = 0.6
R=400p-5p²
R’=400-10p
P=40
– цена при которой выручка максимальна.
Задача7:
Функция спроса D от цены p
и функция предложения Sот цены p
выражается уравнением D=900-20pS=10p+100
Найдите:
а) Равновесную цену, т.е. цену при которой спрос и предложение
уравновешиваются; б) Эластичность спроса и предложения для этой цены; в) Цену
при которой выручка максимальна; г) Сума максимальную выручку.
Решение:
D=S
условие разновесной цены
P=27
Ep(D)
= p / (900-20p) * (900-20p)’ = - 20p / (900-20p)
Ep(S)
= p / (10p+100) * (10p+100)’ = - 10p / (10p+100)
Ep(D)
= -1.5 Ep(S) = 0.7
R=900p-20p²
R’=900-40p
P=22.5
– цена при которой выручка максимальна.
Rmak(22,5)=10125
Задача
8: Функция спроса D
от цены p
и функция предложения Sот цены p
выражается уравнением D=400-20pS=10p+70
Найдите:
а) Равновесную цену, т.е. цену при которой спрос и предложение
уравновешиваются; б) Эластичность спроса и предложения для этой цены; в) Цену
при которой выручка максимальна; г) Сума максимальную выручку.
Решение:
D=S
условие разновесной цены
P=16
Ep(D)
= p / (400-20p) * (400-20p)’ = - 20p / (400-20p)
Ep(S)
= p / (10p+70) * (10p+70)’ = 10p / (10p+70)
Ep(D)
= -4Ep(S) = 0.7
R=400p-20p²
R’=400-40p
P=10
– цена при которой выручка максимальна.
Rmak(10)=2000
Разгадайте кроссворд.
Горизонталь: 1.
Область применения производной. 3. Отношения изменению объёма выпускаемой
продукции кизменении времени называется …… труда. 6. │Ex(Y)│<
1 то спрос ….. 8. Создатель дифференциального исчисления, использовавший
понятие бесконечно малой. 9. │Ex(Y)│>1 то спрос …….
Вертикаль: 2. Произведение цены товара на количество проданного товара
называется… 4.Создатель дифференциального исчисления, опирающийся
на физическое представление о мгновенной скорости, считавший его очевидным и
сводящий к нему другие случаи производной. 5. Производная от пути по времени.
7. Производная от скорости по времени.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.