Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Открытый урок : " Показательные уравнения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Открытый урок : " Показательные уравнения"

библиотека
материалов

Тема: «Показательные уравнения»


Цель: 1) формирование навыков решения показательных уравнений, закрепление изученного-повторение теоретического материала , применение его на практике при решении поставленных задач , отработка умений и навыков самостоятельной работы 2) развитие вычислительных навыков, умений работать с тестами , содействовать развитию математического мышления учащихся 3) воспитание трудолюбия, аккуратности , взаимопонимания, способствовать развитию творческих способностей учащихся.

Тип урока : закрепление и совершенствование знаний.

Формы работы : - устная работа

-работа на доске и в тетрадях

- работа в парах

-самостоятельная работа

- выполнение теста

Методы работы: -словесный

-наглядный

-практический

Технологии: -игровые

-здоровьесберегающие

-информационные

Оборудование: - интерактивная доска

- презентация « Методы решения показательных уравнений»

Ход урока.


  1. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности

  2. На экране слайд «Мало иметь хороший ум , важно уметь применять его» Рене Декарт.

  3. Устные упражнения


hello_html_276de80.png


  1. На одном из рисунков изображен график функции hello_html_4b1c821f.gif. Укажите этот рисунок.

hello_html_3a5938f2.pnghello_html_440f2478.png

  1. Найти множество значений функции:

а) hello_html_m494ffec6.gif; б) hello_html_m20dad566.gif

  1. Упростить выражения:

а) 2х·23,5 ; б) hello_html_3f729215.gif ; в) hello_html_m6805cc9a.gif; г) 2х·3х

  1. Решить уравнения:

а) 2х = 4 ; б) 5х = 1 ; в) πх = 0 ; г) 9х = -81 ; д) 2х = х+1

  1. Выяснить, сколько корней имеет уравнение?

16|х| = 4

3. Воспроизведение и коррекция опорных знаний . Показ слайдов Ученики записывают в тетрадях тему «Способы (алгоритмы) решения показательных уравнений». Общеклассная работа – разбор заданий у доски. Работа идет фронтально. Ученики называют каждый способ, записывают его название и совместно с учителем решают соответствующие уравнения, условия которых записаны заранее на доске.

I. Уравнивание оснований:

ах = ау

х = у

1) Задание с выбором ответа.

hello_html_m39985790.gif

Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

а) (0;1) ; б) (1;2) ; в) (2;3) ; г) (3;4)

2) Решить уравнение:

81·2х - 16·3х = 0 ;

34·2х = 3х·24 ;

hello_html_m4a66d4e2.gif;

х = 4.

Ответ: 4.

II. Логарифмирование обеих частей уравнения.

aх = b

х = logab (b>0, a>0, a≠1)

Пример. Решить уравнение:

5х-8 = 9

х-8 = log59

х = 8+ log59

Ответ: 8+ log59

III. Вынесение общего множителя за скобки.

Примеры. Решить уравнения:

  1. 2х + 2х-1 + 2х-2 = 5х + 5х-1 + 5х-2

2х-2(22 + 2 + 1) = 5х-2(52 + 5 + 1)

2х-2·7 = 5х-2·31

hello_html_7e8706dc.gif

x - 2 = hello_html_7d401cc6.gif

х = 2 + hello_html_7d401cc6.gif

Ответ: 2 + hello_html_7d401cc6.gif

IV. Введение вспомогательной переменной

(задания с кратким ответом и с развернутым ответом)

  1. Записать корень уравнения или сумму корней: 5 - 4·5х – 5 = 0.

Пусть 5х = t (t>0), тогда уравнение примет вид:

t2 – 4t – 5 = 0

t1 = 5 ; t2 = -1 – посторонний корень, так как t>0.

Вернемся к переменной «х»: 5х = 5 ; х = 1.

Ответ: 1

  1. 0,5 ·4hello_html_50ce57da.gif+2 - 35·2hello_html_50ce57da.gif+12=0

Преобразим уравнение: 0,5 ·22(hello_html_50ce57da.gif+ 2) – 35 · 2hello_html_50ce57da.gif+12 = 0

  1. 0,5 · 22hello_html_50ce57da.gif· 24 – 35 · 2hello_html_50ce57da.gif + 12 = 0

Введем замену: 2hello_html_50ce57da.gif= t, (t > 0).

8 t2 – 35 t + 12 = 0

Вычислим корни при помощи дискриминанта, получим t1 = 4; t2 = hello_html_3590cf25.gif

Вернемся к замене:

1) 2hello_html_50ce57da.gif= 4 2) 2hello_html_50ce57da.gif= hello_html_3590cf25.gif

2hello_html_50ce57da.gif= 22 Прологарифмируем эти части уравнения при

hello_html_50ce57da.gif = 2 основании 2:

х = 4 hello_html_50ce57da.gif= log2hello_html_3590cf25.gif

т.к. log2hello_html_3590cf25.gif < 0 (функция возрастающая, значит, при

основании 2 значение логарифма для чисел, меньших единицы, будет отрицательным), то уравнение решений не имеет.

Ответ: 4.


V. Функционально-графический метод.


  1. Решить уравнение: 2х = hello_html_22577e71.gif (ответ: корней нет)

б) 2х+1 = hello_html_m5d384c93.gif (ответ: х = 1)

в) 3х + 4х = 5х (ответ: х = 1)



4. Применение обобщенных знаний. Самостоятельная работа (разноуровневые варианты)


Образцы вариантов.


Базовый уровень (6 вариантов).

Эти задания выполняют учащиеся низкого и среднего уровней. Во время выполнения работы, если необходимо, помогать учащимся низкого уровня при решении примеров наводящими вопросами.


  1. Решить уравнение: 33х+4 = hello_html_m218a2db.gif

  2. Решить уравнение: 32х-1 = hello_html_685d8d49.gif

  3. Найти корни уравнения: 49х·74-х = hello_html_42b18ad1.gif

  4. Найти меньший корень уравнения: hello_html_7c7e20dd.gif

1) -1 2) -hello_html_m5f640c3e.gif 3) 1 4)hello_html_m5f640c3e.gif


  1. Найти наибольший корень уравнения: hello_html_5a9e432c.gif

  1. 0 2) 2 3) -2 4) 1


6) Найти значение выражения: (х1 – х2)2, где х1 и х2 – корни уравнения

hello_html_m12ec697.gif

  1. Найти сумму корней уравнения:

49·7 - 50·7х +1 = 0

1) 1 2) 2 3) -2 4) 50


Повышенный уровень (6 вариантов).

Учащиеся этой группы должны представить краткий ответ на первые пять задач и развернутое решение последней задачи.


  1. Найти корень уравнения: 36-8·6х = 1

  2. Найти абсциссу точки пересечения графиков функций:

y = hello_html_m479aaa12.gif и y = hello_html_4875c957.gif

  1. Найти значение выражения: 7х0 + 4, где х0 – корень уравнения


8·64х + 15·8х – 2 = 0

  1. Решить уравнение: 10х – 5х-1·2х-2 = 950

  2. Найти произведение корней уравнения:

hello_html_m5a18c9b0.gif

  1. Решить уравнение: hello_html_3ceb26d2.gif


Во время самостоятельной работы берем по одному, наиболее подготовленному ученику, из первой и из второй группы и предлагаем выполнить им подобные варианты заданий на доске по карточкам.

По истечению времени учащиеся сдают работы.

5. Обсуждение решений задач представленных на доске (6 минут).

Учащиеся выполнявшие задания у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят, при необходимости коррективы.

6. Сообщение домашнего задания. Подведение итогов урока (2 минуты).

Для домашнего задания предлагается тест, цель которого – закрепить умения и навыки решать показательные уравнения. Прокомментировать некоторые задания (4, 9, 10).

  1. Решить уравнение: 2х-1 + 2х+1 = 20

  2. Найти произведение корней уравнения: hello_html_206dddc6.gif

  3. hello_html_m4ba4181c.gif

  4. Сколько корней имеет уравнение: hello_html_m61300154.gif

  5. 5 + 4·5х – 5 = 0

  6. 2·5х = 1600

  7. 29х+9·37х+3·5 = 720х+3

  8. hello_html_mb741063.gif

  9. Решить систему уравнений: hello_html_395c7dae.gif

  10. hello_html_4d9c399c.gif

Проверку этого теста можно провести перед следующим уроком по листам самопроверки, разобрав на доске наиболее трудные задания (по просьбе учащихся).

Учитель еще раз обращает внимание на те типы показательных уравнений, которые разбирались на уроке.

Разбор заданий (д/з)

  1. 2х-1 + 2х+1 = 20

2х-1(1 + 22) = 20

2х-1 = 4

x – 1 = 2

x = 3

Ответ: 3.

  1. hello_html_206dddc6.gifОДЗ: хhello_html_559182c5.gifR

hello_html_509b1d95.gifили 2х – 7 = 0

hello_html_7f9b5599.gifх = 3,5

hello_html_f20b47a.gif

hello_html_m7ac4e125.gif

hello_html_m45116c69.gif

Ответ: -4; 3,5; 4.

  1. hello_html_m4ba4181c.gif

Корней нет, так как hello_html_mdf86f9d.gif при любых х

  1. hello_html_m37877548.gifОДЗ: 4 – х2 ≥ 0

hello_html_51c113e3.gif= 0 х2 – 4 ≤ 0

cos х + 0 или 4 – х2 = 0 (х – 2)(х + 2) ≤ 0

x = hello_html_m10a6a9cb.gif х = ±2 х hello_html_ba4a93f.gif

-2 ≤ hello_html_6197df6.gif ≤ 2, hello_html_m29eb4f28.gif

-2hello_html_m5c062083.gif hello_html_4a7c6de3.gif hello_html_354c5dc9.gif

hello_html_2860334e.gifn ≤ hello_html_m10bdbf51.gif, hello_html_m29eb4f28.gif

hello_html_m2ad535b3.gif

Итак, уравнение имеет 4 корня.

  1. 5 + 4·5х – 5 = 0

5х = -5 или 5х = 1

Корней нет, т.к. 5х>0 х = 0

Ответ: х = 0.

  1. 2·5х = 1600

8х·5х = 1600

40х = 402

x = 2

Ответ: 2.

  1. 29х+9·37х+3·5 = 720х+3

29х+9·37х+3·5 = hello_html_m57ee6dfb.gif

hello_html_m25c8161a.gif

hello_html_2e782373.gif

hello_html_69e1e21.gif

5х – 3 = 0

5х = 3

x = 0,6

Ответ: 0,6.

  1. hello_html_mb741063.gif

Очевидно, что 3х – 4 ≥ 0

|3х – 4| + hello_html_3a658258.gif = hello_html_m7aecfdb0.gif

3х – 4 + hello_html_3a658258.gif = hello_html_m7aecfdb0.gif

hello_html_m79c31265.gif

hello_html_23818204.gif

hello_html_fcebde8.gif

hello_html_11b9ec69.gif

x = log36

Ответ: log36.

  1. hello_html_395c7dae.gif

Пусть 3х = a, 3y = b, причем a > 0, b > 0

Система уравнений примет вид:

hello_html_m74488016.gif

Вернемся к переменным «х» и «y»:

hello_html_m7f9f17bb.gif

hello_html_m5b0fa083.gif

Ответ: (3;0); (0;3).

  1. hello_html_4d9c399c.gif

Заметим, что hello_html_m40f42c10.gif

Пусть hello_html_m3ac82fba.gif, тогда hello_html_6c1fc662.gifпричем t > 0

Уравнение примет вид:

hello_html_m54e83f9b.gif

hello_html_76083dcc.gif

hello_html_m3f8567b5.gif

t = 1

Вернемся к переменной «х»:

hello_html_1658bb9d.gif

x = 0

Ответ: 0.

  1. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций:

hello_html_m3defdfc7.gif

  1. Решить уравнение: 4·4х + (4х – 13)·2х + 3 – х = 0

  2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение: 4х - а·2х+1 – 3а2 + 4а = 0 имеет единственный корень.


Разбор заданий

  1. hello_html_m3defdfc7.gif

Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, решим систему уравнений:

hello_html_1143d06b.gif

hello_html_m23510f08.gif

Пусть 2х = t (t > 0), получим уравнение:

hello_html_6a6910b9.gifhello_html_m188ac50d.gif

3|t – 2| = - t2 + 6t – 2 t2 – 6t + 2 ≤ 0

  1. T ≥ 2, 3t – 6 = - t2 + 6t – 2

t2 – 3t – 4 = 0

t1 = 4, t2 = -1 - посторонний корень

Вернемся к переменной «х»:

2х = 4

x = 2

  1. tT < 2, -3t + 6 = - t2 + 6t – 2

t2 – 9t + 8 = 0

t1 = 1; t2 = 8 - посторонний корень

Вернемся к переменной «х»:

2х = 1

x = 0

Ответ: 0 и 2.

  1. 4·4х + (4х – 13)·2х + 3 – х = 0

Сделаем замену: 2х = t (t > 0)

Получим уравнение:

4t2 + (4х – 13)t + 3 – х = 0, в котором переменную «х» будем считать параметром. Решим это квадратное уравнение:

D = (4х – 13)2 - 4·4·(3 – х) = 16х2 – 88х + 121 = (4х – 11)2

hello_html_m7564d8a2.gif

Вернемся к переменной «х»:

  1. 2х = hello_html_685d8d49.gif

x = -2.

  1. 2х = 3 – х

В левой части возрастающая функция, а в правой – убывающая, значит, уравнение имеет не более одного корня. Легко увидеть, что х = 1.


Ответ: -2; 1.

  1. 4х - а·2х+1 – 3а2 + 4а = 0

Пусть 2х = t (t > 0), получим уравнение:

t2 – 2at – 3a2 + 4a = 0

hello_html_e3a0d20.gif

Если hello_html_64bc30e.gifто уравнение не имеет действительных корней.

Если hello_html_m4113f8e9.gif, то уравнение имеет 1 корень. Это возможно при a = 0 или

a = 1. При а = 0 t = 0, но это противоречит условию t > 0. При а = 1

(t – 1)2 = 0, t = 1 – удовлетворяет условию задачи.

Если hello_html_26d9f9bc.gif, то уравнение имеет единственный положительный корень, если:

  1. корни разных знаков;

  2. если один корень положительный, а другой равен нулю.

Если x1 = 0, то -3а2 + 4а = 0; а = 0 или а = hello_html_m4d2614a7.gif

При а = 0 нет выполнения условия. Рассмотрим а = hello_html_m4d2614a7.gif, t = hello_html_1bcba676.gif.

Наконец, если корни разных знаков, то

hello_html_8b1b40c.gif

hello_html_1066fffa.gif

Ответ: а < 0, a = 1, a ≥ 1hello_html_7f8f9891.gif .


Рефлексия


Дома выполнить 2 варианта тестов за 2014г






















Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

В практике подготовки и проведения ЕНТ  в каждом тесте всегда имеются задания на решение показательных уравнений , решение систем показательных уравнений.Поэтому на изучение этой темы уделяется особое внимание.

При изучении данной темы , формируются навыки и умения решения    показательных уравнений и их систем , отрабатываются умения и навыки самостоятельной работы, умение работать с тестами.Развивается математическое мышление учащихся умение правильно применять формулы.Воспитывается трудолюбие , взаимопонимание. Буду рада , если  данный урок  пригодится молодому учителю  

Автор
Дата добавления 27.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров287
Номер материала 462491
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх