Тема : « Объем конуса »
Цель урока :
Рассмотреть теорему об объеме конуса; выработать навыки решения задач на
применение формул объема конуса; подготовка к ЕГЭ рассмотрение задач В10 на
нахождение объема конуса, развитие
любознательности.
I. Орг. момент . Проверка
домашнего задания: просмотр тетрадей.
II. Введение проблемного задания. Задача
. Послушайте старинную легенду восточных
народов, рассказанную А.С.Пушкиным в
« Скупом рыцаре».
«…Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
^ Велел снести земли по
горсти в кучу.
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.»
Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся
правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы
какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить эту затею, он был бы
обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая
куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный
«гордый холм» И так что нам надо знать чтобы вычислить объём земли в холме?
Ответы учеников. Значит тема нашего урока( сообщение темы и целей урока )
III. Повторение основных сведений о конусе
- Определение конуса
- Элементы конуса
- Сечения конуса
- Площадь поверхности конуса.
Цилиндр
|
Конус
|
Усеченный конус
|
l –
образующая цилиндра.
h – высота цилиндра.
r – радиус основания.
Sбок =
2 rh
V = r2h
|
l
–
h –
r –
S бок =
V =
|
r
–
r1 –
h –
l –
S бок =
V =
|
IV. Объяснение нового материала :
на основе имеющихся знаний выведем формулу для нахождения объема конуса.
1 способ :
Для вывода формулы объема конуса воспользуемся основной формулой для
вычисления объемов тел с помощью определенного интеграла
Рассмотрим конус, у которого радиус основания r, высота h. Введем ось ОХ с
началом в вершине конуса, вдоль его оси, и проведем произвольное сечение
конуса плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ.
Дальнейшие рассуждения аналогичны тем, что мы использовали при выводе объема
пирамиды. (Для продолжения доказательства дом задание по учебнику.) Получаем
:
2 способ: ( применение интеграла -алгебра11)Эту же самую формулу можно получить, рассматривая конус как тело
вращения прямоугольного треугольника вокруг катета.
)
V. Закрепление :
1) Работа по таблице на доске .
2) Практическая работа :
а)Найти , пользуясь чертежом, объем фигуры(
на доске таблица).
б )- по вариантам ,дифференцированные задания
из ДМ С-12.
в ) на доске выполняет ученик задание по карточке, остальные с проекции на
экране,
самостоятельно в тетрадях ,задания из открытого банка для подготовки к ЕГЭ,
затем проверка полученных результатов.
Цилиндр
и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если
объем конуса равен 14
МИНУТКА ОТВЛЕЧЁННАЯ ОТ ЗАНЯТИЯ. РАЗМИНКА ДЛЯ ГЛАЗ.( Слайд с
подобранной разминкой. Проекция на экран.)
Продолжение практической работы по «цепочке» у доски.
3)Работа по учебнику №701а,б , №704.
4.) Решение задачи озвученной вначале
урока. Послушайте старинную легенду восточных
народов, рассказанную А.С.Пушкиным в
« Скупом рыцаре».
«…Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
^ Велел снести земли по
горсти в кучу.
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.»
Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся
правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы
какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить эту затею, он был бы
обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая
куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный
«гордый холм».
Решение: Пусть в войске 100000 воинов.
1горсть=1/5 дм
Чтобы земля не осыпалась, угол откоса должен быть меньше 450.
Конечно же, кучу земли высотой в 2,7 м никак не назовешь «гордым холмом».
Вряд ли такая высота удовлетворила бы честолюбие царя.
Если взять угол меньше 450, получим еще меньшую высоту.
5) Задача- практической направленности.
Задача : На
станции железной дороги насыпана конусообразная куча угля; ее высота 4м,
уклон 1 : 1,5(тангенс угла равен). Сколько потребуется вагонов для перевозки
этого угля;
грузоподъемность вагона 25т. ( плотность угля 1300 кг/м
решение : R=
4∙1,5 = 6(м) V = V =
m = V∙ ρ m = 48∙ 3,14 ∙ 1300 = 195936 ( кг )
n = m : 25 = 195,936 : 25 8 ( вагонов)
VI. Дополнительная информация о конусе. Сообщение ученика.
1. В биологии верхушку побега и корня растений состоящую из клеток
образовательной ткани, называют «конусом нарастания». Деление клеток «конуса
нарастания» обеспечивает рост стебля и корня в длину. Этот рост
сопровождается ветвлением.
2. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса
переднежаберных. Раковина коническая (2 - 16 см). Конусов свыше 500 видов.
Укус конусов болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используют для
изготовления украшений и сувениров.
3. «Конус выноса» - понятие в геологии. Это форма рельефа,
образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенных
горными реками на предгорную равнину.
4. Конусообразный угол, вырезанный в шаре, называется «телесный угол» и
используется в физике. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу
(1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен.
5. Гром, гроза, молния. Эти явления природы хорошо нам знакомы. Больше всего
гроз бывает в Индонезии и Центральной Америке. Здесь число дней в году с
грозами превосходит 200. И именно здесь чаще всего погибают от разрядов
молний.
Для предохранения зданий, промышленных сооружений от разрушительного действия
молнии ставится молниеотвод, или, как его называют, громоотвод, в результате
чего образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем
такого конуса.
VII^ . Историческая справка. Сообщение учителя.
Конус в переводе с греческого означает « сосновая шишка ». С конусом люди
знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (
287 – 212 гг. до н.э. ) « О методе » , в которой дается решение задачи об
объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь
открытия этого принципа Демокриту (470 – 380 гг. до н.э.) –древне-греческому
философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для
вычисления объема пирамиды и конуса.
Много сделала для геометрии школа Платона ( 428 – 348 гг. до н.э. ) Платон
был учеником Сократа ( 470 – 399 гг. до н.э. ). Он в 387 г. до н.э. основал в
Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий В Академию, читал
надпись : « Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона
принадлежит исследование свойств призмы, цилиндра и конуса; изучение
конических сечений.
Большой трактат о конических сечениях принадлежит
Аполлонию Пергскому (260 – 170 гг. до н.э. ) – ученику Евклида (
III в. до н.э. ), который создал великий труд из 15 книг под названием «
Начала». В ХII книге «Начал» Евклида содержатся следующие теоремы:
1) Объем конуса равен одной трети объема цилиндра с равным основанием и
равной высотой; доказательство этой теоремы принадлежит Евдоксу Книдскому.
2) Отношение объемов двух конусов с равными основаниями равно отношению
соответствующих высот.
3) Если два конуса равновелики, то площади их оснований обратно
пропорциональны соответствующим высотам и наоборот.
Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.
Непосредственное вычисление объема конуса дает Герон Александрийский.
III. Домашнее задание : №
701(в) , № 703, № 705.
. Итог урока :
Учитель: У Яна Амоса Коменского есть такое
высказывание: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил
ничего нового и не прибавил к своему образованию». Я думаю, что для вас
прошедший урок – счастливый час! Потому что …( ребята высказывают свое
мнение).
Список литературы:
1.
Геометрия. Учебник для 10-11кл. общеобразовательных учреждений/
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. – М.: Просвещение,2010г.
2.
Геометрия . Учебник для 9-11кл./ К.С. Барыбин.-М.:
Просвещение,1972.
3.
История математики в школе . Г.И. Глейзер. –М.: Просвещение,
1982.
4.
Интернет ресурсы
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.