Открытый урок по математике на тему "Правильные многогранники" (11 класс)

Кроссворд «Многогранники»

По горизонтали:

 2. Правильный шестигранник. 4. Плоские многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника. 5. Высота боковой грани правильной пирамиды. 7. Правильный двадцатигранник. 8. Правильный двенадцатигранник. 10. Основание правильной четырёхугольной пирамиды. 11. Древнегреческий философ,  подробно описавший правильные многогранники. 12. Призма, основанием которой служит параллелограмм.

По вертикали:

1. Треугольная пирамида. 3. Сторона грани многогранника. 6. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 9. Автор теоремы (формулы) В+Г=Р+2, показывающей зависимость между вершинами, гранями и рёбрами выпуклого многогранника.

Лист изучения новой темы

Тема урока «Правильные многогранники»                 Дата _____________________

Правильный многогранник - ______________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________.

Задание №1. «Определение видов правильных многогранников». Заполните таблицу по образцу и сделайте вывод о существовании количества видов правильных многогранников в каждом случае.

Вывод: _____________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________

Задание №2.

Теорема  Эйлера:____________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________

Тема урока: ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ.                                        (Урок усвоения новых знаний)

Цели урока:

• дидактические: ввести понятие правильного многогранника; познакомить учащихся с пятью типами правильных многогранников, с историей возникновения и развития теории многогранников; содействовать в ходе исследовательской работы выводу соотношения между числами вершин, граней и ребер выпуклого многогранника;
• развивающие: формировать пространственные представления учащихся; развивать познавательную деятельность; развивать умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии; делать выводы; развивать умения оперировать основными понятиями;
• воспитательные: воспитание чувства ответственности, культуры диалога; воспитание интереса к математике; создание условий для целостного восприятия общей картины мира; показать связь изучения темы с другими науками, с жизнью, практическую значимость.

Оборудование: интерактивная доска, листы изучения новой темы, презентация «Правильные многогранники в природе», раздаточный материал «Кроссворд».

План урока:

1. Организационный момент.
2. Целеполагание.
3. Актуализация опорных знаний.
4. Изучение нового материала:
   а) работа по формированию понятия о правильных многогранниках;
   б) частично–поисковая работа (определение видов правильных многогранников).
5. Сообщения учащихся:
   а) «История многогранников»
   б) «Правильные многогранники в живой и неживой природе»                                               в) «Правильные многогранники в живописи»
6. Исследовательская работа «Выявление зависимости между количеством граней, ребер и вершин многогранника» (теорема Эйлера)
7. Дополнительное задание. (Кроссворд).
8. Итог урока. Оценивание учащихся.
9. Задание на дом.
10. Рефлексия. Оценивание учащихся.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Целеполагание.

Есть в геометрии особые темы, которых ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему "Правильные многогранники".(СЛАЙД №1) Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? (СЛАЙД №2) Эпиграфом к нашему уроку я взяла слова английского писателя, математика и философа Льюиса Кэрролла «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». Сегодня на уроке мы постараемся доказать справедливость этого высказывания. В течение всего урока мы будем работать с листами изучения новой темы, которые лежат у вас на столах. Пожалуйста, запишите сегодняшнее число и тему (затем эти листы вклеиваются в рабочие тетради).

3. Актуализация опорных знаний.

Цель: проверка умений работать с понятиями о многогранниках, выпуклых многогранниках; развитие пространственного мышления.

Для изучения данной темы нам необходимо повторить то, что мы знаем о многогранниках.

Задание1: (СЛАЙД №3) Перед вами модели геометрических тел. Определите, какие  модели являются многогранниками, а  какие - нет. Что называется многогранником? (Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.) Как называются многоугольники, их стороны и вершины? (Грани, рёбра и вершины.)

Задание2:(СЛАЙД №4)Уберите модели невыпуклых многогранников. Какие многогранники называют выпуклыми? (Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани). Каким соотношением можно записать сумму всех плоских углов выпуклого многогранника при каждой его вершине? (Сумма всех плоских углов выпуклого многогранника при каждой его вершине меньше 360⁰).

4. Изучение нового материала.

а) Работа по формированию понятия о правильных многогранниках.

Название “правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Так вот, оказывается, среди всех выпуклых многогранников существуют особые многогранники, которые называются правильными. (Показываю учащимся эти многогранники, но не называю их). Давайте попробуем вместе сформулировать определение правильного многогранника, сравнивая их с другими многогранниками. (Правильные многогранники – это многогранники, у которых все грани являются правильными многоугольниками и они равны).

(СЛАЙД №5) ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК- выпуклый многогранник, все грани которого – равные правильные многоугольники и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер. (Определение записывается на листе изучения новой темы.)

б) Частично–поисковая работа (определение видов правильных многогранников).

Много ли существует видов правильных многогранников? Как установить количество видов правильных многогранников? (Все грани – правильные многоугольники; все многогранные углы должны быть равны, в каждую вершину должно сходиться одинаковое число ребер, граней, значит нужно установить, сколько граней может сходиться в одну вершину; должен существовать многогранный угол правильного многогранника, условие существования – сумма всех его плоских углов nα меньше 360°).

Оформляется работа: “Лист изучения новой темы”- Задание №1. Для правильного треугольника учитель разбирает и объясняет, что и как нужно делать. (СЛАЙД №6)

После заполнения таблицы делаются соответствующие выводы (устно) для каждого случая (СЛАЙД №7, СЛАЙД №8).

Вывод: существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (записывают на листах изучения новой темы).

5. Сообщения учащихся.

Почему правильные многогранники получили такие имена? (СЛАЙД №9)

Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка: эдрон – грань, тетра – четыре, гекса – шесть, окто – восемь, додека – двенадцать, икоси – двадцать.

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами. А почему, это мы узнаем из рассказа учащегося.

Выступление учащегося: «История многогранников» (СЛАЙД №10)

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками увлекались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Платон(ок. 428 – ок. 348 до н.э.) считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

(СЛАЙД №11) Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал все мироздание и почитался главнейшим– его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.

(СЛАЙД №12) Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.

Однако между двумерным и трехмерным случаями есть важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида.

Учитель: Спасибо. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники, поэтому следующее сообщение «Правильные многогранники в живописи».

(СЛАЙД №13) Мауриц Корнелис Эшер (1898–1972) - голландский художник-график. С детства проявлял тягу к живописи. До 1937 художник много путешествовал по Европе. Он делал наброски, обращая при этом особое внимание на обманчивые, двусмысленные элементы пейзажа и экспериментируя в новом для себя направлении, уже тогда в его работах появляются зеркальные отображения, кристаллические фигуры и сферы.

Правильные геометрические тела - многогранники – имели особое очарование для Эшера. Во многих его работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.

Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос».  В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что, анализируя картину, можно догадаться о природе источника света для всей композиции – это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

(СЛАЙД №14) На картине художника Сальвадора Дали  «Тайная Вечеря»  Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного  додекаэдра.

Форму додекаэдра, по мнению древних,  имела  ВСЕЛЕННАЯ , т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности  правильного додекаэдра.

(СЛАЙД №15) Альбрехт Дюрер. В его известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изображен додекаэдр. А в 1525 году Дюрер написал трактат, в котором рассмотрел пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы.

Учитель: Спасибо. Правильные многогранники хорошо изучены, доказано, что их существует пять видов, но сам ли человек их придумал? Скорее всего – нет, он «подсмотрел» их у природы. Предлагаем вашему вниманию сообщение: «Правильные многогранники в природе». (Презентация учащегося.)

Выступление учащегося.

Не смотря на то, что правильных многогранников так мало,  в природе они широко распространены: различные кристаллы, вирусы и даже одно живое существо, - принимают их формы.

Тетраэдр.

Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра. Метан горит бесцветным пламенем. С воздухом образует взрывоопасные смеси. Используется как топливо.                                                                                                                              Кристаллы белого фосфора образованы молекулами P4. Такая молекула имеет вид тетраэдра.                                                                                                                               Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты также являются тетраэдрами.

Элементарная ячейка кристалла алмаза представляет собой тетраэдр, в центре и четырех вершинах которого расположены атомы углерода. Атомы, расположенные в вершинах тетраэдра, образуют центр нового тетраэдра и, таким образом, также окружены каждый еще четырьмя атомами и т.д. Все атомы углерода в кристаллической решетке расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.

Мало того, молекулы всем известной воды тоже имеют форму тетраэдра!

Куб (гексаэдр)

Все кристаллы поваренной соли имеют одинаковую кубическую  форму. Маленькие шарики – ионы натрия, большие – ионы хлора.                                                                    Форму  куба имеют кристаллические решётки многих металлов (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au, и другие), а также минерал сильвин.

Октаэдр

Форму октаэдра принимают кристаллы алмаза, куприта, а также алюминиево-калиевые кварцы, используемые при производстве алюминия.

Икосаэдр

Икосаэдр отличился тем, что его форму сочли для себя удобной живые существа. Это одноклеточная «феодария» и вирусы.                                                                                 Вирусам важно подчинить себе организм, в котором они паразитируют. Для этого требуется огромное наличие различных ферментов, однако размеры вируса ограничены. В таких условиях сформировалась икосаэдрическая форма, когда при наибольшем объёме имеется наименьшая площадь поверхности.                                      Феодарии живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Додекаэдр

Додекаэдр тесно связан с икосаэдром, так в исследованиях формы Земли эти два многогранника вставляют друг в друга, чтобы постичь тайны вселенной; Дан Уинтер в своей книге «Математика сердца» утверждает, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров; а также некоторый вирус полиомиелита имеет подобно другим икосаэдрическим додекаэдрическую форму строения.                                                                                         Но и кристаллы не остались в стороне, пирит имеет форму додекаэдра. Часто представлен кристаллами в виде кубов, на гранях которых почти всегда наблюдается характерная штриховка. Окрас – желтый с разными оттенками. Окраска и определила название – «пирос» (по-гречески значит «огонь»). Сырье для получения серной кислоты; руда золота, меди, кобальта.

Итак, правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служат все вышеперечисленные элементы: кристаллы, вирусы, «феодария». Да что говорить, если даже пчёлы пользуются выгодами правильных фигур (соты)!

6. Исследовательская работа.

а) Мотивация деятельности. Привлекательная цель.

С незапамятных времен тянется история драгоценных кристаллов. Пример тому – история одного из самых замечательных алмазов – алмаза «Кохинор». (СЛАЙД №16)

Первые известия об этом алмазе приходят к нам из Древней Индии. Многие века он был родовой ценностью раджей. Но в 1526 году бесценный камень оказался в руках могущественных Моголов. И с тех пор стал камнем раздора. И вот в 1739 году персидский хан Надир обманом узнал, что владелец камня Великий Могол Мухаммед носит алмаз в тюрбане. При прощальном визите шах Надир предложил в знак вечной дружбы обменяться тюрбанами. Когда новый хозяин размотал тюрбан и увидел алмаз, он воскликнул «Кох и нур!», что означает «гора света». В 1848 году алмаз попал как военный трофей в сокровищницу английской короны. Английская королева дала указание сделать огранку вдоль ребер алмаза золотой нитью. Но огранка не была сделана, так как ювелир не сумел рассчитать максимальную длину золотой нити, а сам алмаз ему не показали. Ювелиру были сообщены следующие данные: число вершин В=54, число граней Г=48, длина ребра L= 4мм. А вы сумеете найти максимальную длину золотой нити? Что нужно знать для нахождения общей длины золотой нити?

б) Исследовательская работа. “Лист изучения новой темы” задание №2. Проблема:

Цель: Выявить зависимость между числами вершин, граней и ребер выпуклого многогранника.

Гипотеза: Если существует зависимость между числами вершин, граней и ребер, то ее можно выразить формулой и по ней найти число ребер выпуклого многогранника.

Эксперимент: Заполняется таблица. Учащиеся выполняют задание по группам, каждой группе дается по два правильных многогранника. Они подсчитывают число вершин, ребер, граней и заполняют таблицу. Затем результаты сверяются с помощью интерактивной доски (СЛАЙД №17). Учащимся предлагается выявить зависимость между количеством вершин, граней и ребер правильных многогранников. Если учащиеся затрудняются в установлении зависимости, то учитель руководит их действиями. Делается вывод.

Итак, мы вместе «открыли» формулу, которая была сформулирована уже Декартом в 1640г., а позднее доказана Эйлером в 1752г., имя которого она с тех пор и носит . Теорема верна не только для правильных многогранников, но и для любых выпуклых многогранников и даже для некоторых невыпуклых. (СЛАЙД №18)

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА: В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2. (записывают на листах изучения темы) В + Г = Р + 2.

Итак, теперь, зная эту зависимость, можно вычислить количество ребер алмаза (В=54, Г=48; Р=В+Г-2=54+48-2=100; l=4·100=400(мм)=40(см). (Учащийся у доски.)

7. Дополнительное задание.

Цель: Проверка формирования новых понятий и усвоения полученных знаний по теме «Правильные многогранники».

Кроссворд (работа в парах).
В зависимости от уровня подготовленности обучающихся можно предложить им дополнительное задание в виде кроссворда. Если класс или группа имеют низкие математические способности, то кроссворд можно предложить к решению на следующем уроке как повторение ранее изученного материала или в качестве домашнего задания.

По горизонтали:

 2. Правильный шестигранник. 4. Плоские многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника. 5. Высота боковой грани правильной пирамиды. 7. Правильный двадцатигранник. 8. Правильный двенадцатигранник. 10. Основание правильной четырёхугольной пирамиды. 11. Древнегреческий философ,  подробно описавший правильные многогранники. 12. Призма, основанием которой служит параллелограмм.

По вертикали:

1. Треугольная пирамида. 3. Сторона грани многогранника. 6. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 9. Автор теоремы (формулы) В+Г=Р+2, показывающей зависимость между вершинами, гранями и рёбрами выпуклого многогранника.

8. Итог урока.

(СЛАЙД №19). А теперь подведем итог. Убедились ли мы в справедливости высказывания Л. Кэрролла? Докажите почему?

Таким образом, правильные многогранники изучали учёные и древности, и средних веков, но это не выдумка не абстракция, они окружают нас в жизни, в природе, в искусстве.

9. Задание на дом:

1) Посмотрите литературу, оглянитесь вокруг и найдите ещё примеры, где нам встречаются куб и тетраэдр;

2) изготовьте модель правильного многогранника(одну на выбор).                                          

10. Рефлексия. Оценивание учащихся.

Презентацию и сообщения оценивают сами учащиеся. Работу на уроке и в группах – учитель.

Что вам понравилось (не понравилось) на уроке? Почему?

Что лично для вас (для каждого) было полезным?

Что бы вам хотелось повторить, что изменить при дальнейшей работе?