Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Ответы на олимпиадные работы по математике
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Ответы на олимпиадные работы по математике

библиотека
материалов


ОТВЕТЫ


5 класс


Задача 1 :
Четырёхугольник разбивается ABCD диагональю BD на два прямоугольных треугольника, для каждого из которых вычисляется площадь как полупроизведение катетов. Итого искомая площадь составит - 48
Ответ: 48.

Задача 2:
Сторона кубика должна быть наибольшим общим делителем чисел 30 и 50. НОД (30;50) = 10, значит, кубиков в коробку войдёт 45
Ответ: 45.

Задача 3:

На каждом этаже двойка четырежды использовалась для нумерации единиц, и десять раз – в десятках.
К тому же, номера второго этажа дают ещё 35 двоек.
Всего их будет 14 х 5 + 35 = 105
Ответ: 105.


Задача 4:
Любые две мальчика справляются с уборкой за полтора часа (90 минут). Каждый из этих мальчиков вскопает одну вторую часть земельного участка. Если двое мальчиков за 90 мин копают участок, то по отдельности они вскопают в 2 раза дольше:
90 x 2 = 180 минут
Нам надо узнать, за какое время они вместе втроем справятся с заданием. Вместе им придется вскопать каждому одну треть земельного участка, то есть выполнить задание в 3 раза быстрее
180 : 3 = 60 минут.
Ответ:
Втроем ребята перекопают земельный участок за 1 час.


Задача 5:
Способ 1: 88+8+8+8+888=1000
Способ 2: 8+8+888+88+8=1000.










6 класс

Задача 1:

Ответ: 43 – 17.

Задача 2:

Ответ: будет.
Представим данную сумму в виде следующих слагаемых: (1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007.
Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007.

Задача 3:

Ответ: 5 клеток.

Задача 4:

Ответ: 7 больших породистых собак.

Задача 5:

Ответ: 64 см















7 класс

Задача 1:
3025=552.

Задача 2:
Сделать точку
M центром параллелограмма.

Задача 3:
Раскрасим доску в четыре цвета, как указано на рисунке (цифры --- номера цветов). Тогда каждая фишка замостит четыре клетки со всеми четырьмя цветами. Но клеток, окрашенных в первый цвет, ---
25, во второй --- 26, в третий --- 25, в четвертый --- 24. Отсюда следует невозможность указанной укладки.

Задача 4:
37, 5 км/ч.


Задача 5:
На каждой стороне написано либо число 1, либо -1, а так как сумма равна нулю, то сторон обоих типов поровну. Обозначим это количество за m, тогда общее число сторон равно n = 2m (то есть четно). Если на стороне написано -1, тогда на концах написано -1 и +1, всего таких сторон m. Пусть есть еще k сторон, на обоих концах которых написано +1, тогда всего на концах всех сторон написано m+2k единиц, при этом каждую вершину на которой написано +1 посчитали дважды. Значит, m+2k - четное число, то есть и m четное, следовательно, n = 2 m делится на 4.
















8 класс

Задача 1:

Каждый раз, когда мальчик попадал в цель, число имеющихся у него пулек оставалось прежним (одну использовал и одну получил от отца). Каждый раз, когда мальчик промахивался, число имеющихся у него пулек уменьшалось на 2 (одну использовал и одну отобрал отец). Это значит, что сын за 55 выстрелов промахнулся 10 : 2 = 5 раз, стало быть, попал 55 – 5 = 50 раз.

Задача 2:
Пусть биссектрисы
AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I (рис.2). Допустим, что hello_html_m65714a9e.pngAIC1 = 60°. По теореме о внешнем угле треугольника

hello_html_32d3463b.png

откуда

hello_html_m65714a9e.pngBAChello_html_m65714a9e.pngBCA = 120°

и

hello_html_m65714a9e.pngABC = 180°– hello_html_m65714a9e.pngBAC – hello_html_m65714a9e.pngBCA = 60°.

Задача 3:
Впишем четырехугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами, параллельными диагоналям (EF || AC и EH || BD) - смотри рисунок. Пусть L - точка пересечения прямых DC и EF, а
M - точка на прямой HG такая, что LM || FG . Тогда ABLC - параллелограмм, следовательно, AB = CL. Так как GM = FL = EB = HD и AH = CG, то \triangle AHD = \triangle CGM , следовательно, AD = CM. В силу неравенства треугольника BM £ BC+CM = BC+AD . Но BM = DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL = DC +CL = DC+AB. Следовательно, AD+BC ³ DL = DC +CL = DC+AB, что и требовалось доказать.


Задача 4:

Ответ: 4

Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.


Задача 5:
Ответ : 8.

Cумма чисел на всех гранях равна 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 51. При первом броске сумма на верхней и нижней гранях равна 51 – 36 = 15, при втором — 51 – 33 = 18. Значит, на третьей паре противоположных граней сумма равна 51 – 15 – 18 = 18. Сумму 18 можно получить двумя способами: 11 + 7 или 10 + 8. Значит, на парах граней с суммой 18 напротив 11 находится 7, а напротив 10 — 8.

9 класс

Задача 1:
Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x
2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

Задача 2:

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x
1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.

Задача 3:
Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.



Задача 4:
Ответ: можно.

Например, 2/7=1/4+1/28.



Задача 5 :
Опишем стратегию первого игрока.
Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.
Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 х монет (он всегда может это сделать, потому что если х четное число от 2 до 100, то (101 х ) нечетное число от 1 до 99).
Так как 2005=101 19 + 85 + 1, то через 19 таких ответов после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.













10 класс

Задача 1 :
Уравнение x
4 – 4x3 + 12x2 – 24x + 24 = 0  преобразовать к виду (x2 – 2x)2 + 8(x – 1,5)2 + 6 = 0,   которое не имеет решений.

Задача 2 :
Пусть первая из команд забила за весь матч
m голов, вторая n голов. Сумма числа голов в ходе матча изменяется с шагом 1 от 0 до m + n , значит, в какой-то момент она будет равна m. Данный момент и будет искомым в задаче, потому что при этом число голов, уже забитых второй командой, равно разности m и числа голов, уже забитой первой командой, т. е. числу голов, которое еще предстоит забить первой команде. Аналогично можно рассуждать и с первой командой.

Задача 3 :
Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2
х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают выражения (2 – h)2 + x2 = R2,   (2y + h)2 + y2 = R2.  Отсюда получим x - y = (4/5)h.  Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна (8/5)h.

Задача 4 :
Обозначим
√2 + √3 =a. Тогда a2 = 5 + 2√6, а  (a2 – 5)2 = (26)2или a4 – 10a2 + 25 = 24, которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0. А это и означает, что а является корнем многочлена
 x
4 – 10x2 + 1.

Задача 5 :
Замечаем, что при каждом разрезании из одного листка получаем пять, т. е. число листков увеличивается на 4. Следовательно, из исходного листа может получиться число листков вида 1 + 4
n, где n € N, т. е. это число при делении на 4 дает остаток 1. Но 2006 = 4•501 + 2. Следовательно, 2006 листков получиться не может.











11 класс

Задача 1 :

Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n  + 3. Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = ( 2   + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2  + 3n)2 + 2(n2  + 3n) + 1 = (n2  + 3n + 1)2.

Задача 2 :
Перенесем в левую часть  2sin4x · cos
4x и прибавим и вычтем по cos8x. В результате полученное уравнение можно преобразовать к виду (sin4x – cos4x)2 + cos2x(1 – cos6x) =hello_html_m2db24b26.jpg 0, которое равносильно следующей системе:

 

Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение, в результате получим решение исходного уравнения x = π/2 + πk .



Задача 3:

Преобразуем уравнение к следующему виду: (х – 2006)(у - 2006) = 20062. Уравнение имеет решения, например, х = у = 4012.



Задача 4 :
Пусть y = x2 – 3x3. Тогда y' = 2x – 9x2 и с помощью метода интервалов получаем, что y' < 0 при всех x>2/9. Но 1/4>2/9, следовательно, функция y(x) убывает на луче [1/4; +∞]. Это значит, что x2 - 3x3< 1/16 - 3/64 = 1/64 < 1/64.

Задача 5 :
Окружим каждый квадрат полоской шириной 1/2. Образующие фигуры тоже квадраты со стороной 1 + 2 x 1/2 = 2, имеют площадь равную 4. Их общая площадь равна 4 x 120 = 480, в то время как искомая площадь равна 500. Следовательно, найдется точка, которая не покрыта построенными квадратами, но это значит, что она удалена от данных квадратов не меньше чем на по всем направлениям. Круг радиуса  с центром в этой точке не имеет общих точек  ни с одним из квадратов.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 04.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров170
Номер материала ДБ-009733
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх