Памятка для решений всех видов тригонометрических уравнений

Основные приемы решения тригонометрических уравнений.

Данная памятка призвана помочь учащимся старших классов в подготовке к ЕГЭ по математике по теме «Тригонометрические уравнения», а также преподавателям для систематизации и обобщению знаний по указанной теме.

1)     Уравнения вида   a sin²x + b sin x + c = 0; в которые входит только один вид тригонометрических функций.

Решение:

1.     Замена sin x=t,

2.     Решение квадратного уравнения относительно t,

3.     Возвращение к переменной х

2)     Уравнения вида a sin²x + b cos x + c = 0; в которые входят разные виды тригонометрических функций.

Решение:

1.     Замена sin² x=1- cos² x ,

2.     Решение квадратного уравнения относительно t, где t= cos x

3.     Возвращение к переменной х

3)     Уравнения вида a sin²x + b sin x cos x + c cos² x = 0;

Решение:

1.     Деление на cos² x , (значения при которых cos x равен нулю не являются решениями уравнения данного вида, т.к. если cos x=0, то и sin x=0, но синус и косинус одновременно не могут равняться нулю)

2.     Решение квадратного уравнения относительно t, где t= tg x

3.     Возвращение к переменной х

4)     Уравнения вида  a sin²x + b sin x cos x + c cos² x = d;  (a не равно d)

           Решение:

1.     a sin²x + b sin x cos x + c cos² x = d(sin²x+ cos² x) , т.к. sin²x+ cos² x=1

2.     a sin²x + b sin x cos x + c cos² x – d sin²x- d cos² x=0

3.     (a-d) sin²x + b sin x cos x +( c-d) cos² x =0

4.     Деление на cos² x , (значения при которых cos x равен нулю не являются решениями уравнения данного вида, т.к. если cos x=0, то и sin x=0, но синус и косинус одновременно не могут равняться нулю)

5.     Решение квадратного уравнения относительно t, где t= tg x

6.     Возвращение к переменной х

5)     Уравнения вида a sin x + b  cos x  = 0;

Решение:

1.     Деление на cos x , (значения при которых cos x равен нулю не являются решениями уравнения данного вида, т.к. если cos x=0, то и sin x=0, но синус и косинус одновременно не могут равняться нулю)

2.     Решение простейшего уравнения  а tg x + b=0

6)     Уравнения вида a sin а x + b  cos в x  = 0;

Решение:

1.     Использовать формулы суммы(разности) тригонометрических функций

2.     Применить правило равенства нулю произведения

7)      Уравнения вида a sin ^x + b  cos x + с  = 0;

Решение:

1.     Введем вспомогательный аргумент t=x/2, получим a sin  2t + b  cos 2t + с  = 0;

2.     Применяя формулы двойных углов и приведя подобные слагаемые получаем уравнение третьего вида (из данной памятки)

8)     Уравнения вида  sin а x +  sin в x  = sin cx + sin dx   ;

Решение:

1.Использовать формулу понижения степени,

2. Применяя формулы суммы(разности) тригонометрических функций и вынося общий множитель за скобки, получаем  уравнение шестого вида (из данной памятки)