Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Памятка "Использование метода введения новой переменной"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Памятка "Использование метода введения новой переменной"

библиотека
материалов


ПАМЯТКА

Приемы решения дробных рациональных уравнений.

1.

Использование алгоритма решения дробных рациональных уравнений.

При решении дробных рациональных уравнений целесообразно поступать по следующему алгоритму:

1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, предварительно разложив знаменатели на множители;

2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3. решить получившееся целое уравнение;

4. исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

hello_html_1ef143fd.gifНОЗ: 2х(2 – х)

hello_html_m666a5578.gif

4х + х(2 – х) = 8;

х2 – 6х + 8 = 0;

D = b2 – 4ac = (-6)2 - 4·1·8 = 36 – 32 = 4 > 0, уравнение имеет 2 корня;

hello_html_4b7e7f4b.gif;

hello_html_5418f48e.gif;

hello_html_m5a8623a0.gif;

hello_html_m4c4dddac.gif;

х = 3 ± 1;

х1 = 3 – 1; х2 = 3 + 1;

х1 = 2; х2 = 4.

Проверка.

Если х = 2, то 2х(2 – х) = 2·2(2 – 2) = 0, не является корнем уравнения.

Если х = 4, то 2х(2 – х) = 2·4(2 – 4) ≠ 0.

Ответ: 4 (с учетом проверки).

2.

Использование условия равенства дроби нулю для уравнений вида hello_html_7c80c1d4.gif.

Решение уравнений основано на следующем утверждении: дробь hello_html_218b1e5a.gif равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля (на 0 делить нельзя!).

Решение уравнения вида hello_html_7c80c1d4.gifпроводится в два этапа:

1. решить уравнение f(x)=0;

2. выяснить для каждого корня, обращается ли при найденном значении переменной х знаменатель дроби g(x) в нуль;

3. если g(x)=0, то полученный корень уравнения f(x)=0 не является корнем исходного уравнения.

hello_html_669ed09.gif;

1. Решим уравнение:

2 – 5х + 3 = 1;

D = b2 – 4ac = (-5)2 - 4·2·3 = 25 – 24 = 1 > 0, уравнение имеет 2 корня.

hello_html_4b7e7f4b.gif;

hello_html_m398a7c6f.gif;

hello_html_1d4dcc01.gif;

hello_html_m5836049.gif; hello_html_m209246bc.gif;

х1 = 1; х2 = 1,5.

2. Выполним проверку (не обращает ли каждый из найденных корней в нуль знаменатель).

Если х = 1; то 9х – 13,5 = 9·1 – 13,5 ≠ 0;

Если х = 1,5; то 9х–13,5= 9·1,5–13,5=13,5-13.5=0, не является корнем уравнения.

Ответ: 1 (с учетом проверки).

3.

Использование основного свойства пропорции для уравнений вида hello_html_m3cdd9634.gif .

Решение уравнений основано на следующем утверждении: в пропорции hello_html_m5f81e4aa.gif произведение крайних членов равно произведению ее средних членов. Т.е. ad = bc.

Решение уравнения вида hello_html_m3cdd9634.gifпроводится в два этапа:

1. решить уравнение f(x)·q(x)= g(x)·p(x);

2. выяснить для каждого корня, обращаются ли при найденном значении переменной х знаменатели дробей g(x) и q(x) в нуль;

3. если g(x)=0 или q(x)=0, то полученный корень уравнения f(x)·q(x)= g(x)·p(x) не является корнем исходного уравнения.


hello_html_2e4dc4f.gif;

1. Решим уравнение:

(х – 2)(х – 4) = (х + 2)(х + 3);

х2 – 4х – 2х + 8 = х2 + 3х + 2х + 6;

- 6х + 8 – 5х – 6 = 0;

- 11х = -2;

х = -11: (-2);

hello_html_m71f78637.gif.

2. Выполним проверку (не обращает ли найденный корень в нуль знаменатели дробей).

Если hello_html_m116b117c.gif; то х + 2 = hello_html_11ab9a62.gif + 2 ≠ 0;

Если х =hello_html_11ab9a62.gif; то х - 4 = hello_html_11ab9a62.gif - 4 ≠ 0


Ответ: hello_html_11ab9a62.gif (с учетом проверки).

4.

Использование метода введения новой переменной.

Дробные рациональные уравнения решаются с помощью введения новой переменной.

hello_html_97e01d9.gif;

Введем новую переменную, обозначив х2 + 2х – 3 через у. Тогда исходное уравнение сведется к уравнению с переменной у.

Пусть у = х2 + 2х – 3, тогда х2 + 2х – 8 = (х2 + 2х – 3) – 5 = у – 5 и уравнение примет вид

hello_html_5c114e67.gif;

hello_html_4cac15a7.gif;

hello_html_m310c7eb2.gif;

24у = (15 + 2у)(у – 5);

24у = 15у – 75 + 2у2 - 10у;

24у - 15у + 75 - 2у2 + 10у= 0;

- 2у2 + 19у + 75= 0;

2 - 19у - 75= 0;

D = b2 – 4ac = (-19)2 - 4·2·(-75) = 361 + 600 = 961 > 0, уравнение имеет 2 корня;

hello_html_m5da62dd.gif;

hello_html_m1370b38.gif;

hello_html_m41d5b781.gif;

hello_html_m5c90fab5.gif; hello_html_2e93a67e.gif;

у1 = - 3; у2 = 12,5.

Выполним проверку (не обращает ли каждый из найденных корней в нуль знаменатель).

Если у = -3; то у – 5 = -3 – 5 ≠ 0;

Если у = 12,5; то у – 5 = 12,5 – 5 ≠ 0.

Т.к. у = х2 + 2х – 3, то получим уравнения:

х2 + 2х – 3 = -3 и х2 + 2х – 3 = 12,5.

Решая уравнение х2 + 2х – 3 = 12,5; получим:

hello_html_m2efcb8aa.gif; hello_html_m2531b7ee.gif.

Решая уравнение х2 + 2х – 3 = -3; получим:

х3 = -2; х4 = 0.

Т.о. найдены четыре корня заданного уравнения.

hello_html_671f14a3.gif

hello_html_m7c8dd476.gif


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 24.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров266
Номер материала ДВ-184856
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх