1000

Памятка по теме "Алгебраические уравнения: виды и способы решения"

Предпросмотр материала:

Алгебраические уравнения: виды и способы решения

Уравнение - это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв.

Решение (корень)   уравнения - значение неизвестного, обращающее уравнение в равенство.

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Если все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения, то такие уравнения называют равносильными.

 

При решении уравнений используют следующие утверждения:

·         В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобки, в результате получим уравнение равносильное данному.

·         Слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, заменив его знак на противоположный.

·         Если к обеим частям уравнения прибавить один и тот же многочлен, одночлен или число, то получим уравнение равносильно данному.

·         Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то получим уравнение равносильно данному.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейное  уравнение с одним неизвестным   - уравнение с одним

неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид  

aх + b = 0,

где a и b произвольные числа

 

Алгоритм решения линейного уравнения

1) Упростить уравнение (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, если они есть);

2) Сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

3) Привести подобные члены в обоих частях уравнения;

4) Решить уравнение вида aх = b, которое получили после приведения подобных членов. Для этого разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (если он не равен нулю).

 

Количество решений зависит от параметров a и b.

Если a=b=0,то уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если a=0, b0, то уравнение не имеет корней.

Если a,то решение любых линейных уравнений имеет единственное решение x= -.

 

Например: 

 

а) 3(2 -3x)- 4 = 5-11x

Решение:

6-9x - 4 = 5-11x;

-9x +11x = 5-6+ 4;

2x = 3;

x =1,5.

Ответ: 1,5.

 

б) 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Решение:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.
5х – 3х ‒ 2х =  – 12  ‒ 1 + 15 ‒ 2.
0х = 0.

Ответ: любое число

 

в)  х + 8 = х + 5

Решение:

х – х = 5 ‒ 8.
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

 

Квадратное уравнение - это уравнение вида ax2 + bx + c = 0,  где

коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Алгоритм решения квадратного уравнения по общей формуле

Чтобы решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0   нужно:

1.      Определить значения a, b, c.

2.      Вычислить дискриминант по формуле D = b2 – 4ac и сравнить его с нулем.

3.      Определить число корней, учитывая что

при D < 0, корней нет;

при D = 0, один корень;

при D > 0, два корня.

4.      При наличии корней вычислить их по формулам

при D = 0  х=

при D > 0   х1=  ;    х2=

 

Например:  

x2 − 2x − 3 = 0

Решение:

 a = 1; b = −2; c = −3;

D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16 ˃ 0

D > 0 , значит  уравнение имеет два корня.

Описание: Решение простого квадратного уравнения

 

Ответ: -1; 3

 

Решение приведенного квадратного уравнения x2 +  px + q =0   по теореме  Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е.

 

Уравнение имеет  два одинаковых по знаку корня, если q> 0. Причем

- если р< 0, то оба корня  положительные;

 - если р> 0, то оба корня отрицательные.

 

Уравнение имеет два различных по знаку корня, если q< 0.

Причем больший по модулю корень будет положителен, если p< 0 , или отрицателен, если p> 0 .

Например:

4х2 - 16х + 15 = 0.

Решение:

Перейдем к приведенному квадратному уравнению, для этого разделим все уравнение на 4.

х2 – 4х + 3,75 = 0,

Т.К. q=3,75 > 0 ,  имеет два одинаковых по знаку корня

Т.К. p=-4< 0, оба корня положительные.

 х1 + х2 = 4, 

х1 · х2 = 3,75.

Тогда    х1= 1,5, х2= 2,5

Ответ:1,5; 2,5.

Решение квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

1)      Если а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1= 1,

х2 = .

2)      Если a – b + c=0, то х1 =-1, х2 = 

 

Например: 

а)    х2 - 16х + 15 = 0.

Решение:

а+ b+ с = 0 ð     1 + (-16) + 15 = 0,  то 

 х1= 1, х2 = 15.

Ответ : 1 и 15

 

б) 2х2+ 3х +1= 0.

Решение:

Так как 2 - 3+1=0, значит

х1 = -1,     х2 = =

Ответ:  -1 и

Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

 

Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

а) Если b = 0  и c≠0, тоax² + c = 0

Перенести свободный член уравнения в правую часть и разделить обе части уравнения на a

Так как c≠0, то

1.         Если , то уравнение имеет два корня  и

 

3. Если , то уравнение не имеет корней,  поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа

Например: 

3х2 – 27 = 0

Решение:

3х2 – 27 = 0

3х2 = 27

х2 = 27:3

х2 = 9

т.к. 9 ˃ 0, то 2 корня

х1 = 3

х2 = -3

 

Ответ: -3; 3

 

б) если с= 0 и b, то   ax² + bx = 0

 

1. Разложить на множители левую часть уравнения x(ax+b)=0

2. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, т.е. x=0 или ax+b=0

3. Решить  уравнение вида ax+b=0 при a≠0, т.е.

 

ax=-b

Например: 

5х2 + 10х = 0

Решение:

5х2 + 10х = 0

х·(5х + 10) = 0

х1=0     5х + 10 = 0

       5х=- 10

            х= -10 : 5

             х2= -2

 

Ответ: -2; 0

в) если с= 0 и b= , то   ax² = 0

 

1. Разделить обе части уравнения на a, получим x2=0.

Уравнение имеет единственный корень

x=0

Например: 

3х2= 0

Решение:

3х2= 0

х2= 0:3

х2= 0

х=0

Ответ: 0

Биквадратное уравнение –уравнения вида

ах4  + bx2  + c = 0, где

а ≠ 0, являющиеся квадратными относительно х2

Общий  алгоритм решения биквадратных уравнений:

1. Сделать  замену х2 = t  и записать   квадратное уравнение

at2 + bt + c=0

2. Решить квадратное уравнение относительно t.

3. Произвести обратную замену и найти корни биквадратного уравнения по формуле х1 =   и х = -   .

В зависимости от знака подкоренного выражения может иметь от о до четырех корней.

 

Например:   

x4−5x2+6=0

Решение:

Пусть   x2 = t,  где   t ≥0. Тогда

t2 − 5t + 6=0

Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
D=b2−4ac=(−5)2−4·1·6=25−24=1˃0 , два корня

t1,2=;      t1= = 3  и  t2 = = 2 

Произведем  обратную замену

x2=3

х1 =

х2 = -

 

                       x2=2

х3 =

х4 = - 

Ответ: - -  ; ;

Дробно - рациональное уравнение – уравнение, обе части которого  являются

рациональными выражениями, причем хотя бы один из них – дробным выражением.

 

Алгоритм решения дробно – рационального уравнения методом умножение крест-накрест:

1. Переписать (при необходимости) данное уравнение так, чтобы на каждой его стороне находилась одна дробь (одно рациональное выражение); только в этом случае можно воспользоваться методом умножения крест-накрест.

2. Найти все ограничения для переменной,  при которых знаменатель  не равен  нулю (если в них содержится неизвестное).

3. Умножить числитель левой дроби на знаменатель правой.

4.  Повторить это с числителем правой дроби и знаменателем левой.

5. Приравнять полученные выражения и упростить их.

6. Решите полученное уравнение, то есть найдите «неизвестное». 

7. Сравнить полученные значения с ограничениями, исключив недопустимые значения корней,  и записать ответ.

 

Например: 

.

Решение:

Найдем ограничения: х+5       х

Применяем метод умножения крест накрест.

 раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

 получили линейное уравнение с одной неизвестно, решим его:

      (-10 )

Ответ: ─10.

 

Алгоритм решения дробно – рационального уравнения методом нахождение наименьшего  общего  знаменателя (НОЗ)

1. Перенести все выражения в левую часть,  чтобы в правой остался 0.

2. Найти  наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное).

3. Умножить  и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби.

4. Найти все ограничения для переменной,  при которых знаменатель  не равен  нулю (если в нем  содержится неизвестное)

5. Приравнять числитель к нулю и решить уравнение, т.к. если знаменатель дроби не равен нулю, значит нулю равен  числитель.

6. Найти все значения неизвестного, сравнить их с ограничениями  из п. 4, исключив недопустимые значения и записать ответ. 

 

Например:   

Решение:

Приведем все дроби к наименьшему  общему  знаменателю  (НОЗ).

В данном примере общий знаменатель будет 12.

;

Ответ: 5.

 

Уравнение с модулем называются уравнения, в которых переменная

содержится под знаком модуля (под знаком абсолютной величины).

 

Алгоритм решения уравнений, содержащих модуль

1. Найти значения х, которые обращают выражение под знаком модуля в нуль.

2. Разбить множество всех чисел на несколько промежутков с помощью найденных значений.

3. Решить исходное уравнение на каждом промежутке, учитывая, что

 

4. Выбрать в ответ те значения, которые принадлежат выбранным промежуткам, или сделать проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение.

 

Например:  

| х – 6 | = 9

 

Решение:

Найдём значение х, при котором (х  – 6)  обращается в нуль. Это  значение равно 6.  Значит,  число 6 разбивает всю числовую прямую на  два промежутка: хх < 6 .
Рассмотрим исходное уравнение  на каждом промежутке.

При  х

х – 6 = 9 
х = 9 + 6
х = 15.


Число 15 принадлежит промежутку х,  значит, 15  является  корнем  данного уравнения.

 

 При х < 6 

- ( х – 6 ) = 15
 - х + 6 = 15
 - х = 15 –  6
 - х = 9
 х = - 9.
Число  – 9 принадлежит промежутку х < 6, значит,  - 9 является корнем исходного уравнения.

Ответ: х =15, х = - 9.

 

 

 

 

0%

Памятка по теме "Алгебраические уравнения: виды и способы решения"

    DOCX

21.04.2024

614

Файл будет скачан в формате:

    DOCX

Автор материала

Устинова Вера Анатольевна

Устинова Вера Анатольевна

учитель

  • На сайте: 8 лет и 11 месяцев
  • Всего просмотров: 6030
  • Подписчики: 0
  • Всего материалов: 6
  • 6030
    просмотров
  • 6
    материалов
  • 0
    подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Устинова Вера Анатольевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.

ИИ для создания материалов

Создавайте материалы с ИИ

Если готовые материалы не подошли — помогут нейросети

Конспекты, тесты, презентации, рабочие листы и другие материалы по ФГОС — под ваш урок, класс и цели занятия за пару минут.

Попробовать бесплатно

Выберите инструмент

~160

Нейросети могут ошибаться. Обязательно проверяйте ответы.

Курсы по теме

Перейти в каталог курсов

Мини-курсы по теме

Перейти в каталог мини-курсов

Найдите подходящий для Вас курс

Найдите подходящий для Вас курс

В каталоге 7 450 курсов по разным направлениям

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы: