Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Параметр в квадратном уравнении
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Параметр в квадратном уравнении

библиотека
материалов



Решение квадратных уравнений с параметрами

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение - параметрическим.

Научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы, нельзя. Надо использовать соображения, рассматривать их как задачи исследовательские.

Уравнение вида ах2 + bх + с = 0, а 0, где коэффициенты а, b, с – любые действительные числа, назы­вается квадратным.

Выражение b2 4ас называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действитель­ных корней.

Если D= 0, то квадратное уравнение имеет единственный действительный корень hello_html_m5b558a48.gif (или говорят, что это уравнение имеет два кратных корня hello_html_3b68bfac.gif).

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня hello_html_m19a5de79.gif.

Теорема Виета. Если х1, х2корни квадратного уравнения ах + + с = 0,

а 0, то сумма корней равна hello_html_56673308.gif, а их произведение равно hello_html_254fe0c1.gif.

hello_html_mb122d1.gif

Обратное утверждение: Если числа х1, х2 таковы, что

hello_html_m7f0ac139.gif, hello_html_m51264c36.gif, то эти числа – корни уравнения ах2 + bх + с = 0, а 0.

Значения параметра, при которых или при переходе через которые происходит качест­венное изменение уравнения, можно назвать контрольными или особыми. Очень важно уметь нахо­дить их.

При решении квадратного уравнения с параметрами кон­трольными будут те значения параметра, при которых коэффи­циент при х2 обращается в нуль.

Если этот коэффи­циент равен нулю, то уравнение превращается в линейное;

если же этот коэффи­циент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение (в этом и состоит качественное изменение уравнения).

Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax²+bx+c, где a≠0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола.

При a<0 ветви параболы направлены вниз; при a>0 ветви направлены вверх.

Выражение x²+px+q называется приведенным квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D=b²- 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:

при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);

при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

при D<0 точек пересечения с осью Ох нет (и корней трехчлена нет).

В последнем случае при а>0 парабола лежит целиком выше оси Ох,

при а<0- целиком ниже оси Ох

«Белое пятнышко» в теме «Квадратный трёхчлен и квадратичная функция» может привести к появлению «мёртвых зон» и провалов в наших знаниях элементарной математики. Кстати, преподаватели мехмата МГУ О. Черкасова и А. Якушева утверждают: « Во многих так называемых задачах повышенной сложности «торчат уши квадратного трехчлена».

. Расположение параболы по отношению к оси абсцисс

в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.


a > 0

a < 0

D > 0

hello_html_2e25dfd2.gif

hello_html_69f20815.gif

D = 0

hello_html_722c7cdc.gif

hello_html_m5946e8dd.gif

D < 0

hello_html_6d10f65b.gif

hello_html_m5e94b446.gif

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений:

D=b²-4ac>0; x1•x2=c/a>0. При этом оба корня будут положительны, если выполняется условие : x1+x2= -b/a>0 ,

а оба корня будут отрицательны, если x1+x2= -b/a<0.

Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения x1•x2=c/a<0.

В данном случае нет необходимости проверять знак дискриминанта, поскольку при выполнении условия c/a<0 будет выполняться и условие ca<0, а это значит, что дискриминант D=b²-4ac>0.

Расположение корней квадратного трехчлена

Рассмотрим теперь особенности расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости.

Решение задач, для которых характерны следующие формулировки : при каких значениях параметра корни ( только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами p и q и т.д.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.

При решении многих задач требуется знание следующих теорем и следствий.

Пусть f(х) = ах2 + bx + с имеет действительные корни х1, х2 (которые могут быть кратными), а М, N – какие-нибудь действи­тельные числа, причем М < N. Тогда:

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М (то есть лежали на числовой оси ле­вее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение сле­дующих условий:

hello_html_7c233504.gifили hello_html_m10b68ec2.gif


hello_html_22510a98.gifhello_html_814574d.gif

Теорема 2. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, а другой больше, чем М (то есть точка М лежала бы между корнями), необходимо и дос­таточно выполнение следующих условий:

hello_html_69733bc2.gifили hello_html_4df2677f.gif

Эти две системы можно заменить формулой hello_html_3124ba72.gif.

hello_html_33b815ad.gifhello_html_72538db.gif

Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М (то есть лежали на числовой оси правее, чем точка М), необходимо и дос­таточно выполнение следующих условий:

hello_html_4c87b77c.gifили hello_html_m20120cba.gif

hello_html_m2b6c71d2.gifhello_html_414aaee1.gif

Следствие 1. Для того , чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М, но меньше, чем число N (то есть лежали в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

hello_html_21244438.gifили hello_html_m5cb694cb.gif

hello_html_m161616f.gifhello_html_m39c371d6.gif

Следствие 2. Для того чтобы больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

hello_html_m61f1c20a.gifили hello_html_m6d5e9109.gif

hello_html_7cab43a.gifhello_html_m601aca04.gif

Следствие 3. Для того чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

hello_html_285f80d5.gifили hello_html_m19f540ed.gif

hello_html_m564bef5.gifhello_html_6dfb8516.gif

Следствие 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, но меньше, а другой больше, чем число N (то есть отрезок МN лежал внутри интервала между корнями), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

hello_html_m46e0e973.gifили hello_html_4a122919.gif

hello_html_612f7ac2.gifhello_html_mfe9d9bd.gif

Акцентировать внимание надо на то, что здесь контрольными являются: направление ветвей параболы, знаки значений f(M), f(N), расположение вершины параболы..

Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х2+2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

Решение. Так как по условию корни различны, то D>0. Воспользуемся теоремой 1(о знаках корней квадратного трехчлена). Составим систему :


hello_html_5b902363.gifhello_html_3fd56eb4.gifD= (a+1)2- 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0,

x1∙x2=9>0, <=> a< -1.

-2∙(a+1)>0.

Решив последнюю систему, получим , что -∞<a< -4 . Ответ:- ∞<a< -4 .

Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение х2-4х + (4-а2)=0

имеет два корня разных знаков?

Решение. Воспользуемся теоремой 2 ( о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:

4-а2 <0 а2 > 4 │а│> 2 => а< -2 и а> 2. Ответ: а<-2 и а>2 .

Задача 3. При каких значениях параметра а уравнение х2 – 2ах + а2 – а- 6 =0 имеет два разных отрицательных корня?

Решение. Воспользуемся теоремой 1 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_m3c11f679.gifD>0 , а+6>0,

x0<0 , a<0,

f(0)>0 ; a2-a-6>0.

Решив последнюю систему, получим -6<a<-2 . Ответ : -6<a<-2.

Задача 4. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х2 + (4а+5)∙х + 3-2а =0.

Решение. Пусть х1 и х2 корни квадратного трехчлена, причем х1<2<х2. Воспользуемся теоремой 2 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

hello_html_1752c256.gifD= 16a2 +48a +13 >0,

F(2)= 22 + (4a+5)∙2 +3- 2a<0. Решив систему, получим

17+6а<0 или а < -17/6 . Ответ: а< -17/ 6.

Задача 5. При каких значениях параметра а корни уравнения

2 – 2х + а =0 находятся между числами -1 и 1?

Решение. Так как корни находятся между числами -1 и 1,

То -1<х1<1 и -1<х2<1. Воспользуемся

Следствием 1 и составим систему :


hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_2ac7fd01.gif-1< х0= 2/4< 1, 6 + а >0 ,

4∙(4+2+а)>0, => 2 + а >0 ,

4∙(4 -2+а)>0, 4 – 16а>0;

D=(-2)2 - 4∙4а >0;

Решив систему, получим -2< а < ¼. Ответ: -2< а < ¼.

Теорема Виета и задачи с параметрами.

Задача 6 . При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения hello_html_m40eead90.gif равна hello_html_cd1937e.gif?

Решение. Найдем дискриминант hello_html_m1e1e0cee.gif. Уравнение имеет два корня при любом a. Используя теорему Виета, найдем

hello_html_m4db2a710.gif+ hello_html_78139e11.gif=(hello_html_m54ed3337.gif+hello_html_17c353da.gif)²-2hello_html_m12cb8f8c.gif=(3a)²-2a²

Поскольку hello_html_m6e4214d7.gif, то hello_html_39454f30.gif, a=0,5; -0,5. Ответ: a=0,5; -0,5.

Задача7 . При каком значении m сумма квадратов корней уравнения

х2 + (2 - m)x - m – 3 = 0 минимальна?

Решение: Найдём х12 + х22 = (х1 + х2)2 - 2х1х2 = (m - 2)2 - 2(-m - 3) = m2 – 4m + 4 + 2m + 6 = m2 - 2m +10 = m2 - 2m + 1 + 9. Наименьшее значение трёхчлена m2 - 2m +10 достигается при m =1. Ответ: 1

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2c5dcc62.gifЗадача 8. Найти все значения параметра а, при которых модуль разности корней уравнения x2 -6x+12+a2 -4a =0принимает наибольшее значение.

Решение: Пусть

hello_html_708a154.png hello_html_m54ed3337.gif ,hello_html_17c353da.gif-корни уравнения, тогда |hello_html_m54ed3337.gif-hello_html_17c353da.gif|


-расстояние между корнями, и оно, по условию, должно быть наибольшим.

Уравнение запишем в виде: hello_html_4c3ff0a7.gif-6x+12=-a²+4a

и решим его графически.

у=x²-6x+12

,

D=36-48=-12<0

hello_html_8305a3b.gif=3, yв =3

hello_html_m1a4989e8.gif-прямая, параллельная оси ОХ.

Чем выше она пройдет, тем больше расстояние между корнями ,т.е. надо узнать, при каком значении а функция у=y(a)=a²+4a

принимает наибольшее значение .

Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.

Функция достигает наибольшего значения при hello_html_m3125c7c9.gif=2.

hello_html_mcb25d18.png.


.

Ответ: 2.










Графический способ определения числа корней уравнения с параметром.

Рациональность любого верного решения опирается на условия задачи и напрямую зависит от них. Иногда графический метод помогает быстрее и удобнее решить задачу.

Остановимся на нахождении числа решений уравнений с параметрами, в которых под знаком модуля находится квадратный трёхчлен.

Задача 9. Найдите число решений уравнения

hello_html_92b8abf.gif.

Решение: Построим график функции hello_html_m4bb87ebd.gif - 2x – 3 | .

Выделим полный квадрат: hello_html_m2809d068.gif

(1; -4) -координаты вершины параболы

Уравнение hello_html_m70327718.gif = a имеет столько решений, сколько

раз прямая у = а пересекает график функции hello_html_m6f297731.gif

если hello_html_5f8a28bf.gif, то графики не имеют общих точек, т.е. нет решения;

если hello_html_m4684db7e.gif, то графики имеют две общие точки , т.е. два решения;

если hello_html_m2db5861e.gif, то графики имеют четыре общие точки - четыре решения;

если hello_html_633a8e5.gif, то графики имеют три общие точки , т.е. три решения;

если hello_html_4fc9bd8b.gif, то графики имеют две общие точки , т.е. два решения.

hello_html_70ba4e6b.gifhello_html_m18721493.gifhello_html_m6a034745.gifу

hello_html_2ebc2451.gify = a (hello_html_4fa2a518.gif

hello_html_2ebc2451.gifhello_html_26c1c26d.gif4 y = a ( hello_html_m18f4a80e.gif




hello_html_m501e34a5.gify = a ( hello_html_m4a2da573.gif

hello_html_4e2e6e38.gifх

hello_html_mdf3911.gify = a ( hello_html_15875322.gif

y = a ( hello_html_m43b206d3.gif

Задача 10. Для каждого значения параметра а определите число решений

уравнения hello_html_36295762.gif.

Решение: Здесь в отличие от предыдущего уравнения параметр а входит в выражение, как стоящее под знаком модуля, так и находящееся вне его. Преобразуем левую часть данного уравнения:

hello_html_m463abf0f.gif.

Строим схематически график левой части данного уравнения с учётом того, что дискриминант квадратного трёхчлена hello_html_m5c6070c7.gif всегда положителен: hello_html_m58dde82a.gif.

Проводим горизонтальные прямые – графики функции у = а + 3

При различных значениях параметра а.

Если hello_html_m76244652.gif, т.е. hello_html_64a83ec9.gif, то графики hello_html_31d2710.gif и

hello_html_199fc31f.gifне пересекаются, и значит, нет решений.

Если а + 3 = 0, т.е. а = -3, то графики пересекаются в двух точках

-уравнение имеет два решения.

Если hello_html_4c9b92bd.gif, то графики имеют четыре общие точки ,

а уравнение – четыре решения.

Найдём, при каких значениях а уравнение будет иметь четыре решения. Для этого решим двойное неравенство

hello_html_4c9b92bd.gif, или

hello_html_7fe2fbc9.gifhello_html_7fe2fbc9.gifhello_html_7708f1d2.gif

hello_html_7511b744.gifhello_html_m3b45c0cf.gifhello_html_m39133b6e.gif

hello_html_62ee8352.gifhello_html_3ce5bfaa.gifhello_html_670df2e5.gif


Значит, при hello_html_m62348d8e.gif и hello_html_m107bea89.gif уравнение имеет четыре решения. Если hello_html_75b5b6ec.gif = -1 и а = 2, то графики имеют три

Общие точки . Значит, уравнение имеет три решения.

Если же hello_html_m19c86c05.gif то графики пересекаются в двух точках , т.е. уравнение имеет два решения.

hello_html_70ba4e6b.gif

у

hello_html_me098bb5.gifhello_html_m18721493.gifhello_html_m6a034745.gify = a+3 hello_html_m63ed11ae.gif


hello_html_m5dfc7bb2.gifhello_html_21c63700.gifhello_html_6d76fe0.gifhello_html_m61414503.gify = a+3 (hello_html_24daa32f.gif

y = a + 3 (hello_html_13898c.gif

hello_html_m9fb1b78.gif

hello_html_4e2e6e38.gifhello_html_55330147.gifх



Графический метод не дает в большинстве случаев точного решения уравнения, однако, часто оказывается более эффективным, чем аналитический, т.к. он может быть полезен для наглядной иллюстрации

рассуждений. Но не стоит забывать о его «подводных рифах», так как иногда не все решения можно увидеть . В силу ограниченности наших графических возможностей абсолютно точный график в принципе построить нельзя, поэтому слепо доверять рисунку может быть просто опасно. Более того, часто случается, что при решении задач подобным способом не обойтись без аналитических формул и вычислений.




























Список литературы


1. Амелькин В.В.

Задачи с параметрами – М.: Асар, 1996.

2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.

Задачи с параметрами. – М.: Илекса, 2005.

3. Дорофеев Г.В.

Решение задач, содержащих параметр

4 .Локоть В.В.

«Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства и системы» Учебное пособие М. АРКТИ, 2005(Абитуриент);

5. Цыганов Ш.

Десять правил расположения корней квад­ратного трехчлена

Математика. – 2002. №18.-с. 19-23.

6. Цыганов Ш.

Квадратные трехчлены и параметры

Математика. – 1999. №5. -с. 4-9.

7. С.В. Кравцев, Ю.Н. Макаров

Методы решения задач по алгебре от простых до самых сложных.



Краткое описание документа:

         В данной работе рассмотрены теоремы о расположении корней   и о знаках корней квадратного трехчлена.  Показаны приемы решения уравнений  на основе свойств  квадратного трехчлена и графических изображений  и   графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра.

   Рациональность любого верного решения опирается на условия задачи и напрямую зависит от них. Иногда графический метод помогает  быстрее  и удобнее решить задачу.

Рассмотрены способы  нахождения числа решений  уравнений с параметрами, в которых под знаком модуля находится квадратный трёхчлен.

Автор
Дата добавления 15.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров2396
Номер материала 305376
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх