Перенос веществ в среде, содержащей большую цилиндрическую макропору с учетом адсорбционных явлений

Перенос веществ в среде, содержащей большую цилиндрическую

макропору с учетом адсорбционных явлений

         Изучение переноса загрязняющих веществ в подземных водоносных горизонтах имеет значение для оценки экологической безопасности водозаборов. В подземной гидросфере компоненты загрязняющей вещества переносится подземными водами или высоко проницаемыми каналами пористых сред и могут попасть в систему питьевого и технического водоснабжения.

         В виду сложности и не линейности процессов определяющих переноса веществ целесообразно использовать математическое моделирование.

         В данной работе мы рассмотрели задачи перенос вещества с учетом адсорбционной явлений в горизонтально установленной неоднородной цилиндрической пористой среде и проанализировали переноса вещества в двух случаев: на основе диффузионной уравнение массопереноса; на основе кинетической уравнение массопереноса; и показали такое значения коэффициента массопереноса  которые дают близкое значения в обе подходе.

         Рассматривается цилиндрическая пористая  среда с цилиндрической  макропорой в центре (Рис.1) [1]. Макропора имеет радиус  с большими порами и характеризована относительно высокой средней скоростью воды, она окружена цилиндрической мантией почвы радиусом , имеет низкую или нулевую скорость потока.

Рис.1 Цилиндрическая среда с цилиндрической макропорой

Здесь рассматривается задача с учетом адсорбции. Для этого случая задача по [1]   имеет вид

,                   (1)

            ,                                                                      (2)

, .                                                 (3) 

где   - средние концентрации  макропоры, - средние концентрации  окружающей среде,  - коэффициент диффузии, - средняя скоростью распространение вещества в макропоре, - время,  - расстояния, - коэффициент пористости макропоры и - окружающей среды, ,- объемная плотность макропоры и окружающей среды, , - адсорбированная вещества в макропоре и  окружающей среде.  

         Для изотерм Генри

, , ,                                                                   (4)                                                                          где  ,   - адсорбционный коэффициент вещества в макропоре и окружающей среде  из (12), (13)  получаем

,                                                (5)

,                                                                             (6) 

где ,  - коэффициенты отдачи при упругой деформации,  ,  - коэффициенты пропорциональности.   

  , , ,

, , , .

 - доля адсорбционной поверхности, находящейся в прямом контакте с подвижной частью жидкости (среды).

         Для решения (5), (6) используем  следующих условий:

,                                                                             (7)         

,                                                                               (8)

,                                                                                          (9)  

,                                                                                 (10)

,                                                                                (11)     

,                                                                       (12)

Уравнение (5), (6) решается численно с методом конечных разностей [3] в сочетании с методом прогонки.

Введем сетку в области  в виде .     Соответствующая разностная схема для уравнения (4) имеет вид

,                  (13)

где   ,   ,   ,  .                

Начальное и граничные условия (9), (5) и (6) после аппроксимации имеют следующий вид:

, ,                                                                              (14)

 , ,                                                                                     (15)

,                                                                                     (16)

После простых преобразований  (13) примут к систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

,  ,                                       (17)

где, , , .

Система уравнений (17) решается с методом прогонки.

Аппроксимируем уравнение (5)  на сетке  

, (18)  где  , .                                                                                                 

         Начальные и граничные условия (7),(10) и (11) после аппроксимации принимают следующий вид:

,                                                                                                       (19)

 , ,                                                                                                    (20)

,                                                                                                (21)

Уравнение (18) приводится СЛАУ

,  ,                                                      (22)

где   , , ,    

         

 и решается методом прогонки с условиями  (19) - (21). Таким образом, определяем распространение .

В расчете использованы следующие значение исходных параметров: м²/с, м/с, м²/с, , , кг/м³, мм³/г,  , м,  м.

а)

б)

Рис.2. Поля концентрации  в различные моменты времени а(t=900c), б(t=2700c.

            На рис.2  отражены поверхности концентрации  при двух временах  (Рис.2a),  (Рис.2б). С увеличением времени можно заметить продвижение поверхностей концентрации по направлениям , .  

	106 ∙cim(t, x), м3/м3		cm(t, x)/c0

 

x, м

x, м

    

Рис.3. Профили концентрации  и  в различные моменты времени

sm(t, x), м3/м3

x, м

x, м

106 ∙sim(t, x), м3/м3

   

Рис.4. Профили адсорбции  и  в различные моменты времени

         Теперь проанализируем задачу на основе кинетическое уравнение масса переноса из макропоры в цилиндрическую окружающую среду.

.                                                                          (23)

В случае линейной изотермы Генри   из (23)  получаем

.                                                                                    (24)

         Уравнение (24) решается совместно с (6) при необходимых начальных и граничных условиях  из (7) − (12).

         На основе полученных численных результатов определены такие значения массопереноса,  для которых оба подхода дают близкие результаты.

Таблица 1. Результаты  в различные моменты времени по двум подходам.

	900 c		1800c		2700c
	На основе диффузии	На основе кинетике	На основе диффузии	На основе кинетике	На основе диффузии	На основе кинетике
0	0,773838922	0,774364086	1,547308005	1,545764557	2,320836909	2,314246748
0,1	0,138110283	0,138223541	0,456939449	0,456875617	0,876949908	0,875607518
0,2	0,018263489	0,018275629	0,107077959	0,1071099	0,275551308	0,27535607
0,3	0,001900262	0,001900954	0,020521843	0,020532059	0,073046881	0,073032755
0,4	0,000162304	0,000162301	0,003304063	0,003305896	0,016606623	0,016608701
0,5	1,17325∙10-5	1,17273∙10-5	0,000456841	0,000457079	0,003288036	0,003289069
0,6	7,343∙10-7	7,3367∙10-7	0,000055223	5,52468∙10-5	0,000574758	0,000574997
0,7	4,05∙10-8	4,044∙10-8	5,9213∙10-6	5,9231∙10-6	8,97497∙10-5	8,97905∙10-5
0,8	2∙10-9	1,99∙10-9	0,00000057	5,7004∙10-7	1,26461∙10-5	1,26518∙10-5
0,9	10-10	9∙10-11	4,97∙10-8	4,974∙10-8	1,6218∙10-6	1,62249∙10-6
1	0	0	4∙10-9	3,97∙10-9	1,907∙10-7	1,9079∙10-7
1,1	0	0	3∙10-10	2,9∙10-10	2,07∙10-8	2,07∙10-8
1,2	0	0	0	2∙10-11	2,1∙10-9	2,09∙10-9
1,3	0	0	0	0	2∙10-10	2∙10-10
1,4	0	0	0	0	0	2∙10-11
1,5	0	0	0	0	0	0

Таблица 2. Результаты  в различные моменты времени по двум подходам.

	900 c		1800c		2700c
	На основе диффузии	На основе кинетике	На основе диффузии	На основе кинетике	На основе диффузии	На основе кинетике
0	1	1	1	1	1	1
0,1	0,319927798	0,319803652	0,488716153	0,488645713	0,589717519	0,589673047
0,2	0,06298243	0,06292786	0,167622183	0,167564112	0,26573271	0,265682382
0,3	0,008810372	0,008798231	0,043226387	0,04320142	0,094380591	0,094349733
0,4	0,000950433	0,000948622	0,00884129	0,008834003	0,027312997	0,02729992
0,5	0,00008324	8,30369∙10-5	0,001491241	0,001489631	0,006625124	0,006620886
0,6	6,1291∙10-6	6,11081∙10-6	0,000213465	0,000213178	0,00137811	0,001376999
0,7	3,891∙10-7	3,877∙10-7	2,65033∙10-5	2,64608∙10-5	0,000250379	0,000250135
0,8	2,17∙10-8	2,161∙10-8	2,9028∙10-6	2,89737∙10-6	4,03243∙10-5	4,02779∙10-5
0,9	1,1∙10-9	1,07∙10-9	2,843∙10-7	2,8366∙10-7	0,000005827	5,8193∙10-6
1	0	5∙10-11	2,52∙10-8	2,51∙10-8	7,631∙10-7	7,6198∙10-7
1,1	0	0	2∙10-9	2,03∙10-9	9,13∙10-8	9,119∙10-8
1,2	0	0	2∙10-10	1,5∙10-10	1,01∙10-8	1,005∙10-8
1,3	0	0	0	10-11	10-10	1,02∙10-9
1,4	0	0	0	0	10-11	10-10
1,5	0	0	0	0	0	10-11

         Из таблицы 1 и 2 видно, что при 1,246∙10^-7 оба подхода дают очень близкое результаты. Можно заметить, что распространение вещества в цилиндрической окружающей среде и в макропоре при обоих подходах почти одинаково. При возрастанию значения времени   и 1,246∙10^-7 сохранается синхронность распростронения вещества.   

         Теперь эту задачу решаем для адсорбции по изотерме Фрейндлиха

       (n=0.8)                                                                                   (25)

В этом случае в уравнениях (5),(6),(24) изменяются только ретардационные   коэффициенты   

,                                                                                 (26)

,                                                                          (27)

.                                                                                  (28)

Результаты решение задачи данной постановке представлены на рис.5 и рис.6. Сравнивая рис.3 и рис.4 с рис.5 и рис.6 можно заметит что, в макропоре цилиндра в втором случае концентрации вещества  распространяются два раза больше чем в первом случае, этот же случае в окружающей среде макропоры концентрация вещества  распространяется почти три раза больше.

 

x, м

x, м

    

Рис.5. Профили концентрации  и  в различные моменты времени

 

   

Рис.6. Профили адсорбции  и  в различные моменты времени

На рис. 4 и 6 представлены результаты адсорбированного вещества в макропоре  и в окружающей среде  при различных временах. С увеличением времени, также как , можно наблюдать продвижение поля адсорбированного вещества по направлениям  . Но результаты в две случаев строго отличается друг от друга. В  случае линейной изотермы Генри  результаты адсорбированного вещества на много меньше, чем по изотермы Фрейндлиха.  

Таблица 3. Результаты  в различные моменты времени по двум подходам.

	900 c		1800c		2700c
	На основе диффузии	На основе кинетике	На основе диффузии	На основе кинетике	На основе диффузии	На основе кинетике
0	0,078843	0,078829	0,161023	0,160989	0,252862	0,252849
0,1	0,027707	0,027709	0,085958	0,085935	0,159832	0,1598
0,2	0,011859	0,011863	0,051154	0,051142	0,109035	0,109008
0,3	0,004512	0,004515	0,028595	0,02859	0,071395	0,071376
0,4	0,001522	0,001523	0,014953	0,014952	0,044733	0,044721
0,5	0,000456	0,000457	0,007303	0,007304	0,026773	0,026766
0,6	0,000122	0,000122	0,003329	0,00333	0,015285	0,015283
0,7	2,94∙10-5	2,95∙10-5	0,001416	0,001417	0,008317	0,008316
0,8	6,38∙10-6	6,4∙10-6	0,000563	0,000563	0,00431	0,004309
0,9	1,26∙10-6	1,26∙10-6	0,000209	0,000209	0,002126	0,002126
1	2,26∙10-7	2,27∙10-7	7,26∙10-5	7,26∙10-5	0,000999	0,000999
1,1	3,74∙10-8	3,75∙10-8	2,36∙10-5	2,37∙10-5	0,000447	0,000447
1,2	5,68∙10-9	5,7∙10-9	7,22∙10-6	7,23∙10-6	0,00019	0,00019
1,3	8∙10-10	8∙10-10	2,08∙10-6	2,08∙10-6	7,72∙10-5	7,72∙10-5
1,4	10-10	10-10	5,62∙10-7	5,63∙10-7	2,99∙10-5	2,99∙10-5
1,5	10-11	0	1,44∙10-7	1,44∙10-7	1,1∙10-5	1,1∙10-5
1,6	0	0	3,47∙10-8	3,48∙10-8	3,89∙10-6	3,89∙10-6
1,7	0	0	7,95∙10-9	8∙10-9	1,31∙10-6	1,31∙10-6
1,8	0	0	1,73∙10-9	1,7∙10-9	4,23∙10-7	4,23∙10-7
1,9	0	0	3,6∙10-10	4∙10-10	1,3∙10-7	1,31∙10-7
2,0	0	0	7∙10-11	10-10	3,86∙10-8	3,86∙10-8
2,1	0	0	10-11	0	1,1∙10-8	1,1∙10-8
2,2	0	0	0	0	2,98∙10-9	3∙10-9
2,3	0	0	0	0	7,8∙10-10	8∙10-10
2,4	0	0	0	0	2∙10-10	2∙10-10
2,5	0	0	0	0	5∙10-11	0
2,6	0	0	0	0	10-11	0

Таблица 4. Результаты  в различные моменты времени по двум

подходам.

	900 c		1800c		2700c
	На основе диффузии	На основе кинетике	На основе диффузии	На основе кинетике	На основе диффузии	На основе кинетике
0	1	1	1	1	1	1
0,1	0,76797	0,768067	0,869832	0,869865	0,912651	0,912668
0,2	0,521139	0,521308	0,714245	0,714313	0,803985	0,804022
0,3	0,311201	0,311384	0,550829	0,550923	0,681109	0,681164
0,4	0,163882	0,164031	0,397674	0,39778	0,553283	0,553352
0,5	0,076535	0,076632	0,268321	0,268423	0,430037	0,430114
0,6	0,031925	0,031978	0,16913	0,169216	0,31934	0,319417
0,7	0,011984	0,012009	0,099645	0,099711	0,226362	0,226433
0,8	0,004078	0,004089	0,05494	0,054985	0,153101	0,153161
0,9	0,001267	0,001271	0,028395	0,028423	0,098802	0,09885
1	0,000361	0,000363	0,013783	0,013799	0,060855	0,06089
1,1	9,52∙10-5	9,56∙10-5	0,006297	0,006306	0,035792	0,035817
1,2	2,33∙10-5	2,34∙10-5	0,002713	0,002718	0,020117	0,020132
1,3	5,32∙10-6	5,34∙10-6	0,001105	0,001107	0,010813	0,010823
1,4	1,14∙10-6	1,14∙10-6	0,000426	0,000427	0,005564	0,005569
1,5	2,28∙10-7	2,3∙10-7	0,000156	0,000157	0,002743	0,002746
1,6	4,33∙10-8	4,35∙10-8	5,44∙10-5	5,45∙10-5	0,001297	0,001299
1,7	7,76∙10-9	7,8∙10-9	1,81∙10-5	1,81∙10-5	0,000589	0,00059
1,8	1,32∙10-9	1,3∙10-9	5,72∙10-6	5,74∙10-6	0,000257	0,000257
1,9	2,1∙10-10	2∙10-10	1,73∙10-6	1,74∙10-6	0,000108	0,000108
2,0	3∙10-11	0	5,04∙10-7	5,05∙10-7	4,37∙10-5	4,37∙10-5
2,1	0	0	1,4∙10-7	1,41∙10-7	1,7∙10-5	1,71∙10-5
2,2	0	0	3,75∙10-8	3,77∙10-8	6,41∙10-6	6,42∙10-6
2,3	0	0	9,66∙10-9	9,7∙10-9	2,33∙10-6	2,33∙10-6
2,4	0	0	2,39∙10-9	2,4∙10-9	8,18∙10-7	8,2∙10-7
2,5	0	0	5,7∙10-10	6∙10-10	2,78∙10-7	2,79∙10-7
2,6	0	0	1,3∙10-10	10-10	9,17∙10-8	9,19∙10-8
2,7	0	0	3∙10-11	0	2,93∙10-8	2,94∙10-8
2,8	0	0	10-11	0	9,07∙10-9	9,1∙10-9
2,9	0	0	0	0	2,73∙10-9	2,7∙10-9
3,0	0	0	0	0	8∙10-10	8∙10-10
3,1	0	0	0	0	2,3∙10-10	2∙10-10
3,2	0	0	0	0	6∙10-11	10-10
3,3	0	0	0	0	2∙10-11	0

Из таблицы 3 и 4 видно, что при 1,249∙10^-7 результаты в ячейке отличается на очень малых цифрах а в графике они совпадает один к одному.

         Обобщая полученное результаты можно заключить, что наличие зон с ухудшенными фильтрационное–емкостями существенно меняет как фильтрационные характеристики среды, так и параметры переноса вещества.  

Литература

1.       Van Genuchten M.Th., Tang D.H. and Guennelon R., Some Exact Solutions for Solute Transport Through Soils Containing Large Cylindrical Macropores // Water Recourses  Research. 1984. Vol. 20, № 3. Pp. 335-346.

2.       Van Genuchten M.Th. and Wierenga P.J., Mass Transfer Studies in Sorbing Porous Media  I. Analytical Solution// Soil Science Society of America Journal, 1976, Vol 40, №4, 473-480.

3.       Калиткин Н.Н Численные методы. М.: Наука, 1978. 512с.