Перепендикулярность прямой и плоскости НЗ

I.Мотивационно-ориентировочный этап.

Актуализация.

Учитель: Вспомним, как могут взаимно располагаться две прямые на плоскости и какой дополнительный случай взаимного расположения двух прямых появился в пространстве.

                                                          На плоскости и в пространстве

                                                       Только в пространстве

Ученик: На плоскости и в пространстве  две прямые могут быть параллельными и пересекающимися, в пространстве ещё и скрещивающимися.

Учитель: Какой особый случай рассматривался на прошлом уроке, двух пересекающихся прямых и двух скрещивающихся прямых?

Ученик: Перпендикулярность двух скрещивающихся прямых.

Учитель: Выберете из пересекающихся прямых, те которые перпендикулярные.

Ученик: Первый рисунок.

Учитель: Почему?

Ученик: т.к угол между прямыми 90.

Учитель: Сформулируйте определение перпендикулярных прямых.

Ученик: Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰.

Учитель: Прямые в пространстве бывают параллельными, пересекающимися и бывают скрещивающимися. Посмотрите на рисунок, какие прямые пересекающиеся, а какие скрещивающиеся?

Ученик: на рисунке перпендикулярные прямые  и  – пересекаются, а перпендикулярные прямые и  – скрещивающиеся.

Учитель:  На прошлом уроке мы изучили лемму, давайте повторим ее формулировку.

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: Ребята, вспомним, что эту лемму мы с вами открыли, рассматривая две теоремы, которые ранее выполнялись на плоскости, какие это теоремы?

Ученик: 1:.

               2: .

Учитель:1ое свойство, осталось верным в пространстве, мы и назвали это свойство леммой, а второе свойство оказалось неверным в пространстве, мы его отбросили.

Мотивация.

Учитель: Ребята, мы рассмотрели перпендикулярность двух прямых, как частный случай, взаимного расположения двух прямых в пространстве, далее мы с вами рассмотрим, прямую и плоскость, повторим, как могут располагаться прямая и плоскость. Рассмотрим случай взаимного расположения прямой и плоскости, как могут располагаться прямая и плоскость в пространстве?

Ученик: прямая лежит в плоскости, прямая пересекает плоскость, прямая параллельна плоскости.

Учитель: Хорошо. Существует частный случай, случай перпендикулярности прямой и плоскости. Цель сегодняшнего урока, рассмотреть это новое понятие, доказать существование, вывести признак и свойства, которые связаны с этим понятием.

Учебная задача.

Изучить понятие перпендикулярности прямой и плоскости, т.е. дать ему определение, доказать существование, вывести свойства и признак.

II.Содержательный этап.

Тема урока.

Откройте свои тетради, запишите число и тему сегодняшнего урока:

«Перпендикулярность прямой и плоскости».

Учитель: Рассмотрим каркасную модель куба. Какая прямая может быть перпендикулярна плоскости? Возьмем прямую(ребро), будем мерить углы.

Ученик: возьмем одну прямую, угол 90. Другую прямую, тоже 90.

Учитель: а если прямая лежит в основании, как измерить угол?

Ученик: нужно перенести прямую, параллельно, и угол тоже будет прямой.

Учитель: да, как бы не мерить угольником, углы будут 90. На основе этого, какое мы можем дать определение? В каком случае прямая будет перпендикулярна к плоскости?

Ученик: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.(запишем определение в таблицу: )

Учитель: посмотрите на рисунок, как взаимно расположены прямые  и  и ?

Ученик: т.к. прямая перпендикулярна к плоскости,  то тогда  перпендикулярна прямой т.е. к любой прямой лежащей в этой плоскости.

Учитель: хорошо. Ребята, если прямая перпендикулярна  к плоскости, она всегда ее пересекает. Но предположим, что она не пересекает, тогда что получается? Она либо параллельна этой плоскости, либо в ней лежит. Тогда будет любая прямая к ней перпендикулярна?

Ученик: нет.

Учитель:посмотрите, на рисунке изображена прямая  перпендикулярная к плоскости . Окружающая нас обстановка дает нам много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Например, не покосившийся телеграфный столб стоит прямо, т.е. перпендикулярно к плоскости земли. Колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен  по отношению к плоскости пола. Ребята, я вам говорила, что на плоскости, выполнялось два свойства связывающие параллельность прямых и перпендикулярность. Мы говорили, что одно из них выполняется в пространстве, а другое нет. Так вот чтобы оба они выполнялись, мы с вами прямую  заменим на плоскость . Сформулируйте первую и вторую теорему.

Ученик: 1:.

               2: .

Учитель: эти две теоремы в пространстве выполняются.(запишем в таблице)

Учитель: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Дано:

Док-ть:

Доказательство:

Учитель: что нам нужно доказать?

Ученик:

Учитель: что у нас есть для доказательства этого факта?

Ученик: что прямая  перпендикулярна к плоскости

Учитель: да, и по определению мы должны доказать, что любая прямая будет перпендикулярна к прямой . Вот поэтому, мы берем в плоскости  произвольную прямую x. Так как a ⏊ α, то что следует по определению перпендикулярности прямой к плоскости?

Ученик: прямая  перпендикулярна любой прямой лежащей в плоскости а ⏊ .

Учитель: т.к. , а , то по лемме

Ученик: a_l ⏊ .

Учитель: Таким образом, прямая , перпенди­кулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. a_l ⏊ α. Теорема доказана.

Записи в таблице:

Док-во:

1) 

2) 

3) 

Учитель: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Дано:

Док-ть:

Доказательство :

Учитель: что нам нужно доказать?

Ученик:

Учитель: что у нас есть для доказательства этого факта?

Ученик: прямые перпендикулярны к плоскости

Учитель: да, возьмем точку М прямой b  и про­ведем прямую b₁, параллельную прямой а. По предыду­щей теореме, что можно сказать о прямых b₁ и α ?

Ученик: они перпендикулярны.

Учитель: Докажем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будет что доказано?

 Ученик:  а || b.

Учитель: Допу­стим, что прямые b₁ и b, не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b₁ и b через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β (рис б). Но это невозможно, следовательно, а || b. Теорема доказана.

Записи в таблице:

Док-во:

1)

2) докажем, что , если

Допустим . Тогда

3)

Учитель: Вспомним, как устанавливается телеграфный столб? Смотрим,  на столб в двух направлениях, почему так делают? Потому что столб будет перпендикулярен, двум пересекающимся прямым.

Учитель: Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: a ⏊ , a ⏊

Док-ть: a ⏊

Доказательство:

Учитель: Рассмотрим прямую а, которая перпенди­кулярна к прямым р и q, лежащим в плоскости α и пе­ресекающимся в точке О (рис а). Докажем, что a ⏊ α . Для этого нужно доказать, что прямая а перпен­дикулярна к произвольной прямой т плоскости α.

1сл.Рассмотрим сначала случай, когда пря­мая а проходит через точку О (рис б). Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой т (если прямая т проходит через точку О, то в качестве l возь­мем саму прямую т).если прямая совпадет, доказывать будет нечего, прямые становятся перпендикулярными, по условию задачи. Поэтому мы рассмотрим общий случай, когда l  не совпадает ни с p ни с q. Отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые р, q и l соответственно в точках Р, Q и L. Будем считать для определенности, что точка Q лежит между точками Р и L (рис б).    Так как прямые р и q — серединные пер­пендикуляры к отрезку АВ, то что можно сказать про прямы  АР ,ВР и AQ , BQ ?

Ученик: АР = ВР и AQ = BQ.

Учитель: Следовательно, ∆ APQ = ∆ BPQ по трем сторонам. Что можно сказать про углы: ∠ APQ и ∠ BPQ.

Ученик:∠ APQ = ∠ BPQ.

Учитель: Сравним треугольники APL и BPL. Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР = BP, PL — об­щая сторона, ∠ APL = ∠ BPL), поэтому AL = BL. Но это означает, что треугольник ABL равнобедренный и его меди­ана LO является высотой, т. е. l ⏊ а. Так как l || т и l ⏊ а, то т ⏊ а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Итак, прямая а перпендикулярна к лю­бой прямой т плоскости α, т. е. a ⏊ α.

2сл.Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую a₁, параллельную прямой а. По упомянутой лемме a₁ ⏊ р и a₁ ⏊ q, поэтому по доказанному в первом случае a₁ ⏊ а. Отсюда (по теореме перпендикулярности двух параллельных прямых) следу­ет, что a ⏊ α. Теорема доказана.

Записи в таблице:

Док-во:

1сл. 1)

2)

3)

4)

5)т.к.

6)

2сл. 1)

2)

3)(по лемме)

Учитель: Рассмотрим теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости и притом только одна.

Дано: , .

Док-ть:1) через точку М проходит прямая, перпенди­кулярная к плоскости α; 2) такая прямая только одна.

Доказательство:

Учитель: Данную плоскость обозначим α, а произ­вольную точку пространства — буквой М.

1)Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскость β, проходящую че­рез точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости α и β. В плоскости β через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой b. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендику­лярна к плоскости α, так как перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (с ⏊ b по по­строению и с ⏊ а, так как β ⏊ а).

2)Предположим, что через точку М прохо­дит еще одна прямая (обозначим ее через с₁), перпенди­кулярная к плоскости α. Тогда (по обратной теореме к теореме перпендикулярности двух параллельных прямых) с₁ || с, что невозможно, так как прямые с₁ и с пересекаются в точке М. Таким образом, через точ­ку М проходит только одна прямая, перпендикулярная к плоскости α. Теорема доказана.

Записи в таблице:

Док-во:

1)1)

   2)

   3)c-искомая прямая, т.к.  =>

2)Предположим

   1)тогда (по Т2)

   2)т.о. c-единственная прямая,

III. Рефлексивно – оценочный этап.

Учитель: Какая цель нашего урока?

Ученики: Изучить понятие перпендикулярности прямой и плоскости, т.е. дать ему определение, доказать существование, вывести свойства и признак

Учитель: Достигли ее?

Ученики: Да.

Учитель: Как мы её достигли? Какие определение и теоремы рассмотрели?

Ученики: мы рассмотрели определения прямой перпендикулярной к плоскости, рассмотрели свойства связывающие параллельность и перпендикулярность прямых к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.