Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Перпендикулярные прямые в пространстве.

Перпендикулярные прямые в пространстве.

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Геометрия 10 класс.

Урок по теме: «Перпендикулярные прямые в пространстве».

Цели урока:

Образовательные:

Формировать понятие перпендикулярных прямых в пространстве.

Учиться применять понятие перпендикулярных прямых в пространстве при решении задач.

Развивающие:

Формирование следующих мыслительных операций – анализ, синтез, сравнение, обобщение.

Формирование и развитие поисково-познавательной деятельности.

Воспитательные:

Формирование положительной мотивации учения.

Воспитание внимания.

Воспитание умения работать в коллективе.

Развитие умения слушать и высказывать свою точку зрения.

Структура урока:

1.Актуализации знаний.

Фронтальная беседа о роли вопроса «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» в геометрии и в окружающей действительности.

Фронтальная беседа с целью мотивации введения определения перпендикулярных прямых в пространстве. Постановка учебных задач.

:--На прошлых уроках мы с вами закончили изучение одной большой темы «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве». Сегодня на уроке мы с вами начнём изучение ещё одной большой и не менее значимой темы под названием «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве». В чём же заключается её значимость?

вывод по данному вопросу:

Во-первых, в окружающем нас мире, помимо параллельных линий и плоскостей, преобладают перпендикулярные линии и плоскости. Поэтому отношение перпендикулярности широко применяется в строительстве, архитектуре, дизайне.

Во-вторых, материал данной темы широко используется при изучении последующих разделов курса, при доказательстве теорем и решении задач.

Поэтому чем лучше мы с вами усвоим данную тему, тем легче нам будет в дальнейшем осваивать новый материал и решать задачи.

Начнём с небольшого повторения.

Вопрос: От какого признака зависят различные случаи взаимного расположения прямых на плоскости? Ответ: От количества общих точек.

Вопрос: Назовите эти случаи взаимного расположения прямых на плоскости.

Ответ: Параллельные прямые и пересекающиеся прямые.

Вопрос: Относительно какого случая взаимного расположения прямых на плоскости мы можем вести речь о перпендикулярных прямых? Ответ: Относительно случая пересекающихся прямых.

Вопрос: Сформулируйте определение перпендикулярных прямых на плоскости.

Ответ: Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Вопрос: От каких признаков зависят различные случаи взаимного расположения прямых в пространстве? Ответ: От количества общих точек и от принадлежности одной плоскости.

Вопрос: Если прямые имеют общую точку, то каково будет их взаимное расположение?

Ответ: Прямые будут пересекаться.

Вопрос: Если прямые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости, то каково будет их взаимное расположение? Ответ: Прямые будут скрещиваться.

Вопрос: Если прямые не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, то каково будет их взаимное расположение? Ответ: Прямые будут параллельны.

Вопрос: Относительно какого случая взаимного расположения прямых в пространстве мы можем вести речь о перпендикулярности прямых? Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными? Ответ: (Ученики затрудняются ответить).

Вопрос: Чтобы ответить на этот вопрос мы с вами проведём самостоятельную работу исследовательского характера.

Этап формирования новых знаний и способов действия.

Самостоятельная работа исследовательского характера с целью установления, что нового добавляется к понятию перпендикулярных прямых в пространстве.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Самостоятельная работа исследовательского характера.

Цель: Установить, что нового добавляется к понятию перпендикулярности прямых в пространстве. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными.

Исследовательская задача: Исследуя взаимное расположение элементов прямоугольного параллелепипеда, и используя аналогию с определением перпендикулярных прямых на плоскости, выделить возможные случаи взаимного расположения прямых, которые можно назвать перпендикулярными. Сформулировать определение перпендикулярных прямых в пространстве.

Задания.

1. Рассмотрите изображение прямоугольного параллелепипеда и установите взаимное расположение прямых и АВ, АD и DС, АD и , и ВD, и , ВС и ?

2. Используя аналогию с перпендикулярностью прямых на плоскости выделите те пары прямых, которые по Вашему мнению являются перпендикулярными. Чему равен угол между этими прямыми?

3. Какой случай взаимного расположения прямых существует в пространстве и не существует на плоскости? Могут ли такие прямые быть перпендикулярными?

4. Установите, какой общий признак характеризует каждый из случаев перпендикулярности прямых в пространстве. Сформулируйте определение.

5. На основании полученных результатов сделайте вывод о том, что нового добавляется к понятию перпендикулярности прямых в пространстве.

6. Приведите примеры перпендикулярных прямых на изображении прямоугольного параллелепипеда, относящихся к различным случаям взаимного расположения.

Обсуждение результатов самостоятельной работы с целью введения определения.

Обсуждение данной самостоятельной работы исследовательского характера проводится по пунктам заданий данной самостоятельной работы. После чего ученики записывают полученное определение в тетрадь:

. Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Обозначениеhello_html_8495275.png.

hello_html_387e897b.png

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

hello_html_m7568afff.pnghello_html_m60f2bde9.png

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:


прямая a перпендикулярна прямой b, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми a b, нужно через произвольную точку O на прямой a провести прямую b'b bb. И тогда угол между a b (по определению!) будет равен углу между a и b.

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

hello_html_m4f86b4eb.png

Закрепление Задачи из учебника. №116 (а)Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 9). Докажите, что hello_html_m6f7cde72.png и hello_html_m3c4245de.png, если hello_html_c825125.png.

hello_html_m34aa74f2.png

Доказательство.

ABCD – прямоугольник, так как в параллелограмме ABCD угол hello_html_c825125.png.

Прямая В1С1 параллельна прямой ВС, а прямая ВС перпендикулярна прямой DС. Значит, по лемме, прямая DС перпендикулярна В1С1. Прямая АВ перпендикулярна прямой ВС, а ВС параллельна прямой A1D1. Значит, по лемме, прямая АВ перпендикулярнаA1D1. Задача доказана.

Рассмотрим другое доказательство факта, что hello_html_m6f7cde72.png. Угол DCB равен углу между прямыми DC и В1С1. Угол DCB – прямой. Значит, прямые DС и В1С1 перпендикулярны.

117 .В тетраэдре ABCD - hello_html_ec3b59e.pngДокажите, что hello_html_m14a2a488.png, где М и N середины ребер АВ и АС.



hello_html_1a7d663c.png

Доказательство.

MN – средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, ВС параллельна MN.

Прямые ВС и MN параллельны, а прямые ВС и AD перпендикулярны. Значит, по лемме, прямые AD и MN перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Подведение итогов урока.

Вопрос: Что нового мы узнали сегодня на уроке?

Ответ: Мы сегодня узнали, что нового добавляется к понятию перпендикулярности прямых в пространстве, узнали, какие прямые в пространстве называются перпендикулярными, изучили лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Вопрос Сформулируйте определение перпендикулярных прямых в пространстве.

Ответ: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Вопрос: Относительно какого случая взаимного расположения прямых в пространстве мы можем вести речь о перпендикулярности прямых?


Ответ: Относительно скрещивающихся и пересекающиеся прямых.

Вопрос: Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.


Приложение 1.Опорный конспект по теме: «Перпендикулярные прямые в пространстве».

Самостоятельная работа исследовательского характера.

Исследовательская задача: Исследуя взаимное расположение элементов прямоугольного параллелепипеда, и используя аналогию с определением перпендикулярных прямых на плоскости, выделить возможные случаи взаимного расположения прямых, которые можно назвать перпендикулярными. Сформулировать определение перпендикулярных прямых в пространстве.

Задания.1. Рассмотрите изображение прямоугольного параллелепипеда и установите взаимное расположение прямых и АВ, АD и DС, АD и , и ВD, и , ВС и ?

hello_html_m34aa74f2.png2. Используя аналогию с перпендикулярностью прямых на плоскости выделите те пары прямых, которые по Вашему мнению являются перпендикулярными. Чему равен угол между этими прямыми?

3. Какой случай взаимного расположения прямых существует в пространстве и не существует на плоскости? Могут ли такие прямые быть перпендикулярными?

4. Установите, какой общий признак характеризует каждый из случаев перпендикулярности прямых в пространстве. Сформулируйте определение.

5. На основании полученных результатов сделайте вывод о том, что нового добавляется к понятию перпендикулярности прямых в пространстве.

6. Приведите примеры перпендикулярных прямых на изображении прямоугольного параллелепипеда, относящихся к различным случаям взаимного расположения.

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.( a.)

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

hello_html_m7568afff.pnghello_html_m60f2bde9.png

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

прямая a перпендикулярна прямой b, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми a b, нужно через произвольную точку O на прямой a провести прямую b'b bb. И тогда угол между a b (по определению!) будет равен углу между a и b.

hello_html_387e897b.png

Далее работа с учебником стр.34. Запишите лемму выполните рис 44.



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 12.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров587
Номер материала ДБ-256336
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх