Первые шаги умножения

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №4 г.Ртищево Саратовской области»

Проект на тему:

 «Первые шаги умножения»

Работу выполнили:

ученицы  6 «А» класса

Тарасова В., Лысова Е.

Руководитель:

учитель математики

Угаров А.А.

2015г.

Объектом нашего исследования стало математическое действие умножения; предметом исследования — старинные способы умножения.

Тема нашей работы актуальна тем, что без умножения в современном мире не обойтись, но, к сожалению, мало кто знает историю создания этого действия. Таким образом, проблема умножения до сих пор остаётся актуальной.

Гипотеза: если наши предки умели умножать старинными способами, то если изучив по данной проблеме литературу, сможет ли современный школьник этому научиться, или нужны какие-то сверхъестественные способности.

Цель: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.

Задачи:

1.     Найти и разобрать различные способы умножения.

2.     Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.

3.     Рассказать о новых способах умножения.

4.     Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.

5.     Оформить информацию о старинных способах умножения в виде книги для обучающихся 5-7 классов.

При выполнении работы мы пользовалась следующими методами:

      поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

      практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

      анализ полученных в ходе исследования данных.

Содержание:

Введение. ………………………………………………………………………….4

2. Старинные способы умножения………………...…………………………….5         

     2.1Способ «Маленький замок»…………………………………….……....…5

     2.2 Способ «Ревность, или решётчатое умножение»…………………….… 6

    2.3 «Русский крестьянский способ» ……………………………….…………7

    2.4 Способ «Умножение крестиком» …………………………………………8

    2.5 Умножение при помощи кругов ………………………………...………..8

   2.6 Китайский способ умножения ……………………………………..……..12

3. Заключение…………………………………………………………………….14

4. Литература. …………………………………………………………………...14

1.   Введение.

Эпиграфом нашего выступления мы взяли слова Галины Алексеевны Кейглер

 Много чудес на планете

Там существует и здесь…..

 Но умножение, люди,-

Тоже одно из чудес.

Помните твёрдо таблицу.

Хоть наяву, хоть во сне!

В жизни всем она пригодится,

Как пригодится и мне!!!

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе. И как-то раз на уроке нас учитель спросил, знаем ли мы какие-нибудь иные  способы умножения?

Нам  стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь старинные способы умножения? Оказалось, что можно умножать не только так, как учат нас в школе и предлагается нам в учебниках, но и по-другому. Используя интернет-ресурсы и дополнительную литературу, мы узнали много необычных способов умножений. Тогда у нас в голове зародилась мысль, создать книгу по теме «Первые шаги умножения».

2.   Старинные способы умножения

        За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения.  Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются.  Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство недоступно.
   И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «маленький замок»,«загибанием», «по частям или в разрыв», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником», «кубком или чашей», «алмазом» и прочие, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Усваивались они с большим трудом и лишь после продолжительной практики. Рассмотрим некоторые из них.

    Автором нашего  способа умножения многозначного числа на многозначное следует считать Адама Ризе, популярного немецкого педагога (1492–1559). В его руках он получил последнюю отделку и завершение, и теперь он считается самым удобным. Главное отличие способа Адама Ризе заключается в том, что разряды всех чисел и множимого, и множителя, и произведения стоят один под другим в одном вертикальном столбце; благодаря этому сразу видно, к какому разряду принадлежит известная цифра, и следовательно сбиться в этом почти нельзя.  Наш настоящий способ умножения больше  всего напоминает вычисление по колоннам абака.

2.1 Умножение способом «Маленький замок»

Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности»(1494 г.) приводит восемь различных методов умножения. Первый из них носит название «Маленький замок». Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину.

Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.

2.2 Умножение способом «Ревность, или решётчатое умножение »

     Следующий способ предложил итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494г) приводит описание различных методом умножения, один из которых носит название «ревность, или решётчатое умножение». Рисуем прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки делим по диагонали, и «…получается картина, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть сидящих у окон дам и монахинь»

2.3 Умножение способом «Русский крестьянский способ»

В России  среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.

Напишем одно число слева,  а другое справа на одной строке.  Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик. 

Если  при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.

Затем вычеркиваем  те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.

       Этот способ умножения гораздо проще рассмотренных ранее способов умножения Луки Пачоли. Но он также очень громоздкий.

2.4 Умножение способом «Умножение крестиком»

Древние греки и индусы в старину называли прием перекрестного умножения «способом молнии» или «умножение крестиком».

Пример:      63 х 92 = 5796                                  6             3

                                                                                      X    

                                                                               9             2

Последовательно производим следующие действия:

                 1.    3 х 2 = 6 – это последняя цифра результата.

                 2.    6 х 2 = 12; ,3 х 9 = 27; 12 + 27 = 39.

                       9 – предпоследняя цифра в ответе, 3 запоминаем.

                3.    6 х 9 = 54,  54 + 3 = 57 – это первые цифры в ответе.

                                                                                                   Ответ – 5796.

Этим способом удобно пользоваться и в настоящее время.

2.5 Умножение при помощи кругов

- Умножение двузначных чисел.

13 х 24 = 312

Последовательность работы.

1)    Чертим круги, так как второй множитель двузначное число, то и два столбца. В первом ряду по одному кругу, во втором ряду по три круга

 

2)    Второй множитель число 24, то круги, которые в первом столбце делим на две части, а круги, которые во втором столбце делим на четыре части

 

3)    Проводим прямые и считаем точки.

 

,

Ответ записывается следующим образом, смотрим снизу вверх количество точек 12, 2 – последняя цифра результата, один в уме, количество точек во второй области 10 и +1, того 11, 1 пишем и один в уме, количество точек в третьей области 2 и +1, того 3. Ответ – 312. 

- Умножение трехзначного числа на двузначное.

123 · 21 = 2583

Решения примера данного типа не было, я доработала его самостоятельно.

Алгоритм.

1)                Чертим круги, так как второй множитель двузначное число, то и два столбца. В первом ряду по одному кругу, во втором ряду по два круга, в третьем ряду по три круга.

                                                      

2)    Второй множитель число 21, то круги, которые в первом столбце делим на две части, а круги, которые во втором столбце так и остаются.

                                             

3)    Проводим прямые и считаем точки.

 

                                        

Ответ записывается следующим образом, смотрим снизу вверх количество точек 3-последняя цифра результата, количество точек во второй области 8, в третьей области 5, в четвертой области 2. Ответ – 2583.      

- Умножение трехзначного числа с нулем на двузначное

103 х 12 = 1236

Последовательность работы.

Алгоритм такой же, как при умножении трехзначного числа на двузначное, но круг, обозначающий ноль, чертим пунктирной линией -  это воображаемая линия, точек на ней не существует.

                     

        Ответ – 1236.

2.6 Китайский способ умножения.

В азиатских странах принято умножать числа не в столбик, а рисуя линии. Для восточных культур важно стремление к созерцанию, и визуализации, поэтому, наверное, они и придумали такой красивый метод, позволяющий перемножать любые числа. Сложен этот способ только на первый взгляд. На самом деле, большая наглядность позволяет использовать этот способ гораздо эффективнее, чем умножение в столбик.

А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским.  При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют  количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Пример: умножим 21 на 13. В первом множителе 2 десятка и 1единица, значит строим 2 параллельные прямые и поодаль 1 прямую.

 

Во втором множителе 1 десяток и 3 единицы. Строим параллельно 1 и поодаль 3 прямые, пересекающие прямые первого множителя.

 

Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть   21 х 13 = 273

      Нами рассмотрены лишь некоторые старинные способы умножения.   Используя некоторые из этих способов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

3.    Заключение.

В истории математики есть много интересных событий и открытий, к сожалению не вся эта информация доходит до нас, современных учеников.

   Этой работай, мы  хотели хоть чуть - чуть заполнить этот пробел и донести до наших сверстников информацию о старинных способах  умножения.

    В ходе роботы мы узнали о происхождении действия умножения. В старину было не лёгким делом владеть этим действием, тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения  — приемы один другого запутаннее, твердо, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.  Признавалось даже, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения  многозначных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна.

     Своей работой мы доказали, что наша гипотеза верна, не нужно обладать  сверхъестественными способностями, чтобы уметь пользоваться старинными способами умножения. А ещё мы научились подбирать материал, обрабатывать его, то есть выделять главное и систематизировать.

    Результатом нашей работы стала книга «Первые шаги  умножения», в которой мы разместили много примеров решенных нами с помощью старинных способов умножения.

4.    Литература.

1.     И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин  “За страницами учебника математики”.

2.     Л.Ф. Магницкий  «Арифметика».

3.     Журнал «Математика» №15 2011г.

4.     Интернет-ресурсы.

5.     Энцеклопедия для детей. Т.11 Математика. М: Аванта+ 2003г.

Краткое описание документа:

Объектом нашего исследования стало математическое действие умножения; предметом исследования — старинные способы умножения.

Тема нашей работы актуальна тем, что без умножения в современном мире не обойтись, но, к сожалению, мало кто знает историю создания этого действия. Таким образом, проблема умножения до сих пор остаётся актуальной.

Гипотеза: если наши предки умели умножать старинными способами, то если изучив по данной проблеме литературу, сможет ли современный школьник этому научиться, или нужны какие-то сверхъестественные способности.

Цель: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.

Задачи:

• 1.Найти и разобрать различные способы умножения.
• 2.Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.
• 3.Рассказать о новых способах умножения.
• 4.Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.
• 5.Оформить информацию о старинных способах умножения в виде книги для обучающихся 5-7 классов.

При выполнении работы мы пользовалась следующими методами:

 поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

 практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

 анализ полученных в ходе исследования данных.

Эпиграфом нашего выступления мы взяли слова Галины Алексеевны Кейглер

Много чудес на планете

Там существует и здесь…..

Но умножение, люди,-

Тоже одно из чудес.

Помните твёрдо таблицу.

Хоть наяву, хоть во сне!

В жизни всем она пригодится,

Как пригодится и мне!!!

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе. И как-то раз на уроке нас учитель спросил, знаем ли мы какие-нибудь иные способы умножения?

Нам стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь старинные способы умножения? Оказалось, что можно умножать не только так, как учат нас в школе и предлагается нам в учебниках, но и по-другому. Используя интернет-ресурсы и дополнительную литературу, мы узнали много необычных способов умножений. Тогда у нас в голове зародилась мысль, создать книгу по теме «Первые шаги умножения».

За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения. Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются. Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство недоступно.
И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «маленький замок»,«загибанием», «по частям или в разрыв», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником», «кубком или чашей», «алмазом» и прочие, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Усваивались они с большим трудом и лишь после продолжительной практики. Рассмотрим некоторые из них.

Автором нашего способа умножения многозначного числа на многозначное следует считать Адама Ризе, популярного немецкого педагога (1492–1559). В его руках он получил последнюю отделку и завершение, и теперь он считается самым удобным. Главное отличие способа Адама Ризе заключается в том, что разряды всех чисел и множимого, и множителя, и произведения стоят один под другим в одном вертикальном столбце; благодаря этому сразу видно, к какому разряду принадлежит известная цифра, и следовательно сбиться в этом почти нельзя. Наш настоящий способ умножения больше всего напоминает вычисление по колоннам абака.