-
Курсы
-
Другое
Найдено 66 материалов по теме
Предпросмотр материала:
Определённый интеграл
На изучение отводится 4 урока
Учитель математики МБОУ «Ангоянская СОШ» Васильева С.И.
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
Задача 1. (о вычислении площади криволинейной трапеции)
Определение. Фигура, ограниченная осью ох, прямыми х = а, х = b
(a < b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [a; b] функции
y = f(x), называется криволинейной трапецией
S - ?
Вычисление массы стержня
Задача 2. Дан прямолинейный неоднородный стержень. Плотность в точке x исчисляется по формуле
p = p(x). Найти массу стержня.
M = p * v
для однородного тела
1. Разобьём [a, b] на n равных частей;
2. Пусть на [xk, x(k+1)] плотность постоянна, т.е. p = p(x)
3. Найдём приближённое значение массы mk k –ого участка:
mk = p(x) * xk
4. m = Sn, где
=
5.
Задача 3. (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Пусть для определённости
v(t) > 0. Найти перемещение точки
за промежуток времени [a; b]
S = vt, т.е.
S = v(b – a)
для равномерного движения
1. Разобьём [a, b] на n равных частей;
2. Пусть на промежутке [tk; tk+1] скорость постоянна, v = v(tk) ;
3. Sk v(tk)tk за промежуток времени [tk; tk+1]
4. s Sn , где Sn = s0 + s1 + … + sk +… + sn-1 =
= v(t0)t0 + v(t1) t1 + … + v(tk) tk + … + v(tn-1) tn-1
5.
Вывод:
Три различные задачи привели к одной и той же математической модели. Значит, её следует изучить, т.е.:
а) присвоить ей новый термин;
б) ввести для неё обозначение;
в) научиться с ней работать
Математическое описание модели:
Разбиваем отрезок [a; b] на n равных частей;
Составляем сумму:
Sn = f(x0)x0 + f(x1) x1 + … + f(xk) xk + … + f(xn-1) xn-1
Вычисляем
Этот предел называют определённым интегралом от функции y = f(x) по отрезку [a; b]
Новое обозначение
- пределы интегрирования, f(x) – подинтегральная функция
1.
S
2.
Геометри-ческий смысл определённого интеграла
m =
3. S =
Физический
смысл
определённого
интеграла
Формула Ньютона - Лейбница
Есть ли связь между определённым интегралом и первообразной?
1. S =
2. S = s(b) – s(a)
= s(b) – s(a), где s(t) – первообразная для v(t)
Формула Ньютона - Лейбница
S
=
= F(b) – F(a), где F(x)-первообразная для f(x) yна [a;b]
m =
=
=P(b) – P(a), где P(x) – первообразная для p(x) на [a;b]
Для непрерывной на отрезке [a;b] функции y = f(x) справедлива формула
Свойства определённого интеграла
1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
3. Если a < c < b, то
(аддитивное свойство интеграла)
Примеры
= F(x)
a
b
= F(b) – F(a)
1. Вычислить
=
2. Y = sin x
Y = 0
S - ?
a = 0, b =
f(x) = sin x
S =
- (cos
-cos0) = - (- 1 – 1) = = 2
Примеры
3. Вычислить
1. Сначала найдём неопределённый интеграл:
=
=
2. Теперь вычислим определённый интеграл:
=
=
=
= 13,5 – 2,5 =11.
Домашнее задание:
См. модуль 2, урок 1
На первых уроках введения темы "Первообразная и интеграл" очень важно познакомить учащихся с практическим понятием первообразной и интеграла: это, прежде всего, площадь криволинейной трапеции, масса стержня, перемещение точки по прямой. Эти и другие понятия позволяют ввести не толеко новые термины, но и их обозначения. Происходит знакомство с математическим описанием модели. Вводятся понятия физического и геометрического смысла определённого интеграла. Формула Ньтона-лейбница применительно и к нахождению площади, и определению массы. вводятся основные свойства определённогоь интеграла. Показывается, как вычисляются интегралы.
Профессия: Преподаватель математики
В каталоге 6 544 курса по разным направлениям
Учебник: «Математика», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Тема: 1.13. Решение текстовых задач с помощью умножения и деления
Учебник: «Математика (в 2 частях)», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Тема: § 5. Обыкновенные дроби
Учебник: «Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Тема: 6.2. Простые и составные числа
Учебник: «Математика», Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др.
Тема: § 1. Натуральные числа и шкалы
