Пи саны. Ғылыми жоба

Ақтөбе облысы, Ырғыз ауданы,  Жайсаңбай  ауылдық округі

Ө. Қанахин атындағы орта мектебі

Ғылыми жоба

Тақырыбы:                               «Пи саны – әлемдегі ғажап сан»

Секция:                                      математика, информатика

Оқушының аты жөні:               Бауыржанұлы  Нұршат

                                                       9 -  сынып оқушысы

Шығармашылық жетекшісі:   Имантаева Гүлшат Сағитбекқызы

                          математика пәнінің мұғалімі                                                                                                                                                   

2016 жыл

Ө. Қанахин атындағы орта  мектебінің

9 - сынып оқушысы Бауыржанұлы Нұршаттың  «Пи саны – әлемдегі ғажап сан»  тақырыбындағы ғылыми зерттеу жобасына

ПІКІР

         Ө. Қанахин атындағы орта мектебінің 9-сынып оқушысы Бауыржанұлы Нұршаттың   «Пи саны – әлемдегі ғажап сан» атты тақырыпта жазылған жоба жұмысына жақсы деген баға берілді. Оқушылар 6-сыныпта математика пәнінен шебердің ұзындығы тақырыбын өткен кезден бастап

Оны білген жаман емес қой, болашақ компьютермен жұмыс істеу содан басталары шындық. Дегенмен де жұмысты жеңілдетуді  мақсат етуп баланың ойлау қабілетін шектемеу керек. Кей жағдайда калькуляторды пайдаланып, тіпті жоғары сынып оқушыларының өзі төрт амалды дұрыс орындай алмау фактілері кездеседі. Міне, сондықтан да, көбейту мен бөлуді меңгергеннен кейін оқушыларға сандарды көбейтудің, бөлудің, қосу мен азайтудың оңай тәсілдерін меңгерудің артықтығы жоқ. Оқушы іздену  жұмысында арифметикалық амалдарды қолданудың  тиімді әрі қызықты әдістері туралы мәліметтер келтірген. Бастауыш сыныптардан бастап көбейту кестесін жаттауда қиындық келтіргенде қызықты тәсілдер арқылы жаттауға болатынын, қосу мен көбейтудің тиімді тәсілдері қарастырылған.  Сондықтан Жұбан Ізбасардың  ғылыми жобасын  жақсы деңгейде жазылған деп бағалаймын және тәжірибеде қолдануға ұсыныс жасаймын.

Жетекші:  Ө. Қанахин атындағы орта мектебінің математика пәнінің  мұғалімі                                                                                                                 

 Имантаева Гүлшат Сағитбекқызы

Аңдатпа

         Бұл жұмыста ауызша есептеудің адам өміріндегі практикалық маңыздылығы, шапшаң есептеудің кейбір әдістері  көрсетілген.   Ауызша есептеуге жүйрік болу үшін ең бірінші тиімді есептеу  тәсілдерін меңгеру керек.  Машықтану жұмысымда  ертедегі саусақпен есептеу, және қазірде қолданып жүрген қосу мен көбейтудің тез есептеу әдіс - тәсілдерін негізге алдым.

Аннотация

         В этой работе показаны практическая значительность устного решения задач в жизни человека, некоторые способы быстрого решения задач. Чтобы быть хорошо подготовленным к быстрому  решению задач, во-первых, нужно знать эффективные способы решения задач.

         In this project indicate orally calculate it is important in persons lijestyle.  In orally calculate be clever the first is consider do sums. In this project  I’m  take on methods of former hands consider.

Зерттеу  мақсаты:

         Күнделікті өмірде және қазіргі қоғамда пайдалы еңбек еткенде қажет болатын шапшаң есептеу дағдысын қалыптастыру. Уақытты үнемдеу үшін есептеудің оңай және тиімді жолдарын көрсету.

Тақырыптың өзектілігі:

         Есептеудің тиімді тәсілдерін күнделікті сабақтарда және өмірде қолдануға насихаттау. 

Зерттеу кезеңдері:

І. Дайындық кезеңі: тақырыпты анықтау, мақсатын ақындау, деректерді жинақтау.

ІІ. Теориялық кезеңі: зерттеу тақырыб ы бойынша қажетті деректерді  талдау, жүйелеу.

ІІІ. Қорытынды кезеңі: қорытынды мен ұсыныстарды дайындау.

Зерттеу нәтижесі:

         Ауызша есептеудің адам өміріндегі практикалық маңыздылығын ескере отырып, төменгі сыныптардан бастап  есептеудің  тиімді тәсілдерін меңгеруге ден қою. Зерттеу жұмысын мектеп мұғалімдері, оқушылар көмекші құрал ретінде пайдалануға болады.

Мазмұны.

1.     Кіріспе.

1.1.          Саусақпен санау. Саусақпен көбейтудің әр түрлі әдістері.

2.     Негізгі бөлім.

2.1.          Есептеу аспаптары туралы

2.2.          Натурал сандарды шапшаң қосу мен көбейту әдістері

2.3.          Ферроль әдісімен көбейту

3.     Қорытынды.

3.1.          Ұсыныс.

4.      Пайдаланылған әдебиеттер.

Пи саны - әлемдегі ғажап сан.

Мазмұны

І. Кіріспе

Дәл π саны қандай?

ІІ. Негізгі бөлім

π  санын іздестіру жолдары, тарихы.

π  саны үшін шешілмеген  мәселелер.

π  саны туралы қызықты мәліметтер.

π санынан қандай пайда бар?

ІІІ.  Қорытынды.

Ұсыныс.

Пайдаланылған әдебиеттер.

Дәл  π  саны қандай?

Мен  санымен ең алғаш 6-сыныпта математика пәнінен  шеңбер ұзындығы  тақырыбын өткенде  таныстым.   саны неліктен тұрақты және неге шамамен 3,14-ке тең, дәл  саны қандай  деген сұрақтар мені қызықтырды.

π – оның диаметріне бөлінген шеңбер ұзындығы. Осы шама олардың көлеміне байланыссыз барлық шеңберлер үшін бірдей. Мұны жіп шумағының көмегімен өлшеп тексеріп көруге болады. Ол үшін мынадай тәжірибе жасайық. Жиегі шеңбер болатын стакан(тарелке, шелек, т.б)  алайық.  Оның  жиегін жіппен орап, жіптің ұзындығын сызғышпен өлшейміз. Жіптің ұзындығы  шамамен стакан шеңберінің ұзындығына тең. Сонан соң стакан диаметрін сызғышпен өлшейміз.

       1-сурет

Шеңбер ұзындығы мен диаметрінің қатынасын есептейміз.  

Тәжірибелер нәтижесінде кез келген шеңбер үшін шеңбер ұзындығының  оның диаметріне  қатынасы тұрақты санға тең екендігі  анықталды.  Бұл сан гректің  (оқылуы: «пи»)  әріпімен белгіленеді.

  3,141592665... .

  саны – шектеусіз, периодсыз  ондық бөлшек. Есептеулерде  -дің жуық мәні үшін     мәні алынады.  Шеңбердің ұзындығын С әріпімен, ал диаметрін  D  әріпімен белгілесек:

   шамамен алынған мәні. Біз оны дәл анықтай алмаймыз, өйткені  санының ондық  белгілері шексіз.

Әлемдегі кез келген телефон нөмірін π саны белгілерінің арасынан табуға болады. Қазірден бастап және мәңгілікке π сандарының таңбалары – тек шексіз ғана емес, сонымен қатар мүлде кездейсоқ таңбалар, олар ешқандай математикалық тізбекті құрамайды. Бұл π сандары таңбаларының шексіз созылуында әлемдегі барлық телефон нөмірлерінің болуын білдіреді. Ал егер сен сандарды әріптерге ауыстыратын болсаң, онда сен барлық жазылған кітаптардың және тіпті болашақта жазылатын кітаптардың аттарын толық анықтайсың.

 санын іздеу жолдары, тарихы.

 санының тарихы барлық математиканың дамуымен параллель жүрді. Кейбір ғалымдар  санының даму тарихын  3 кезеңге бөледі.

Геометриялық кезең.

 санын есептеп шығару мүмкін еместігі адамдардың оны есептеуге деген талыпынысын бәсеңдеткен емес. Шеңбердің айналасындағы дәл қашықтықты есептеп шығару ең күрделі міндет болатын (диаметрді өлшеу мүлдем қиын емес еді). Ежелгі гректер геометриялық есептерді жалғыз сызғыш пен церкульдің көмегімен шығарғанды ұнататын.

1)    Циркульдің көмегімен  шеңбер сызылады, оның ішіне көлемі бірдей доғалар сызылады.

2)    Қиылысу нүктелерін жалғайтын тік сызықтар сызылады.

3)    Міне – мінсіз алтыбұрыштар дайын.

 

                                           2-сурет

Алтыбұрыш тең қабырғалы алты үшбұрыштан құрылған. Шеңбер ұзындығы алтыбұрыштың периметріне жуық, ал алтыбұрыштың периметрі  алты қабырғаға тең, ал кесе көлденең ені 2-ге тең екені көрініп тұр. Сондықтан алтыбұрыш пен оның диаметрінің қатынасы 3-ке тең. Ал шеңбер ұзындығы алтыбұрыш перметрінен артық екені анық көрініп тұр, сондықтан  саны  3-тен артық болуға       тиіс. Мысырлықтар π , оның 256/81 немесе 3,16-ға тең екендігін есептеп шығарды. Жаман емес, бірақ үтірден кейінгі бірінші белгіге дейін ғана дәл. 

Б.д.д. 250 жылы грек математигі Архимед шеңберлерді басқа фигуралардың арасына орналастырып,  санына жақындап қалды.  Осы бір данышпан әдіс шеңбер айналасындағы қашықтықты өлшеуге  барынша жақындауға  мүмкіндік берді.

   

       4-сурет                                                     4-сурет

4-суретте шеңбер айналасындағы қашықтық екі квадрат айналасындағы қашықтық арасында  болуға тиіс. Архимед фигуралар қабырғаларының саны неғұрлым көбейген сайын  дәл жауапқа жақындай түскенін түсінді.

Ол алты қабырғалы(алтыбұрыш)  фигураларды алып көрді. \5-сурет\ Фигуралардың қабырғалары көбейген сайын  олардың жиектері шеңберге жақындай түсіп, жауабы да дәлірек  бола түсті.  Фигуралар қабырғаларының санын 96-ға дейін жеткізіп, фигураларды шеңберден ажырату қиын болғанға дейн жалғастырды. Нәтижесінде 96 қабырғалы фигуралар   саны  сандарының аралығындағы мәнге тең екендігін көрсетті.  Бұл тамаша жетістік болды. Архимед анықтаған  саны 500 жылдан кейін қытайлық математиктер одан да дәлірек нәтижеге қол жеткізгенге дейін  ең дәл мән болды.

 санының мәнін зерттеуде  үнді математиктері Арьябхата мен Бхаскара көп үлес қосты. Олар 3,1416  жуықтау шамасын дәлелдеген.

Қытай математиктері Лю Хуэй  мен Цзу Чунчжи   санын есептеудің дәлірек мәнін ұсынды.  Лю Хуэй  3072-бұрыш үшін есептеу жүргізіп, төмендегі формула бойынша -дің жуық мәнін анықтаған.

Цзу Чунчжи  12288-бұрышты  есептей отырып, Лю Хуэйдің алгоритімін қолдана отырып,    қатынасымен шамалас деп,   сандарының аралығында екенін дәлелдеген. Бұл мән соңғы 900 жылға дейін ең нақты мән болып есептелді.

Классикалық кезең.

2000  жылға дейін    санынының   10-ға  жуық мәндері белгілі болды.  санының әрі қарай  ауқымды  дамуы математикалық анализдің дамуымен  бірге дамыды. 1400 жылы Мадхава  алғаш рет  санының үтірден кейінгі 11 санының дәл мәнінін анықтайтын  қатар тапты:

Бұл нәтижесі Мадхава – Лейбниц  қатары деген атпен белгілі.  Бірақ бұл есептеу   санын анықтау үшін күрделі есептеулерді  орындауды талап етті.

 Бұл рекорд 1424 жылы  Әл-Кашидің  «Тракт об окружености» еңбегінде жаңарды. Әл –Каши өз еңбегінде  санының  16 дәл мәнін келтіреді.

1596 жылы  голландиялық математика  Ван Цейлон Лудольф(1540-1610)  санының үтірден кейінгі 20 дәл мәнін жариялады. Ол бұл мәнді табу үшін 10 жыл уақыт жұмсаған.  Лудольф  бұл нәтижеге Архимедтің ежелгі  әдісін   n = 60·2²⁹   болған кездегі  n –бұрышты екі еселеу арқылы қол жеткізеді.  Лудольф  өзінің жетістігін «Об окруженности»  еңбегінде  көрсетіп, мына сөздермен аяқтаған: «Кімде –кім  әрі қарай жалғастыруға талпынса, әрі қарай жалғастырсын».   Ғалым қайтыс болғаннан кейін  оның қолжазбаларынан  тағы да 15-ке жуық дәл мәні табылған. 1615 жылы бұл жаңалығы жарық көреді.   Лудольфтің құрметіне   саны кейде «Лудольф саны»  немесе  «Лудольф тұрақтысы»  деп те аталады.  Ғалымның  құлыптасына  өзінің өтініші бойынша осы сандар жазылған екен.

Әрі қарай математикалық анализдің қарқындап дамуымен бірге  санының одан әрі дәлірек мәнін өрнектейтін бірнеше формулалар анықталды.

ü Виет формуласы, 1593жыл

ü Валлис формуласы, 1655жыл

ü Мэчин формуласы, 1706жыл

Автор     Тейлор қатары бойынша жіктеу арқылы    санының нақты 153 мәнін есептеп тапқан.

Пи санын  гректің  әріпімен белгілеуді ең алғаш 1706 жылы ағылшын математигі  У. Джонс(1675-1749)  пайдаланғанымен, жаппай қолданысқа 1737 жылы Леонарда Эйлердің (1707-1783) еңбегінен  кейін ғана қолданысқа ене бастады.  Ағылшын математигі Вильям Шенкс π санының үтірден кейінгі 707 таңбасына дейін есептеуге 15 жыл жұмсады, бірақ ол 528-ші таңбада қателестіде, оның одан арғы есептері бұрыс болып шықты.

Сандық – компьютерлік кезең.

ХХ ғасырда  компьютерлік техника заманы туғанда  π санынының  дәл  мәнін тез есептеу одан да қарқынды дамыды. 

Джон фон Нейман және де басқалары  1949 жылы алғашықы  ЭНИАК  деп аталатын компьютерлерді пайдаланып  π санының дәл 2037  цифрын тапты. Келесі онжылдықта тағы да мыңға жуық цифрлары анықталды. 1973 жылы  π санының  сәйкес 1000000 \миллион\ цифры анықталды.

Мұндай ауқымды нәтижелерге жету үшін тек қана техникалық аппаратардың көмегіне  ғана жүгінген жоқ, сонымен бірге тиімді формулалар мен алгоритмдерді ойлап табудың нәтижесі болды.

20-мыңжылдықтың басында үнділік математик  С.Рамануджан  π анықтау  үшін бірнеше формулалар ойлап тапты, солардың кейбірі өте тиімді және тез есептеуге лайықты деп танылды.

Осы формулаға ұқсас  ағайынды Чудновскийлер ұсынған

формула  бір жүріс жасағанда бірден 14 цифрды анықтайды.  Чудновскийлер бұл формуланы жаңа рекордтар жасау мақсатында пайдаланып, 1989  жылы  миллардтан астам \1 011 196 691\  цифрын анықтады. 

Токиолық Ясумаса Канада  2002 жылы компьютердің көмегімен π санының үтірден кейінгі 1,24 триллион таңбасын есептеп шығарды.

2009 жылы тамызда  Жапонияның  Цукубо университетінің ғалымдары  2 триллион 576 миллиард 980 миллион 377 мың 524  ондық разрядын анықтады.

31  желтоқсан  2009 жылы  француздық  программист  Фабрис Беллар  компьютер көмегімен π санының үтірден кейінгі  2 699 999 990 000\екі триллион 699 миллиард 999 миллион 990 мың \ ондық  таңбасын анықтаған.

2 тамыз  2010 жылы  американдық  студент Александр Йи  және жапондық зерттеуші  Сигэру Кондо   үтірден кейінгі 5 триллион цифрды есептеді.

19 қазан  2011 жылы  Александр Йи  және  Сигэру Кондо π санының  үтірден кейінгі 10 триллион цифрын анықтаған.

π  санының рационалдық  жуықтаулар.

·          — Архимед (Б.д.д III ғ.) — ежелгі грек математигі, физик және инженер;

·          — Ариабхата (Б.д.д  V ғ.) — үнділік  астроном және  математик;

·          — Цзу Чунчжи (Б.д.д V ғ.) — қытайлық астроном және  математик.

Жуықтаудың дәлдәгән салыстыру:

Сан	Жуықтауы	Дәлдік (Ондық таңбаладың дәл келуі)
	3,14159265…
	3,14285714…	Үтірден кейін 2 ондық таңба дәл келеді
	3,14166667…	Үтірден кейін 3 ондық таңба дәл келеді
	3,14159292…	Үтірден кейін 4 ондық таңба дәл келеді

π  саны үшін шешілмеген  мәселелер.

·          және   сандарының алгебралық тәуелсіздіктері анықталмаған;

·          и  сандарының дәл иррационалдық өлшемдері белгісіз; 

·           сандардың бірінің де иррационалдық өлшемі анықталмаған. Ешқайсысы да рационал сан ба, әлде алгебралық иррационал сан ба, әлде транцендентті ма  белгісіз.

·          периодтар сақинасына жата ма белгісіз;

·          Шексіз  санында 0—9  сандарының ұаншалықты кездесетіні белгісіз.

π  саны туралы қызықты мәліметтер.

·        Сиэтл қаласында Өнер  музейінің алдында π  санының металдан жасалған мүсіні қойылған;

·        Америкалық уақытты жазу  форматына  орай (айы\күні)  3.14  болып жазылуы π санының жуық мәніне сәйкес келеді. Сондықтан,  14-наурыз  «π саны күні»   дәстүрлі емес мереке  болып есептеледі;

·        Тағы да π санының жуық мәніне байланысты 22- шілде күні  «π санына жуық күн» деп аталады. Себебі европалық уақытты жазу форматына сәйкес (күні\айы)   22\7, ал бұл бөлшектің  мәні π санының жуық мәні;

·        2009 жылдың 17-шілдесінде украиналық нейрохирург, медицина ғылымының докторы, профессор Андрей Слюсарчук 20 томдық кітапқа терілген  π санының 30 миллион таңбасын есте сақтап  әлемдік рекорд жасады.

·        Украинаның рекордтар кітабындағы мәліметтерге сәйкес 2006 жылы Андрей Слюсарчук 1 миллион таңбаны еске сақтау арқылы тағы да рекорд жаңартқан.

·        π  санының таңбасын еске сақтау бойынша келесі  әлемдік  рекордты жапониялық  Акира Харагути болды. Ол π санының 100 мыңға жуық π санының үтірден кейінгі таңбаларын еске сақтаған. Барлық сандарды атап шығу үшін 16 сағат жұмсаса, жаттау үшін 10 жылдай уақытын жұмсаған;

·        1897 жылы Индиана штатында (АҚШ) π санының 3,2-ге тең болуы тиіс екендігі туралы заң енгізгілері келді. Осы штаттың заң шығарушылары бүкіл әлемдегі адамдардың барлығына π санының осы шамасын пайдалануды ұсынғылары келді және ол үлгісі соларға миллиондаған долларлар құрайтын авторлық қаламақылар төлейтінін айтты. Бірақ осы заңды қабылдау алдында Пердью университетінің профессоры  «мұның бәрі барып тұрған қисынсыздық»  деп мәлімдеуі мұң екен, штат сенаты осы идеяны аяқсыз қалдырды;

·        π  санының құрметіне  «Пи» атты деректі фильм түсірілген;

·        Сан Франциско қаласының аспанында  "Pi in the Sky" тақырыбындағы жобасына орай 10000 фут шақырым әуеде түтіннің көмегімен 100-ден астам π санының таңбасын бейнелеген. Мұны жасау үшін аспаға  реклама жасаумен айналыстын агенттіктің көмегіне жүгінген.
Бүл жобаға бірнеше миллион адамдар куәгер болды. 

               

π санынан қандай пайда бар?

π саны ғалымдар, инженерлер мен дизайнерлер үшін өте пайдалы. Кез келген дөңгелек пішінде (мейлі, ол бұршақ салынған консерві банкісі болсын) және шеңбер бойынша айналатын кез келген затта (мейлі, ол доңғалақ немесе планета болсын) π саны болады.

π санынсыз адамдар

·        машина жасай алмас еді;

·         алуан - алуан көрікті ғимараттар сала алмас еді;

·        планеталардың қалай қозғалатынын түсінбес еді;

·        консерві банкісіне қанша бұршақ сыятынын есептеп шығара алмас еді. 

Өз шығармашылығымнан:

π  саны

Әлемдегі ең күрделі, ғажап сан,

Пайдасы мол, кәдеңе егер жаратсаң.

 π  санының  құпиясына үңіліп

Бас жүлдеге нық сеніммен таласам.

Тұратұғын шексіз, алуан сандардан

 π  санының  құдіретіне таңданам.

Архитектор салу үшін ғимарат

Осы санның құзіретіне бағынған.

Ұландары еліміздің егеменді

Тілеймін зор денсаулық сіздерге енді.

Әрдайым π санындай шексіз болған,

Болсыншы тәуелсіздік шексіз мәңгі!

Ұсыныс:

·        Оқушылардың ғылымға құштарлығын арттыру мақсатында π саны туралы ғылыми еңбектер кітап болып басылып, көпшілікке ұсынылса;

Әдебиетер

1.     Джонни Болл   «Сиқырлы математика». 2013ж. 

2.     Быльцов С.Ф. «Занимательная математика для всех».  2005ж

3.     Погорелов А.В.  «Геометрия»

4.     Internet