Инфоурок Математика КонспектыПлан-конспект на тему "Логарифмические уравнения и неравенства" (1 курс)

План-конспект на тему "Логарифмические уравнения и неравенства" (1 курс)

Скачать материал

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Республики Крым

«Феодосийский политехнический техникум»

 

 

 

                                                                                               Утверждаю:

            Заместитель директора         по учебной работе

            ________О.Г. Сердюкова      « ___ » _________ 2023 г.

             

             

 

 

ОТКРЫТОЕ   ЗАНЯТИЕ

 

по учебному предмету ОУП.13 Математика на тему «Логарифмические уравнения и неравенства».

 

для студентов 1 курса специальности

09.02.07 Информационные системы и программирование (квалификация: программист)

 

 

 

 

 

 

 

 

            Рассмотрено и утверждено              на заседаниях цикловых комиссий

 

                                                                                естественно-математических дисциплин

                                                                                 Протокол № 3 от 04.10.2023 г.

                                                                                Председатель комиссии

                                                                                                                    Кузьмич Г.А.

                                                                                Разработала преподаватель: АбдурахмановаС.Э

             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Феодосия, 2023 г.

План открытого занятия

 

Тема занятия:Логарифмические уравнения и неравенства.

Вид занятия: урок изучения нового материала Тип занятия:комбинированный Целизанятия: 

повторение, обобщение и систематизация знаний обучающихся по теме «Логарифмы, свойства логарифмов. График логарифмической функции». 

изучение и закрепление методов решения логарифмических уравнений и неравенств.

Задачи:

Образовательные:

создать условия для активизации практической деятельности, расширения и закрепления знаний обучающихся;

овладеть умениями применять полученные знания по теме «Логарифм числа и его свойства» для решения логарифмических уравнений; 

оценивать достоверность естественно-научной информации;

развить познавательные интересы, интеллектуальные и творческие способности в процессе приобретения знаний и умений по математике с использованием современных информационных технологий; Развивающие:   

              содействование     развитию     у     обучающихся     мыслительных     операций:     умение

анализировать, синтезировать, сравнивать;

овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования.

Воспитательные: 

воспитание интереса к математике как науке;

формирование навыков адекватной самооценки деятельности;

воспитание внимания, самостоятельности и трудолюбия;

готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности.

 

Формирование универсальных учебных познавательных действий включает базовые логические действия: 

выявлять качества, характеристики математических понятий и отношений между понятиями; формулировать определения понятий;

выявлять математические закономерности, проводить аналогии, вскрывать взаимосвязи и противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях; предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;

воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие; условные;

выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учетом самостоятельно выделенных критериев).

Формирование универсальных учебных познавательных действий включает базовые исследовательские действия:

           использовать вопросы как исследовательский инструмент познания;

самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведенного наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и обобщений, прогнозировать возможное их развитие в новых условиях.

Формирование универсальных учебных познавательных действий включает работу с информацией:

анализировать информацию, структурировать ее с помощью таблиц и схем, обобщать, моделировать математически: делать чертежи и краткие записи по условию задачи, отображать графически, записывать с помощью формул;

формулировать прямые и обратные утверждения, отрицание, выводить следствия; распознавать неверные утверждения и находить в них ошибки;

Формирование универсальных учебных коммуникативных действий включает умения:

воспринимать и формулировать суждения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах;

в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с суждениями других участников диалога; в корректной форме формулировать разногласия и возражения;

участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, "мозговые штурмы" и другие), используя преимущества командной и индивидуальной работы при решении учебных задач; планировать организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы; обобщать мнения нескольких людей;

Формирование универсальных учебных регулятивных действий включает умения:

владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов; владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения математической задачи;

предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, данных, найденных ошибок;

 

Планируемые результаты:

Предметные:

применение теоретических знаний для решения практических заданий;

применение терминов, определений и понятий в контексте заданий;

владение основными методами научного познания, используемыми в математике;

умения обрабатывать результаты решения задания, объяснять полученные результаты и делать выводы;

сформированность умения решать задачи и уравнения;

сформированность умения исследовать и анализировать свойства различных функций, объяснять принципы решения различных типов заданий;

владение методами самостоятельного планирования решения задач и уравнений, и анализа полученной информации, определения достоверности полученного результата. Метапредметные:

формировать умения определять цель занятия, планировать последовательность действий, осуществлять контроль и коррекцию результатов;

находить необходимую информацию, производить анализ существенных признаков предметов, синтез, сравнение;

планировать учебное сотрудничество с преподавателем и сверстниками, с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Личностные.

формировать профессиональное самоопределение, основы гражданской идентичности личности;

формирование мировоззренческих установок;

умение формулировать собственную точку зрения; − развитие осознанного отношения к учению. 

 

Личностные результаты (ЛР):

ЛР 1 -Осознающий себя гражданином и защитником великой страны.

ЛР2 -Проявляющий активную гражданскую позицию, демонстрирующий приверженность принципам честности, порядочности, открытости, экономически активный и участвующий в студенческом и территориальном самоуправлении, в том числе на условиях добровольчества, продуктивно взаимодействующий и участвующий в деятельности общественных организаций.

ЛР 4 -Проявляющий и демонстрирующий уважение к людям труда, осознающий ценность собственного труда. Стремящийся к формированию в сетевой среде личностно и профессионального конструктивного «цифрового следа».

ЛР 7 - Осознающий приоритетную ценность личности человека; уважающий собственную и чужую уникальность в различных ситуациях, во всех формах и видах деятельности. 

ЛР 10 - Заботящийся о защите окружающей среды, собственной и чужой безопасности, в том числе цифровой.

ЛР 13 -Готовый соответствовать ожиданиям работодателей: активный, проектномыслящий, эффективно взаимодействующий и сотрудничающий с коллективом, осознанно выполняющий профессиональные требования, ответственный, пунктуальный, дисциплинированный, трудолюбивый, критически мыслящий, демонстрирующий профессиональную жизнестойкость.

ЛР 15 -Готовый к профессиональной конкуренции и конструктивной реакции на критику. Педагогическая технология: развития критического мышления, информационнокоммуникационная.

Формы           организации             познавательной       деятельности: фронтальная,          работа в          парах, индивидуальная.

Методы: визуализация,  мозговой штурм.

Межпредметные связи:

1.         Обеспечивающие:

          Математика 2. Обеспечиваемые:

          ЕН.01 Математика;

          Физика;

          Основы алгоритмизации и программирования;

          Разработка программных модулей.

 

Обеспечение занятия:

1.                      Рабочая программа учебного предмета ОУП.13 Математика;

2.                      План открытого занятия;

3.                      Презентация к плану занятия;

4.                      Мультимедийный проектор;  

5.                      Ноутбук. Литература:

1.              Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни), 10 кл. «Просвещение», 2022.

2.              Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. – М., 2014.

3.              Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 11 кл. – М., 2014.

4.              www.fcior.edu.ru -Информационные, тренировочные и контрольные материалы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Структура занятия

 

п/п

Название этапа

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Время (мин)

1.

Организационный момент

Приветствует         обучающихся.

Проводит проверку присутствующих на занятии, объявляет тему, ставит цели и задачи занятия.

Приветствуют преподавателя.

Готовятся       к занятию.

5

2.

Актуализация опорных знаний

Обобщение теоретического материала, организация действий обучающихся, направленных на решение проблем и достижение целей занятия: фронтальный опрос, повторение

теоретического материала;

Воспроизведение обучающимися ранее полученных знаний; слушают, анализируют.

 

5

3.

Выполнение плана комбинированн

ого занятия

Управляет процессом разбора нового материала:

-                      постановка     задачи             перед студентами;

-                      изучение способов решения логарифмических уравнений;

-изучение        этапов      решения

логарифмических неравенств;

-                      решение заданий вместе с

преподавателем;

-                      работа в парах;

-работа студентов у доски.

 

Студенты вместе с преподавателем, а также самостоятельно, осуществляют решение заданий;участвуют

в          обсуждении,

слушают, анализируют, записывают. 

58

4.

Подведение

итогов

 

Проводит        систематизацию изученного материала.

Слушают, анализируют, записывают.

5

5.

 Рефлексия

Проводит общий анализ деятельности группы. Предлагает выполнить градацию знаний.

Отвечают       на вопросы, слушают, анализируют.

5

6.

Домашнее задание

Объявляет задание для самостоятельного решения.

Записывают домашнее задание

2

План урока:

1.      Организационный момент.

2.      Актуализация опорных знаний

3.      Изучение нового материала: работа с преподавателем, индивидуально, в парах.

4.      Подведение итогов занятия. 

5.      Рефлексия.

6.      Домашнее задание.

1. Организационный момент.  

Проверить отсутствующих, готовность студентов группы к учебному занятию.

Познакомить с темой занятия.

Наше занятие будет состоять из двух этапов: 

1) изучение способов решения логарифмических уравнений; 2) изучение способов решения логарифмических неравенств. Итак, начинаем 1 этап.

2. Актуализация опорных знаний

1)   Ребята дайте, пожалуйста, определение логарифма.

Ответ: Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a≠1, называется показатель степени с, в которую необходимо возвести a, чтобы получить, т.е. 

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎𝑐 = 𝑏, a>0, a≠1

 

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

2)   Вычислите устно (фронтальная работа, задания уровневые, первые четыре - база, вторые четыре - профиль). Учащиеся сами определяются с выбором уровня сложности: 

 

            Также, давайте вспомним свойства логарифмов.

 

3. Изучение нового материала 

Уравнение называется логарифмическим, если его переменная находится только под знаками логарифмов.

Например:1) 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 2,

2) 𝑙𝑔(𝑥2 + 1) = 4

3)𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 3) + 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 1) = 1

Уравнение 𝑥2 + 𝑙𝑜𝑔5(2𝑥 + 1) = 4 – не является логарифмическим, так как  x2 не является аргументом логарифма.

Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида 

𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 = 𝒃, гдеa>0, a≠1, x>0

По определению логарифма, при любом действительном bэто уравнение имеет единственное решение: x=ab.

Например: Учебник. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа 10 кл.  №6.10 (б; в) (стр.168)

 

 

б)𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 05,

    𝑥

   Ответ: 𝑥

 

.

.

в) 𝑙𝑜𝑔5𝑥 = −1,

                       𝑥 .

                     Ответ: 𝑥  .   

 

Решение других логарифмических уравнений основывается на свойствах логарифмических функций, определении и свойствах логарифма.

Для логарифмических уравнений нет общего метода решения, однако можно выделить несколько групп уравнений, для решения которых используют определенные способы.

по определению логарифма

𝑙𝑜𝑔2(3𝑥 − 7) = 1

метод потенцирования

𝑙𝑜𝑔3(5𝑥 + 3) = 𝑙𝑜𝑔3(7𝑥 + 5)

 

метод введения новой переменной

𝑙𝑔2𝑥 − 3𝑙𝑔𝑥 + 2 = 0

метод приведения логарифмов кодному основанию

𝑙𝑜𝑔2𝑥 − 2𝑙𝑜𝑔𝑥2 = −1

графический метод

𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 2𝑙𝑔𝑥 − 1

Сегодня мы с вами рассмотрим некоторые из них:

 

Способы решения логарифмических уравнений.

 

1) По определению логарифма: 

Если уравнение имеет вид 

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏(a>0, a≠1).                                   (1) тогда,  

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑏(2) ОДЗ: 𝑓(𝑥) > 0(3)

Чтобы решить уравнение (1) достаточно решить уравнение (2), а затем выполнить проверку, подставив полученные корни в неравенство (3).

Например: Учебник. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа 10 кл.  №6.18 (а; в) (стр.172)

Пример а) решаем с преподавателем, а пример в) решаем в парах. Один из студентов группы идет решать у доски, остальные сверяются с решением на доске.

а) 𝑙𝑜𝑔2(3𝑥 − 7) = 1,

ОДЗ: 3𝑥 − 7 > 0

по определению  

3𝑥 − 7 = 21,          x=3-  удовлетворяет ОДЗ

Проверка:3· 3 − 7 > 0 − верно.

Ответ: 3

 

в) 𝑙𝑜𝑔 (3𝑥 − 2) = 0

Ответ: 1

Важно помнить, что, решая логарифмические уравнения, нужно установить область допустимых значений уравнения и осуществить проверку полученных корней. Область допустимых значений записываем из исходного уравнения.

Рассмотрим еще один пример, решаем по свойствам и определению логарифма.

Учебник Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа, 10 кл. №840(1;4)

(стр.259).

 

1) 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 5) + 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 2) = 3,

𝑥 − 5 > 0

ОДЗ: {                

𝑥 + 2 > 0

Преобразуем по свойству логарифмов

𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 5) · (𝑥 + 2) = 3

по определению  

(𝑥 − 5) · (𝑥 + 2) = 23

𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 8

𝑥2 − 3𝑥 − 18 = 0

𝑥1 = 6, 𝑥2 = −3

Проверка:𝑥1 = 6 – удовлетворяет ОДЗ

6 − 5 > 0 − верно

                                      {                               

6 + 2 > 0 − верно

 𝑥1 = −3 – не удовлетворяет ОДЗ

−3 − 5 > 0 − неверно

                                 {                                       

Ответ: 6

 

4) 𝑙𝑔(𝑥 − 1) + 𝑙𝑔(𝑥 + 1) = 0 Ответ:      

Пример 1) решаем с преподавателем, а пример 4) решаем в парах. Один из студентов группы идет решать у доски, остальные сверяются с решением на доске.

 

2)      Метод потенцирования.

Потенцирование – это действие нахождения числа (аргумента) по его логарифму. Другими словами, это переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству не содержащему их, т.е. 

𝒍𝒐𝒈𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒈(𝒙) ⟹ 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙), 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1

ОДЗ: 𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) > 0

Например: Учебник Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа, 10 кл.

№843 (стр.260).

Пример 1) решаем с преподавателем, а пример 2) решаем в парах. Один из студентов группы идет решать у доски, остальные сверяются с решением на доске.

 

1) 𝑙𝑜𝑔3(5𝑥 + 3) = 𝑙𝑜𝑔3(7𝑥 + 5)

5𝑥 + 3 = 7𝑥 + 5,   ОДЗ: {5𝑥 + 3 > 0

7𝑥 + 5 > 0

𝑥 = −1 − не удовлетворяет ОДЗ

5 · (−1) + 3 > 0 − неверно

Проверка: {                                               

7 · (−1) + 5 > 0 − неверно

Ответ: нет корней.

2) 𝑙𝑜𝑔 (3𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔 (6𝑥 + 8)

3𝑥 − 1 > 0

3𝑥 − 1 = 6𝑥 + 8,       ОДЗ:  { 6𝑥 + 8 > 0

𝑥 = −3 − не удовлетворяет ОДЗ

3 · (−3) − 1 > 0 − неверно

Проверка: {                                               

6 · (−3) + 8 > 0 − неверно

Ответ: нет корней.                             

3)      Метод введения новой переменной.

Рассмотрим решение уравнений этим методом на конкретном примере: 

Учебник. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа 10 кл.  №6.22 (а, б) (стр.172)

а) 𝑙𝑔2𝑥 − 3𝑙𝑔𝑥 + 2 = 0

ОДЗ: 𝑥 > 0

Введем замену: t= 𝑙𝑔𝑥. Получим

б) 3𝑙𝑜𝑔32𝑥 − 5𝑙𝑜𝑔3𝑥 + 2 = 0

ОДЗ: 𝑥 > 0

Введем замену: t= 𝑙𝑜𝑔3𝑥. Получим

𝑡2 − 3𝑡 + 2 = 0, 𝑡1 = 1,  𝑡2 = 2

Вернемся к замене: 

𝑙𝑔𝑥 = 1   и   𝑙𝑔𝑥 = 2.

Решив эти простейшие уравнения получим:  𝑥 = 101 = 10     и      𝑥 = 102 = 100     

 

Ответ: 10;100

 

3𝑡2 − 5𝑡 + 2 = 0,                                                         

𝑡1 = 1,  𝑡2 =  Вернемся к замене: 

                             𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 1   и  𝑙𝑜𝑔3𝑥 =  .

Решив эти простейшие уравнения получим: 

             𝑥 = 31 = 3     и      𝑥  

 

Ответ: .

 

 

Теперь,  начинаем2 этап.

Решение логарифмических неравенств. 

Давайте вспомним, как выглядят графики логарифмической функции при0<a<1 и при a>1:

 

1) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3𝑥 2) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔0,2𝑥

 

3)

4) 𝑦 = 𝑙𝑔𝑥

 

𝑥

 

При решении логарифмических неравенств вида

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓𝑏 или 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥)≥≤𝑏

𝑓(𝑥) > 0

                                        Записываем ОДЗ: {                .

𝑔(𝑥) > 0 Затем добавляем основное неравенство.

При a>1 логарифмическая функция возрастает, поэтому большему логарифму отвечает большее значение выражения, находящегося под знаком логарифма. Т.е. при потенцировании знак основного неравенства не меняется. 

При a<1 логарифмическая функция убывает, поэтому большему логарифму отвечает меньшее значение выражения, находящегося под знаком логарифма. Т.е. при потенцировании знак основного неравенства меняется. 

Например, дано неравенство

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥) ≥ 𝑏,  a>1.

Для того, чтобы его решить необходимо решить систему неравенств: 

𝑓(𝑥) > 0

{                                                                          𝑓(𝑥) ≥ 𝑎𝑏

 

 

Например,Учебник. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа 10 кл. 

№6.39 (a) (стр.181)и №6.40 (г)

𝑙𝑜𝑔2𝑥>1

Запишем систему неравенств: 

𝑥 > 0

                                            {          1

𝑥 > 2

𝑥 > 0

                                              {         

𝑥 > 2

Ответ: 𝑥𝜖(2; ∞)

𝑙𝑜𝑔0,6𝑥 ≥ −1

Запишем систему неравенств: 

𝑥 > 0

                                         {             1

𝑥 ≤ 0,6

𝑥 > 0

 

Ответ: 𝑥𝜖(0; 1 ]

Номер №6.39 (a) решаем с преподавателем, а номер №6.40 (г) решаем в парах. Один из студентов группы идет решать у доски, остальные сверяются с решением на доске.

 

4. Подведение итогов занятия.

Обобщение изученного материала: 

      сформулируйте основные способы решения логарифмических уравнений, которые мы рассмотрели сегодня на занятии;

      перечислите основные этапы решения логарифмических уравнений;

      как избежать в ответе посторонних корней? перечислите основные этапы решения логарифмических неравенств.

 

5.        Рефлексия «Бортовой журнал»:

Студенты выбирают темы из разделов математики, которые были использованы при решении логарифмических уравнений и неравенств и записывают их в нужные столбцы:

1)      свойства степени с рациональным показателем;

2)      решение линейных уравнений;

3)      потенцирование;

4)      решение логарифмических уравнений по определению;

5)      действия с дробями;

6)      свойства логарифмов;

7)      решение логарифмических неравенств;

8)      площади плоских фигур;

9)      запись ОДЗ для логарифмических уравнений; 

10)  решение квадратных уравнений;

11)  решение логарифмических уравнений методом замены переменной;

12)  решение систем неравенств.

 

Уже знали

Узнали на занятии

 

 

 

6.        Домашнее задание.

Учебник Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа, 10 кл.:  Задача 3 (стр. 257), №840(2;3).

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "План-конспект на тему "Логарифмические уравнения и неравенства" (1 курс)"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Руководитель страховой организации

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 686 192 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 02.03.2024 56
    • PDF 432.7 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Абдурахманова Сусанна Энверовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 8 лет и 6 месяцев
    • Подписчики: 1
    • Всего просмотров: 15058
    • Всего материалов: 13

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Преподавание математики в школе в условиях реализации ФГОС

72/144/180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 83 человека из 37 регионов
  • Этот курс уже прошли 744 человека

Курс повышения квалификации

Применение возможностей MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 36 человек из 19 регионов
  • Этот курс уже прошли 198 человек

Курс повышения квалификации

Развитие предметных навыков при подготовке младших школьников к олимпиадам по математике

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 46 человек из 18 регионов
  • Этот курс уже прошли 103 человека

Мини-курс

Методы решения нестандартных математических задач

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Этот курс уже прошли 14 человек

Мини-курс

Психологические вызовы современного подростка: риски и профилактика

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 121 человек из 48 регионов
  • Этот курс уже прошли 43 человека

Мини-курс

Схемная терапия: работа с ранними малоадаптивными схемами и схемными режимами

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе