Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / План конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Длина окружности».
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

План конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Длина окружности».

библиотека
материалов

План конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Длина окружности».



Цель урока: вывод формул для нахождения длины окружности и длины дуги окружности. Формирование умений учащихся применять выведенные формулы к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Длина окружности и площадь круга» [13].

Требования к уровню подготовки учащихся: записывают и объясняют формулы длины окружности и дуги окружности. Формулируют теорему об отношении длины окружности к его диаметру. Применяют изученные формулы к решению задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания, актуализация опорных знаний учащихся

Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при выполнении домашних заданий.

Задача 1. Решение

Пусть BD = 4 см (рис. 88), тогда ОВ = hello_html_7e92763f.png= hello_html_1c94bc11.png= 2 см, АВ = ОВhello_html_m3e8592d3.png= 2hello_html_m3e8592d3.png (см).

Ответ. 2hello_html_m3e8592d3.pngсм.

 

hello_html_m6dcad643.jpg

 

Задача 2. Доведение

Пусть ABCD - квадрат, AMDNCKBL - правильный восьмиугольник (рис. 89), точка О - центр этих многоугольников, OA = R. Из прямоугольного треугольника AMF имеем AM = hello_html_m7875e93c.png. Учитывая, что OA = R, AD = AO ∙hello_html_m3e8592d3.png= Rhello_html_m3e8592d3.png.

FM = OM - OF = R - hello_html_6b78c882.png= R - hello_html_49930aa6.png, имеем: AM = hello_html_5f0fa118.png= hello_html_m25379ba0.png= hello_html_m312ca178.png= hello_html_30411e38.png.

 

hello_html_1c9b1082.png

 

Фронтальная беседа

  1. 1) В окружность вписан правильный треугольник, и вокруг этого самого круга описан правильный треугольник (рис. 90). Сторона описанного треугольника равен а, а сторона вписанного - b. Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.

 

hello_html_569da5bf.png

 

а) a = 3b.

б) Точки пересечения медиан обоих треугольников совпадают.

в) Радиус окружности равен hello_html_3a629378.png.

г) Радиус круга равен hello_html_m70f7e6a0.png.

  1. 2) Вокруг квадрата описана окружность радиуса R, и в этот самый квадрат вписан круг радиуса r (рис. 91). Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.

а) R = rhello_html_1a219ac.png.

б) Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

в) Сторона квадрата равна Rhello_html_m3e8592d3.png.

г) Сторона квадрата равнаhello_html_m65dde9ec.jpg

 

hello_html_6bcc811e.png

 

Самостоятельная работа

Самостоятельную работу можно провести за пособием [14], тест 6 «Правильные многоугольники».

 

II. Первичное восприятие и осознание нового материала

Длина круга

Чтобы наглядно представить, что такое длина окружности, представим, что круг сделан из тонкой проволоки. Если такое круг разрезать в некоторой точке А и распрямить круг, то получим отрезок AA1, длина которого и является длиной окружности (рис. 92).

 

hello_html_m780f1bfa.png

 

Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближенным значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближение, поскольку многоугольник при увеличении числа сторон все ближе и ближе «прилегает» к кругу.

Теорема. Отношение длины окружности к ее диаметру одно и то же для каждого круга.

Доведение

Пусть имеем два произвольных круга (рис. 93), радиусы которых равны R1 и R2, а длины окружностей - С1 и С2. В каждое из этих кругов впишем правильные n-угольники с одинаковым числом сторон, длины которых равны аn и а'n, тогда их периметры Гn и Р'n соответственно равны:

Pn = nan = n ∙ 2R1sinhello_html_15bb6267.png, Г'n = na'n = n ∙ 2R2sinhello_html_15bb6267.png.

Тогда hello_html_m615b35c3.png.

hello_html_3f23862d.png

Если значение n неограниченно увеличивать, то периметры Гn и Р'n направляться в длин окружностей С1 и С2, а отношение периметров - отношения hello_html_m2fb9ce45.png. Следовательно, hello_html_m1cdd25d.png, или hello_html_m55b729ae.png, что и требовалось доказать.

Отношение длины круга к его диаметру 2R принято обозначать греческой буквой n. Число n - иррациональное число, его приближенное значение n hello_html_35ae680e.png3,1415926.

Следовательно, hello_html_21aae3c8.png, откуда C = 2nR.

C = 2nR - формула длины окружности.

 

Выполнение упражнений

  1. 1. Найдите длину окружности радиуса 5 см.

  2. 2. Найдите длину диаметра круга 5 см.

  3. 3. Найдите радиус окружности, длина которого равна 16n см.

  4. 4. Найдите диаметр окружности, длина которого равна 5n см.

 

Нахождения длины дуги окружности

Найдем длину дуги окружности, соответствующей центральному углу п°. Поскольку развернутом углу соответствует длина полукруга πR (рис. 94), то углу 1° соответствует дуга длиной hello_html_m84eeb39.png, а углу п° - дуга длиной hello_html_m5d57d7f9.png.

 

hello_html_44f3a5c0.png

Выполнение упражнений

  1. 1. Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, которая соответствует центральному углу, что составляет:

а) 30°; б) 270°.

Решение

а) hello_html_111bfee3.png(см);

б) hello_html_2738e94b.png(см);

Ответ. 0,52 см; 4,71 см.

  1. 2. Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга составляет:

а) hello_html_199b183c.png; б) hello_html_m58d2062c.png; в) hello_html_573bfaf4.pngкруга?

Решение

hello_html_199b183c.png∙ 360° = 120°; hello_html_m58d2062c.png∙ 360° = 72°; hello_html_573bfaf4.png∙ 360° = 240°.

Ответ. 120°, 72°, 240°.

  1. 3. По данным радиусом R = 1 м найдите длину дуги, соответствующей центральному углу, что составляет:

а) 45°; б) 120°; в) 60°30'; г) 150°36'.

Решение

а) hello_html_3dbdaaed.png(м);

б) hello_html_3313605f.png(м);

в) hello_html_m3c358cd6.png(г);

г) hello_html_m299ec4b9.png(г).

Ответ. hello_html_35ae680e.png0,79 м; hello_html_35ae680e.png2,09 м; hello_html_35ae680e.png1,05 м; hello_html_35ae680e.png2,63 м.

 

III. Закрепление и осмысление нового материала

Решение задач

  1. 1. Длина круга, описанного вокруг квадрата, равна 6π см. Найдите сторону этого квадрата. (Ответ. 3hello_html_m3e8592d3.pngсм.)

  2. 2. Сторона правильного треугольника равна а. Найдите длину окружности, являются:

а) вписанным в треугольник;

б) описанным вокруг этого треугольника.

(Ответ а) hello_html_m7e99cc4.png; б) hello_html_13742203.png.)

  1. 3. Найдите радиус круга, дуга которого имеет длину 15,7 см и соответствует центральному углу, что составляет 24°. (Ответ. hello_html_35ae680e.png37,5 см.)

  2. 4. Длины оснований и боковой стороны рівнобічної трапеции соответственно равны 9 см, 25 см и 17 см. Найдите длину окружности, вписанной в трапецию. (Ответ. 15π см.)

  3. 5. Длина отрезка АВ равна а. На нем обозначены точки С1, С2, ..., Сn и построено полукруга (рис. 95), которые имеют диаметры АС1, С1С2, ..., СnВ. Найдите длину построенной кривой с концами в точках А и В. (Ответ. hello_html_m58c298d8.png.)

 

hello_html_3c0f775d.png

 

  1. 6. Найдите отношение периметра правильного восьмиугольника до диаметра и сравните его с приближенным значением n.

Решение

Пусть АВ - сторона восьмиугольника (рис. 96), тогда по теореме косинусов из треугольника АОВ имеем: АВ2 = ОА2 + ОВ2 - 2 ∙ ОА ∙ OBcos hello_html_m769fea46.pngAOB, где OA = OB = R, hello_html_m769fea46.pngАОВ = 360° : 8 = 45°. Тогда AB2 = R2 + R2 - 2 ∙ R2 ∙ hello_html_4817f0e8.png= 2R2 - R2hello_html_m3e8592d3.png, AB = hello_html_30411e38.png.

Периметр восьмиугольника P8 = 8AB = 8hello_html_30411e38.png, диаметр круга 2R.

Следовательно, P8 : 2R = 8hello_html_30411e38.png : 2R = 4hello_html_518d1251.png hello_html_35ae680e.png3,06, а n hello_html_35ae680e.png3,14.

Ответ. 3,06 3,14.

 

hello_html_2b7f5f71.jpg

 

  1. 7. Шкив диаметра 1,4 м осуществляет 80 оборотов за минуту. Найдите скорость точки на ободе шкива.

Решение

Длина шкива: C = 2nR = n ∙ 1,4 = 4,396 (м). Путь, пройденный точкой за минуту: S = C ∙ 80 = 4,396 ∙ 80 = 351,68 (м).

Скорость точки на ободе шкива:

V = hello_html_1311d8f.png= hello_html_m3eb717b3.png= 351,68 hello_html_m354b051f.png.

Ответ. 351,68 hello_html_m53cb0e4.png.

  1. 8. Расстояние между любыми двумя точками на поверхности Земли равна 1 км? Радиус Земли равен 6370 км. Какой угол образуют радиусы Земли, проведенные до двух данных точек?

Решение

Пусть ОА = ОВ = 6370 км, lAB = 1 км (рис. 97). Поскольку hello_html_m5d57d7f9.png, то имеем hello_html_57e7bdfd.png; 180 = 6370n, отсюда n = hello_html_37ec4486.pnghello_html_35ae680e.png0,009.

Следовательно, искомый угол равен n° = 0,009° = 0,009 ∙ 60' = 0,54' = 0,54 ∙ 60" hello_html_35ae680e.png32".

Ответ. hello_html_35ae680e.png32".

 

hello_html_m68ff8eb.jpg

 

  1. 9. По данной хордой а найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна 120°.

Решение

Пусть АВ = а, hello_html_m769fea46.pngAOB = 120° (рис. 98), OA = OB = R. По теореме косинусов имеем:

АВ2 = АО2 + ВO2 - 2 ∙ АО ∙ Hcos hello_html_m769fea46.pngAOB;

a2 = 2R2 - 2R2 cos120°; a2 = 2R2 + R2; a2 = 3R2; R2 = hello_html_53fc77b3.png; R = hello_html_17a1fd82.png.

Тогда hello_html_m71e7f6a6.png.

Ответ. hello_html_5cf1406b.png.

 

hello_html_m7aebd49a.jpg

 

  1. 10. За длиной дуги l найдите хорду, если дуга составляет 120°.

Решение

Поскольку hello_html_m5d57d7f9.png, то hello_html_926b343.png. По теореме косинусов (рис. 98): АВ2 = АО2 + ВО2 - 2 ∙ АО ∙ Hcos hello_html_m769fea46.pngAOB = R2 + R2 + R2 = 3R2 = 3hello_html_1955b3c6.png. Отсюда АВ = hello_html_m200e0175.png.

Ответ. hello_html_m200e0175.png.

 

IV. Самостоятельная работа

Самостоятельную работу обучающего характера можно провести за пособием [14], тест 7 «Длина окружности. Длина дуги окружности».

 

V. Домашнее задание

  1. 1. Изучить формулы длины окружности и длины дуги окружности.

  2. 2. Решить задачи.

  3. 1) Вычислите длину окружности, если радиус равен: а) 10 м; б) 15 м.

  4. 2) Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, которая соответствует центральному углу, что составляет:

а) 45°; б) 120°.

  1. 3) Найдите градусную меру центрального угла, если соответствующая ему дуга составляет:

а) hello_html_6e78c765.png; б) hello_html_m716fa5d1.png; в) hello_html_m57d055e5.png.

  1. 4) По данному кругом радиуса R = 1 м. найдите длину дуги, соответствующей центральному углу, что составляет:

а) 30°; б) 45°45'.

 

VI. Подведение итогов урока

Задача класса

  1. 1. Чему равно отношение длины окружности к диаметру?

  2. 2. Запишите формулы для нахождения:

а) длины окружности;

б) длины дуги окружности, соответствующей углу в n°.

и

Автор
Дата добавления 26.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров230
Номер материала ДВ-556473
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх