План
конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Скалярное произведение векторов».
Цель урока: формирование
понятия скалярного произведения векторов; формирование умений применять
изученные определения и свойства к решению задач.
Тип урока:
комбинированный.
Наглядность и
оборудование: таблица «Декартовы координаты и векторы на плоскости»[13].
Требования к уровню
подготовки учащихся: формулируют определение скалярного произведения, его
свойства; применяют изученные определения и свойства к решению задач.
Ход урока
И. Проверка домашнего
задания
- 1. Проверить
наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые
возникли у учеников во время их выполнения.
- 2. Математический
диктант
Даны два вектора:
Вариант 1
(1; 0), (0; -1);
Вариант 2
(-1; 0), (0; 1).
Найдите:
а) координаты вектора 2;
б) координаты вектора -;
в) длину вектора + ;
г) длину вектора - ;
д) координаты вектора 3 + 4;
есть) длину вектора 3 + 4.
II. Анализ результатов
самостоятельной работы
III. Поэтапное
восприятие и осознание нового материала
Скалярное произведение
векторов
Скалярным произведением
векторов и (обозначения: (·), или , или (; )) называется
произведение длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. · = || · ||cosφ (рис. 211).
Два ненулевые векторы
тогда и только тогда взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение
равно нулю, то есть · = 0 ( , ).
Свойства скалярного
произведения
- 1) ·= ·(переставной
закон);
- 2) 2 = ||2, или || = = ;
- 3) ( + ) · = · + · (распределительный
закон);
- 4) (λ) · = λ(·)
(связующий закон).
Примечание 1. Косинус
угла между ненулевыми векторами и выражается формулой , которая
следует из определения скалярного произведения.
Примечание 2. Свойство 2
скалярного произведения, а именно формула || = = = , позволяет вычислять длину вектора
в общем случае.
Примечание 3.
Распределительный закон выполняется для любого конечного числа слагаемых.
Например, правильная формула ( + + ) · = · + · + ·.
Скалярное произведение
двух векторов, которые заданы координатами, равно сумме произведений
соответствующих координат.
Если заданы векторы (a1; a2) и (b1; b2) на плоскости, то ·= а1b1 + a2b2.
Решение задач
- 1. Сторона
равностороннего треугольника ABC равна 13. Найдите
скалярное произведение · (рис. 212).
Решение
Поскольку || = || = 13, A = 60°,
то · = ||·||cosA = = 13 · 13 cos60° = 169 · = 84,5.
Ответ. 84,5.
- 2. Заданы векторы
= - 4, = 3 + 2, которые взаимно перпендикулярны. Вектора и - единичные
векторы. Найдите угол между векторами и (в градусах).
Решение
Поскольку || = 1 и · = 0, то имеем · = ( - 4)(3 + 2) = 32 + 2- 12 - 8b2 = 3 · ||2 - 10|||| соsφ - 8||2 = 3 - 10cosφ - 8 = - 5 - 10cosφ,
тогда - 5 - 10cosφ = 0, соsφ = -, φ = 120°.
Ответ. 120°.
IV. Решение задач
- 1. Найдите угол
между векторами (1; 2) и .
- 2. Даны вершины
треугольника ABC: А, В, С. Найдите
его углы.
- 3. Докажите, что
векторы (т; п) и (-n; m) перпендикулярны или равны нулю.
- 4. Даны векторы (3; 4) и (m; 2). При каком значении т они перпендикулярны?
- 5. Даны векторы (1; 0) и (1; 1).
Найдите такое число х, чтобы вектор + x был перпендикулярен
к вектору .
- 6. Докажите, что
когда и - единичные неколінеарні векторы, то векторы + и - отличные от
нуля и перпендикулярны.
- 7. Даны векторы и . Найдите
абсолютную величину вектора + , если || = || = 1, а
угол между векторами и равен 60°.
V. Домашнее задание
- 1. Изучить
теоретический материал.
- 2. Решить задачу.
Даны вершины
треугольника A(1; 1), B(4; 1), С(4;
5). Найдите косинусы углов этого треугольника.
VI. Подведение итогов
урока
Задача класса
- 1. Дайте
определение скалярного произведения векторов и сформулируйте свойства
скалярного произведения векторов.
- 2. Сформулируйте
свойство и признак перпендикулярных векторов.
Домашнее задание
Учебник Л.С.
Атанасян п. 101, 102, 103 № 1041, 1044
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.