Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / План конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Скалярное произведение векторов».
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

План конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Скалярное произведение векторов».

библиотека
материалов

План конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Скалярное произведение векторов».



Цель урока: формирование понятия скалярного произведения векторов; формирование умений применять изученные определения и свойства к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Декартовы координаты и векторы на плоскости»[13].

Требования к уровню подготовки учащихся: формулируют определение скалярного произведения, его свойства; применяют изученные определения и свойства к решению задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

  1. 1. Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учеников во время их выполнения.

  2. 2. Математический диктант

Даны два вектора:

Вариант 1

hello_html_250a301e.png(1; 0), hello_html_5d258791.png(0; -1);

Вариант 2

hello_html_250a301e.png(-1; 0), hello_html_5d258791.png(0; 1).

Найдите:

а) координаты вектора 2hello_html_250a301e.png;

б) координаты вектора -hello_html_199b183c.pnghello_html_5d258791.png;

в) длину вектора hello_html_250a301e.png+ hello_html_5d258791.png;

г) длину вектора hello_html_250a301e.png- hello_html_5d258791.png;

д) координаты вектора 3hello_html_250a301e.png + 4hello_html_5d258791.png;

есть) длину вектора 3hello_html_250a301e.png + 4hello_html_5d258791.png.

 

II. Анализ результатов самостоятельной работы

 

III. Поэтапное восприятие и осознание нового материала

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов hello_html_250a301e.pngи hello_html_5d258791.png(обозначения: (hello_html_250a301e.png·hello_html_5d258791.png), или hello_html_250a301e.pnghello_html_5d258791.png, или (hello_html_250a301e.png; hello_html_5d258791.png)) называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. hello_html_250a301e.png·hello_html_5d258791.png= |hello_html_250a301e.png| · |hello_html_5d258791.png|cosφ (рис. 211).

hello_html_m51b83ec3.jpg

 

Два ненулевые векторы тогда и только тогда взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, то есть hello_html_250a301e.pnghello_html_20227903.pnghello_html_5d258791.pnghello_html_m1755a1b0.pnghello_html_250a301e.png· hello_html_5d258791.png= 0 (hello_html_250a301e.png hello_html_47a11f17.pnghello_html_1c5f368f.png, hello_html_5d258791.pnghello_html_m4dfe2309.pnghello_html_1c5f368f.png).

Свойства скалярного произведения

  1. 1) hello_html_250a301e.png·hello_html_5d258791.png= hello_html_5d258791.png·hello_html_250a301e.png(переставной закон);

  2. 2) hello_html_250a301e.png2 = |hello_html_250a301e.png|2, или |hello_html_250a301e.png| = hello_html_m2e1e6a05.png= hello_html_m4d91e979.png;

  3. 3) (hello_html_250a301e.png + hello_html_5d258791.png) · hello_html_34c988c7.png= hello_html_250a301e.png·hello_html_34c988c7.png + hello_html_5d258791.png·hello_html_34c988c7.png(распределительный закон);

  4. 4) (λhello_html_250a301e.png) · hello_html_5d258791.png= λ(hello_html_250a301e.png·hello_html_5d258791.png) (связующий закон).

Примечание 1. Косинус угла между ненулевыми векторами hello_html_250a301e.pngи hello_html_5d258791.pngвыражается формулой hello_html_fc0bb5.png, которая следует из определения скалярного произведения.

Примечание 2. Свойство 2 скалярного произведения, а именно формула |hello_html_250a301e.png| = hello_html_m2e1e6a05.png= = hello_html_m4d91e979.png, позволяет вычислять длину вектора в общем случае.

Примечание 3. Распределительный закон выполняется для любого конечного числа слагаемых. Например, правильная формула (hello_html_250a301e.png + hello_html_5d258791.png+ hello_html_m1231310c.png) · hello_html_34c988c7.png= hello_html_250a301e.png·hello_html_34c988c7.png + hello_html_5d258791.png·hello_html_34c988c7.png + hello_html_m1231310c.png·hello_html_34c988c7.png.

Скалярное произведение двух векторов, которые заданы координатами, равно сумме произведений соответствующих координат.

Если заданы векторы hello_html_250a301e.png(a1; a2) и hello_html_5d258791.png(b1; b2) на плоскости, то hello_html_250a301e.png·hello_html_5d258791.png= а1b1 + a2b2.

 

Решение задач

  1. 1. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 13. Найдите скалярное произведение hello_html_9bf4eec.png·hello_html_m8d959a9.png(рис. 212).

 

hello_html_40a7594c.png

Решение

Поскольку |hello_html_9bf4eec.png| = |hello_html_m8d959a9.png| = 13, hello_html_m769fea46.pngA = 60°, то hello_html_9bf4eec.png·hello_html_m8d959a9.png = |hello_html_9bf4eec.png|·|hello_html_m8d959a9.png|coshello_html_m769fea46.pngA = = 13 · 13 cos60° = 169 · hello_html_49ea79e.png= 84,5.

Ответ. 84,5.

  1. 2. Заданы векторы hello_html_m38adeb9c.png= hello_html_250a301e.png- 4hello_html_5d258791.png, hello_html_198e7711.png= 3hello_html_250a301e.png + 2hello_html_5d258791.png, которые взаимно перпендикулярны. Вектора hello_html_250a301e.pngи hello_html_5d258791.png- единичные векторы. Найдите угол между векторами hello_html_250a301e.pngи hello_html_5d258791.png(в градусах).

Решение

Поскольку |hello_html_250a301e.png| = 1 и hello_html_m38adeb9c.png· hello_html_198e7711.png= 0, то имеем hello_html_5b5d9fc.png·hello_html_198e7711.png = (hello_html_250a301e.png - 4hello_html_5d258791.png)(3hello_html_250a301e.png + 2hello_html_5d258791.png) = 3hello_html_250a301e.png2 + 2hello_html_250a301e.pnghello_html_5d258791.png- 12hello_html_250a301e.pnghello_html_5d258791.png - 8b2 = 3 · |hello_html_250a301e.png|2 - 10|hello_html_250a301e.png||hello_html_5d258791.png| со - 8|hello_html_5d258791.png|2 = 3 - 10cosφ - 8 = - 5 - 10cosφ,

тогда - 5 - 10cosφ = 0, со = -hello_html_685d6bef.png, φ = 120°.

Ответ. 120°.

 

IV. Решение задач

  1. 1. Найдите угол между векторами hello_html_250a301e.png(1; 2) и hello_html_5d258791.pnghello_html_m44db6ce1.png.

  2. 2. Даны вершины треугольника ABC: Аhello_html_3d91dfc9.png, Вhello_html_4f430d09.png, Сhello_html_46379bac.png. Найдите его углы.

  3. 3. Докажите, что векторы hello_html_250a301e.png(т; п) и hello_html_5d258791.png(-n; m) перпендикулярны или равны нулю.

  4. 4. Даны векторы hello_html_250a301e.png(3; 4) и hello_html_5d258791.png(m; 2). При каком значении т они перпендикулярны?

  5. 5. Даны векторы hello_html_250a301e.png(1; 0) и hello_html_5d258791.png(1; 1). Найдите такое число х, чтобы вектор hello_html_250a301e.png+ xhello_html_5d258791.png был перпендикулярен к вектору hello_html_250a301e.png.

  6. 6. Докажите, что когда hello_html_250a301e.pngи hello_html_5d258791.png- единичные неколінеарні векторы, то векторы hello_html_250a301e.png+ hello_html_5d258791.pngи hello_html_250a301e.png- hello_html_5d258791.pngотличные от нуля и перпендикулярны.

  7. 7. Даны векторы hello_html_250a301e.pngи hello_html_5d258791.png. Найдите абсолютную величину вектора hello_html_250a301e.png+ hello_html_5d258791.png, если |hello_html_250a301e.png| = |hello_html_5d258791.png| = 1, а угол между векторами hello_html_250a301e.pngи hello_html_5d258791.pngравен 60°.

 

V. Домашнее задание

  1. 1. Изучить теоретический материал.

  2. 2. Решить задачу.

Даны вершины треугольника A(1; 1), B(4; 1), С(4; 5). Найдите косинусы углов этого треугольника.

 

VI. Подведение итогов урока
Задача класса

  1. 1. Дайте определение скалярного произведения векторов и сформулируйте свойства скалярного произведения векторов.

  2. 2. Сформулируйте свойство и признак перпендикулярных векторов.



Домашнее задание

Учебник Л.С. Атанасян п. 101, 102, 103 № 1041, 1044


Автор
Дата добавления 26.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров365
Номер материала ДВ-556479
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх