План-конспект урока математики на тему "Единичная числовая окружность"

Урок математики на 1 курсе по теме «Числовая окружность»

Автор: Кукса Сергей Владимирович,

учитель математики ГБОУ НСО «Маслянинский межрайонный аграрный колледж», р.п. Маслянино Новосибирской области.

Цели урока:

Образовательные:

-         ввести понятия числовой окружности и единичной окружности;

-         формировать умения записывать множество чисел, соответствующих на числовой окружности  точке;

-         формировать умения находить на числовой окружности точку, соответствующую данному числу.

Развивающие:

-         способствовать развитию пространственного воображения;

-         развивать логическое мышление, память, внимание.

 Воспитательные:

-         содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности.

Тип урока: урок объяснение нового материала.

План урока.

1.      Организационный момент.

2.      Мотивация изучения темы.

3.      Устный опрос.

4.      Проверочная работа.

5.      Изучение нового материала.

6.      Закрепление изученного.

7.      Домашнее задание.

8.      Итог урока.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Слайд 1

Здравствуйте, ребята. Тема нашего урока: «Числовая окружность». Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями «единичная, числовая, тригонометрическая окружность», а также научимся отмечать точки на числовой окружности.

2. Мотивация изучения темы.

Очень часто термины тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность  плохо понимаются. И совершенно зря. Эти понятия – мощный и универсальный помощник во всех разделах тригонометрии. Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Заманчиво? Сегодня мы будем учиться использовать единичную окружность.

Для успешной работы с единичной окружностью нужно знать всего три вещи.

Первое. Надо знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в применении к прямоугольному треугольнику.

Второе. Надо знать, что такое тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность.

Третье. Надо знать, как отсчитывать углы на тригонометрическом круге, и что такое градусная и радианная меры углов. 

3. Устный опрос.

            На прошлом уроке мы познакомились с понятиями градусной и радианной мерами углов, угла поворота.

            Сейчас мы все это вспомним.

Слайды 2, 3

1.      Какой угол называется углом поворота?

Угол поворота – это угол, полученный вращением луча около его начала О от начального положения ОА до конечного положения ОВ.

2.      Какой угол называется углом в 1°?

Угол в 1° - это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна  части окружности.

3.      Какой угол называется углом в 1 радиан?

Угол в 1 радиан  - это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

4.      Чему равен 1 радиан?

1 рад ≈ 57,3° ≈ 57°17ʹ45ʺ

5.      Как выразить градусную меру угла в радианной?

.

6.      Как определить какой четверти принадлежит угол?

В зависимости от того в какой координатной четверти окажется начальный радиус, угол α называют углом этой четверти:

0° < α < 90°, то α – угол I четверти

90° < α < 180°, то α – угол II четверти

180° < α < 270°, то α – угол III четверти

270° < α < 360°, то α – угол IV четверти

7.      От чего зависит, каким будет угол поворота: положительным или отрицательным?

При повороте начального радиуса против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а по часовой стрелке – отрицательным.

4. Проверочная работа.

Слайд 4

Выполним проверочную работу. Подпишите листочки.

Вариант 1	Вариант 2
1. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:
2. Найдите радианную меру угла, равного:
25°, - 150°, 315°, - 210°, - 120°	- 40°, - 80°, 105°, - 225°, 240°

Теперь обменяйтесь листочками, проверьте ответы.

Вариант 1	Вариант 2
1.	1.      .
2.        .	2.      .

Слайд 5

Поставьте оценку: Если получено 6-5  верных ответов  –  оценка «3»

 8-7  верных ответов  –  оценка «4»

10-9 верных ответов  –  оценка «5»

5. Изучение нового материала.

Слайд 6                     

Для введения тригонометрических функций нам понадобиться новая математическая модель – числовая окружность.

В принципе, любую окружность можно рассматривать как числовую, но удобнее всего использовать для этой цели единичную окружность. Какая же окружность называется единичной? Введем то понятие.

Рассмотрим прямоугольную систему координат. Построим окружность с центром в начале координат и радиусом равным 1. Такую окружность называют единичной или тригонометрической окружностью.

Окружность пересекает оси координат в некоторых точках. Обозначим их: А, В, С, D.

Дугу АВ будем называть первой четвертью единичной окружности, дугу ВС – второй четвертью, дугу CD – третьей четвертью, дугу DA – четвертой четвертью. Притом будем говорить об открытой дуге, то есть о дуге без её концов.

Слайд 7

Мы с вами умеем изображать числа на числовой оси. На единичной окружности также можно отображать числа. Установим соответствие между точками числовой прямой и точками единичной окружности.

Построим числовую ось параллельно оси Оу и укажем положительное направление вверх. В точку пересечения единичной окружности и числовой прямой поместим 0. Зададим единичный отрезок на числовой прямой.

А теперь представим, что наша числовая ось гибкая, и мы можем её накручивать на окружность, как нитку на катушку. Начнем загибать положительную полуось. Замечаем, что единица числовой оси попала в некоторую точку единичной окружности. Продолжаем закручивать числовую ось, движение идет против часовой стрелки – это положительное направление. Числа 2, 3, 4 и т.д. отобразились в некоторые точки единичной окружности.

Числовая ось бесконечна, и процесс накручивания можно продолжать также бесконечно. При этом каждая точка числовой оси будет попадать в определенную точку окружности. Давайте выясним, какие числа будут попадать в точки пересечения окружности с осями координат.

Длина L окружности радиусом R вычисляется по формуле . Если R = 1, то . Длина половины окружности равна π ≈ 3,14. Длина четверти окружности равна . Длина трех четвертей окружности равна .

Намотаем отрицательную часть числовой оси на окружность. Движение идет по часовой стрелке – это положительное направление. Процесс такого накручивания можно также продолжать бесконечно. И каждое отрицательное число попадет в соответствующую ему точку окружности.

Обозначим точки пересечения окружности с осями координат: - 1,57; - 3,14; - 4,71; - 6,28.

Заметим, что каждому действительному числу числовой оси соответствует единственная точка единичной окружности. Однако одной и той же точке единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел. И эти числа отличаются друг от друга на некоторое количество полных оборотов.

Таким образом, множество чисел, соответствующих некоторой точке единичной окружности можно записать в виде: a + 2πk, где k ϵ Z.

Определение.  Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) называют числовой окружностью.

Слайд 8

Рассмотрим несколько примеров изображения чисел на единичной окружности.

Пример 1. Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу 7.

Нам нужно, отправляясь из точки 0 и двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки), пройти по окружности путь длиной 7.

Если пройти одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит, нужно еще пройти (в том же направлении) путь длиной 0,72. Что же это за дуга? Она немного меньше половины четверти окружности, т.е. ее длина меньше числа 0,785; ясно, что 0,72 <0,785. Значит, чтобы отметить число 7 нужно немного не дойти до середины первой четверти.

Пример 2. Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу 27.

27     6,28 ∙ 4 + 1,88; 1,88 – точка II четверти.

Пример 3. Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу -21.

            - 21 = -6,28 ∙ 3 – 2,16; -2,16 – точка III четверти.

Пример 4. Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу -7,5.

            - 7,5 = -6,28 – 1,22; -1,22 – точка IV четверти.

Слайд 9

Изображение чисел на единичной окружности совпадает с изображение радиан. Рассмотрим первый положительный и первый отрицательный обороты. Обозначим точки пересечения окружности с осями координат:  и .

Чтобы было удобнее отмечать радианы на единичной окружности, нам пригодятся два макета.

      Макет 1                                                         Макет 2

                  

Макет 1. Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на две равные части путем построения биссектрис углов.

Макет 2. Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на три равные части путем проведения прямых, параллельных осям координат, проходящие через точки  и .           

5. Решение задач.

Задание 1.

Первая четверть единичной окружности разделена на две равные части точкой M, а четвертая разделена на три равные части точками K и P. Чему равна длина дуги: AM, BD, CK, MP?

Решение.

Так как точка М делит первую четверть  на две равные части, то

Так как точки К и Р делят четвертую четверть  на три равные части, то

 

Задание 2.

Дуга AB разделена пополам точкой M. Найдите диаметрально противоположную точку N на окружности. Чему равна длина дуги AN?

Решение.

Проведем через точку М диаметр МN. Так как точка М середина дуги АВ, то точка N – середина дуги СD.

 

Задание 3.

Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге  МК  (М и К  — середины соответственно первой и второй четвертей).

Решение.

Все числа t, принадлежащие открытой дуге МК, лежат между точками М и К.

Точке М соответствует число . Точке К соответствует число .

Множество всех чисел, соответствующих точке на единичной окружности отличаются на 2πk.

Значит, все числа t можно записать в виде .

Далее № 28 (а, в).

6. Домашнее задание.

На дом № 28 (б, в), № 30.

7. Итог урока. 

Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами  своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).

Вам для этого помогут слова:

Я узнал…

Я почувствовал…

Я увидел…

Я заметил, что …

Я сейчас слушаю и думаю…